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1、第二十六講平面向量的應用第二十六講平面向量的應用回歸課本回歸課本1.向量應用的常用結論向量應用的常用結論(1)兩個向量垂直的充要條件兩個向量垂直的充要條件符號表示符號表示:abab=0.坐標表示坐標表示:設設a=(x1,y1),b=(x2,y2),則則abx1x2+y1y2=0. (2)兩個向量平行的充要條件兩個向量平行的充要條件符號表示符號表示:若若ab,b0,則則a=b.坐標表示坐標表示:設設a=(x1,y1),b=(x2,y2),則則ab(x1,y1)=(x2,y2),即即 或或x1y2-x2y1=0.(3)夾角公式夾角公式cos= (0180).(4)模長公式模長公式|a|= (a=(

2、x,y).(5)數量積性質數量積性質|a b|a| |b|.121,2xxyy|a ba b222|axy2.向量應用的分類概述向量應用的分類概述(1)應用平面向量解決函數與不等式的問題應用平面向量解決函數與不等式的問題,是以函數和不等是以函數和不等式為背景的一種向量描述式為背景的一種向量描述,它需要掌握向量的概念及基本它需要掌握向量的概念及基本運算運算,并能根據題設條件構造合適的向量并能根據題設條件構造合適的向量,利用向量的利用向量的“數數” “形形”兩重性解決問題兩重性解決問題. (2)平面向量與三角函數的整合平面向量與三角函數的整合,仍然是以三角題型為背景的仍然是以三角題型為背景的一種向

3、量描述一種向量描述,它需要根據向量的運算性質將向量問題轉它需要根據向量的運算性質將向量問題轉化為三角函數的相關知識來解答化為三角函數的相關知識來解答,三角知識是考查的主體三角知識是考查的主體.(3)平面向量在解析幾何中的應用平面向量在解析幾何中的應用,是以解析幾何中的坐標為是以解析幾何中的坐標為背景的一種向量描述背景的一種向量描述,它主要強調向量的坐標運算它主要強調向量的坐標運算,將向量將向量問題轉化為坐標問題問題轉化為坐標問題,進而利用直線和圓錐曲線的位置關進而利用直線和圓錐曲線的位置關系的相關知識來解答系的相關知識來解答,坐標的運算是考查的主體坐標的運算是考查的主體. (4)平面向量在平面

4、幾何中的應用平面向量在平面幾何中的應用,是以平面幾何中的基本圖是以平面幾何中的基本圖形形(三角形三角形 平行四邊形平行四邊形 菱形等菱形等)為背景為背景,重點考查平面向重點考查平面向量的幾何運算量的幾何運算(三角形法則三角形法則 平行四邊形法則平行四邊形法則)和幾何圖形和幾何圖形的基本性質的基本性質.(5)平面向量在物理力學等實際問題中的應用平面向量在物理力學等實際問題中的應用,是以實際問題是以實際問題為背景為背景,考查學科知識的綜合及向量的方法考查學科知識的綜合及向量的方法.注意注意:(1)在解決三角形形狀問題時在解決三角形形狀問題時,回答要全面回答要全面 準確準確,處理處理四邊形問題時四邊

5、形問題時,要根據平行四邊形或矩形要根據平行四邊形或矩形 菱形菱形 正方形正方形及梯形的性質處理及梯形的性質處理.(2)用向量處理物理問題時用向量處理物理問題時,一般情況下應畫出幾何圖形一般情況下應畫出幾何圖形,結合結合向量運算與物理實際進行解決向量運算與物理實際進行解決.考點陪練考點陪練01.(2010)ABCMm,m()A.2B.3C.4D.5MAMBMCABACmAM 湖北已知和點滿足若存在實數 使得成立 則01(),3,3,3:MABC,B.MAMBMCAMABACABACAM m 解析 由得點是的重心選答案答案:B3,|2.(2010),ABC,AD| 1,()3.2 3.23.B,3

6、3ABCBD ADAC ADABCD 天津 如圖 在中則:AD3,(AB,3)3,0,3,ACBCBABDBAAC ADBDBA ADBD ADBA ADBA ADAC ADBD ADBDADABAC AD 解析 因為所以又所以所以又所以33()323.BD ADADAB ADADAB AD 答案答案:D3.y2cosa., 2364.2234.2234.22312().22312xxA ycosxB ycosxC ycosxD ycos 將的圖象按向量平移 則平移后所得圖象的解析式為2, 2364122346122,34:A.xycosaycosxcosx 解析 函數的圖象按向量平移后所得圖

7、象解析式為所以選答案答案:A4.若直線若直線2x-y+c=0按向量按向量a=(1,-1)平移后與圓平移后與圓x2+y2=5相切相切,則則c的值為的值為( )A.8或或-2B.6或或-4C.4或或-6D.2或或-8解析解析:直線直線2x-y+c=0,按按a=(1,-1)平移后得直線平移后得直線2(x-1)-(y+1)+c=0,即即2x-y-3+c=0,由由d=r,得得 得得c=8或或-2.答案答案:A|3|5,5c5.已知等差數列已知等差數列an的前的前n項和為項和為Sn,若若 a2 +a2009 ,且且A B C三點共線三點共線(該直線不過點該直線不過點O),則則S2010等于等于( )A.1

8、005B.1010C.2010D.2015解析解析:由題意知由題意知A B C三點共線三點共線,則則a2+a2009=1.S2010= =10051=1005.故選故選A.答案答案:AOB OA OC120102010()2aa類型一類型一利用向量解決平面幾何問題利用向量解決平面幾何問題解題準備解題準備:一般情況下一般情況下,用向量解決平面幾何問題用向量解決平面幾何問題,要用不共線要用不共線的向量表示題目所涉及的所有向量的向量表示題目所涉及的所有向量,再通過向量的運算法再通過向量的運算法則和性質解決問題則和性質解決問題.用向量方法解決平面幾何問題的用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲三步曲”:

9、建立平面幾何與向量的聯(lián)系建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾用向量表示問題中涉及的幾何元素何元素,將平面幾何問題轉化為向量問題將平面幾何問題轉化為向量問題;通過運算通過運算,研究幾何元素之間的關系研究幾何元素之間的關系,如距離、夾角等問題如距離、夾角等問題;把運算結果把運算結果“翻譯翻譯”成幾何關系成幾何關系.【典例典例1】如圖如圖,正方形正方形OABC兩邊兩邊AB BC的中點分別為的中點分別為D和和E,求求DOE的余弦值的余弦值.分析分析把把DOE轉化為向量夾角轉化為向量夾角.1,21.211() ()2211().2:4ODOAADOAAB OEOCCEOCCBOD OEOA

10、ABOCCBOA OCAB OCOA CBAB CB 解 解法一222222,0,0.,| ,| ,| ,|OAOC ABCBOA OCAB CBABOC OACBAB OCABABOA CBOAOAOD OEABODOA 又2222222222|15| ,|c|2.44|4.55|os DOE|4ADABABABOEODODoOEABABOD OEODAB 解法二解法二:如圖建立直角坐標系如圖建立直角坐標系,設設A(2,0),C(0,2),則則D(2,1),E(1,2).22 1 1 24.cos DO| |5.44.5|E|( 5)OD OEODOEODoOEOD OE 故 反思感悟反思感

11、悟利用向量解幾何題利用向量解幾何題,關鍵是將有關線段設為向量關鍵是將有關線段設為向量,不同的設法可出現不同的解法不同的設法可出現不同的解法;或者建立平面直角坐標系或者建立平面直角坐標系,用坐標法解之用坐標法解之.利用向量解平面幾何有時特別方便利用向量解平面幾何有時特別方便,但要注但要注意一點意一點,不宜搞得過難不宜搞得過難,因為高考在這方面要求不高因為高考在這方面要求不高.類型二類型二向量在解析幾何的應用向量在解析幾何的應用解題準備解題準備:向量與解析幾何結合的綜合題是高考命題的熱點向量與解析幾何結合的綜合題是高考命題的熱點,解題的關鍵是正確把握向量與坐標之間的轉化和條件的運解題的關鍵是正確把

12、握向量與坐標之間的轉化和條件的運用用.常見技巧有兩個常見技巧有兩個:一是以向量的運算為切入口一是以向量的運算為切入口;二是結合二是結合向量的幾何意義及曲線的有關定義作轉化向量的幾何意義及曲線的有關定義作轉化.【典例典例2】在平面直角坐標系在平面直角坐標系xOy中中,點點P到兩點到兩點 的距離之和等于的距離之和等于4,設點設點P的軌跡為的軌跡為C,直線直線y=kx+1與與C交于交于A,B兩點兩點.(1)寫出寫出C的方程的方程;(2)若若 求求k的值的值;(3)若點若點A在第一象限在第一象限,證明證明:當當k0時時,恒有恒有(0,3),(0, 3),OAOB | |.OAOB 分析分析(1)由點由

13、點P滿足的條件列出等式滿足的條件列出等式,化簡可得化簡可得C的方程的方程;(2)由由 這是解題的突破口這是解題的突破口;(3)證明的關鍵是寫出證明的關鍵是寫出 再結合題的條件即再結合題的條件即可求證可求證.0,OAOBOA OB 22| ,OAOB 解解(1)設設P(x,y),由橢圓定義可知由橢圓定義可知,點點P的軌跡的軌跡C是以是以 為焦點為焦點,長半軸為長半軸為2的橢圓的橢圓.它的短半軸它的短半軸故曲線故曲線C的方程為的方程為x2+(0,3),(0, 3)222( 3)1,b 21.4y 112222121212122121212121222222222222A x ,y,B x ,y,y

14、,k4 x2kx30,xxxx xy y0.y yk x xk xx1,x x1,y y441,2,43.4,33210,444110,k2kyxykxkkxkOAOBkkkkk 設其坐標滿足消去 并整理 得故若則而于是化簡得所以. 22222112222221212121211222122212223:|(xy )(xy )(xx )4(1x1x )3 xxxxA,x0.x xx0,|6 ().43,4|0.|xx0.k|,.0|,OAOBk xxkkOAOBOAOB 證明在第一象限 故由知從而又故即在題設條件下 恒有類型三類型三向量在物理中的應用向量在物理中的應用解題準備解題準備:用向量知

15、識研究物理問題的基本思想和方法是用向量知識研究物理問題的基本思想和方法是:(1)認真分析物理現象認真分析物理現象,深刻把握物理量之間的相互關系深刻把握物理量之間的相互關系;(2)通通過抽象過抽象 概括概括,把物理現象轉化為與之相關的向量問題把物理現象轉化為與之相關的向量問題;(3)利用向量知識解決這個向量問題利用向量知識解決這個向量問題,并獲得這個向量的解并獲得這個向量的解;(4)利用這個結果利用這個結果,對原物理現象作出合理解釋對原物理現象作出合理解釋.即用向量知識即用向量知識圓滿解決物理問題圓滿解決物理問題.【典例典例3】一條河的兩岸平行一條河的兩岸平行,河寬為河寬為d km,一艘船從一艘

16、船從A處出處出發(fā)航行到對岸發(fā)航行到對岸,已知船航行的速度為已知船航行的速度為|v1| km/h,水流速度水流速度為為|v2| km/h.要使船抵達要使船抵達B的上游的上游C處且處且BC=d km,若取若取|v1|=10,|v2|=4,d=2,則用時多少則用時多少? 解解作出位移平行四邊形作出位移平行四邊形AGCF,如圖所示如圖所示,則則CF=AG=|tv2|,在在RtABF中中,d2+(d+t|v2|)2=t2|v1|2,即即(|v1|2-|v2|2)t2-2d|v2|t-2d2=0,把把d=2,|v1|=10,|v2|=4代入上式代入上式,得得84t2-16t-8=0,解得解得t0.418(

17、h).類型四類型四向量在三角形中的應用向量在三角形中的應用解題準備解題準備:平面向量與解三角形的綜合題是高考中的一個熱平面向量與解三角形的綜合題是高考中的一個熱點點.其解題的基本思路是其解題的基本思路是:(1)在這些問題中在這些問題中,平面向量實際上主要呈現為敘述問題的一平面向量實際上主要呈現為敘述問題的一種語言或者工具種語言或者工具,其考查要求并不高其考查要求并不高,解題時要綜合利用平解題時要綜合利用平面向量的幾何意義等將題中的條件翻譯成簡單的數學問題面向量的幾何意義等將題中的條件翻譯成簡單的數學問題.(2)在解題時在解題時,既要考慮三角形中的邊角關系性質的應用既要考慮三角形中的邊角關系性質

18、的應用;又要又要考慮向量的工具性作用考慮向量的工具性作用,如利用向量的模與數量積轉化邊如利用向量的模與數量積轉化邊長與夾角問題長與夾角問題;還要注意三角形中邊角的向量關系式的表還要注意三角形中邊角的向量關系式的表示形式示形式. 224ABCSS3,.1;2fsin2sincos3c6,o.3sAB BCABBC 【典例 】已知的面積 滿足 且設與的夾角為求 的取值范圍求函數的最小值 1cos6,|Ssin3tan ,3tan36, | |6| |.1,tan1,(0|, ),|2333.64AB BCABBCABBCcosABBC 解又 即又 2min 2 f12cossin2cos2sin2

19、222222,46 43 273,41243f.442,3sin 由得當時 反思感悟反思感悟三角形的三邊可與三個向量對應三角形的三邊可與三個向量對應,這樣就可以利這樣就可以利用向量的知識來解三角形了用向量的知識來解三角形了,解決此類問題要注意內角與解決此類問題要注意內角與向量的夾角之間的聯(lián)系與區(qū)別向量的夾角之間的聯(lián)系與區(qū)別,還要注意向量的數量積與還要注意向量的數量積與三角形面積公式之間關系的應用三角形面積公式之間關系的應用.類型五類型五向量在函數不等式中的應用向量在函數不等式中的應用解題準備解題準備:借助向量的坐標表示借助向量的坐標表示,將已知條件實數化并轉化為將已知條件實數化并轉化為函數問題

20、函數問題,利用函數的性質解之利用函數的性質解之.向量主要是通過模與不等向量主要是通過模與不等式聯(lián)系起來式聯(lián)系起來,常用的工具有均值不等式及常用的工具有均值不等式及|ab|a|b|.【典例典例5】設設0|a|2且函數且函數f(x)=cos2x-|a|sinx-|b|的最的最大值為大值為0,最小值為最小值為-4,且且a與與b的夾角為的夾角為45,求求|a+b|.分析分析由于已知由于已知=45,故可求出故可求出|a|、|b|后再求后再求|a+b|. 22222f x1 sin xa sinxb0a2,sinx,ab10;sinx1,ab4.| 1.24|1241| 2,|2 | 104|ab84a|

21、 2.| 42,22.b2aasinxbaaabbab 解當時當時由即 反思感悟反思感悟由于已知由于已知f(x)的最值的最值,故可結合二次函數的最值確故可結合二次函數的最值確定定|a|與與|b|的大小的大小,再結合再結合=45,可求出可求出|a+b|.本本題充分體現了函數與不等式思想在向量中的應用題充分體現了函數與不等式思想在向量中的應用.錯源一錯源一錯誤地認為錯誤地認為|a b|=|a|b|【典例典例1】已知向量已知向量a,b,試比較試比較|a b|與與|a|b|的大小的大小.錯解錯解|a b|=|a|b|.剖析剖析設向量設向量a與與b的夾角為的夾角為.則則a b=|a|b|cos.(1)當

22、當ab時時,=90,a b=0,所以所以|a b|=0,但但|a|b|0,故有故有|a b|a|b|; (2)當當a與與b同向或反向時同向或反向時,cos0=1,cos180=-1,有有|a b|=|a|b|;(3)當夾角當夾角為銳角或鈍角時為銳角或鈍角時,|a b|=|a|b|cos|,|cos|1,故有故有|a b|a|b|.正解正解綜合上述可知綜合上述可知,|a b|a|b|.錯源二錯源二“共線共線”運用出錯運用出錯【典例典例2】如圖如圖,半圓的直徑半圓的直徑AB=2,O為圓心為圓心,C是半圓上不同是半圓上不同于于A,B的任意一點的任意一點,若若P為半徑為半徑C上的動點上的動點,則則 的

23、的最小值是最小值是_.()PAPB PC 22,1|1,2|11,22OAB,x 0 x1 ,22x 1x2x0 x1,0.PAPBPOPOPCABPCPO PCx 錯解點 是的中點設 則當或時 上式有最小值 剖析剖析本題的錯誤在于忽視向量的方向本題的錯誤在于忽視向量的方向,導致了計算上的失導致了計算上的失誤誤.向量向量 雖然共線雖然共線,但其方向相反但其方向相反,所以向量運算所以向量運算時時,一定要看清方向一定要看清方向.,PO PC 22,|,|()211OAB,1x 0 x12 (1)2.,x2211.22,PAPBPOPCxPOPAPB PCPO PCxxx 正解點 是的中點設則 當時

24、 上式有最小值12答案技法一技法一整體思想整體思想1,Rt ABC,BCa,2aPQA,?.PQBCBP CQ 【典例 】如圖所示 在中已知若長為的線段以點 為中點問與的夾角 取何值時的值最大 并求出這個最大值 解題切入點解題切入點解答本題的關鍵是要結合圖形解答本題的關鍵是要結合圖形,利用向量的三利用向量的三角形法則找出向量之間的關系角形法則找出向量之間的關系;或建立適當的坐標系或建立適當的坐標系,利用利用向量的坐標形式來解答向量的坐標形式來解答. 解解以直角頂點以直角頂點A為坐標原點為坐標原點,兩直角邊所在直線為坐標軸兩直角邊所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系建立平面直角坐標系,設設B(b,

25、0),C(0,c),所以所以b2+c2=a2,設設P點坐標為點坐標為(x,y),則則Q點坐標為點坐標為(-x,-y),且且x2+y2=a2,22222(, ),(,),()()()(, ),(xybxcy .2a cos2bx2cy2 ,a cosa ,cos2 ),1,0,0BPxb y CQxycBP CQxbxyycBCb c PQxyBC PQBP CQBP CQ 則又而當時有最大值 即當(),0.PQBCBP CQ 即與的方向相同 時最大 最大值為技法二技法二轉化與化歸轉化與化歸【典例典例2】如圖所示如圖所示,若點若點D是是ABC內一點內一點,并且滿足并且滿足AB2+CD2=AC2+BD2,求證求證:ADBC.解題切入點解題切入點借助向量的減法借助向量的減法,分別表示出向量分別表示出向量,然后代入已然后代入已知條件證明知條件證明.22222222222222ABCDACBD ,cmbbmc,cm2m bbbm2,m cc ,2m cb0,.()0,0,ABc ACb ADmBDADABmcCDADACmbAD ABACAD CB 證明 設則即即即ADBC.