2.1.4 平面與平面之間的位置關(guān)系 整體設(shè)計(jì) 教學(xué)分析 空間中平面與平面之間的位置關(guān)系是立體幾何中最重要的位置關(guān)系，平面與平面的相交和平行是本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn).空間中平面與平面之間的位置關(guān)系是根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)來定義的，要求學(xué)生在公理3的基礎(chǔ)上會(huì)判斷平面與平面之間的位置關(guān)系.本節(jié)重點(diǎn)是結(jié)合圖形判斷空間中平面與平面之間的位置關(guān)系. 三維目標(biāo) 1.結(jié)合圖形正確理解空間中平面與平面之間的位置關(guān)系. 2.進(jìn)一步熟悉文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)換. 3.培養(yǎng)學(xué)生全面思考問題的能力. 重點(diǎn)難點(diǎn) 平面與平面的相交和平行. 課時(shí)安排 1課時(shí) 教學(xué)過程 復(fù)習(xí) 1.直線與直線的位置關(guān)系:相交、平行、異面. 2.直線與平面的位置關(guān)系： ①直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn), ②直線與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn), ③直線與平面平行——沒有公共點(diǎn). 導(dǎo)入新課 思路1.(情境導(dǎo)入) 拿出兩本書，看作兩個(gè)平面，上下、左右移動(dòng)和翻轉(zhuǎn)，它們之間的位置關(guān)系有幾種？ 思路2.(事例導(dǎo)入) 觀察長方體（圖1），圍成長方體ABCD—A′B′C′D′的六個(gè)面，兩兩之間的位置關(guān)系有幾種？ 圖1 推進(jìn)新課 新知探究 提出問題 ①什么叫做兩個(gè)平面平行？ ②兩個(gè)平面平行的畫法. ③回憶兩個(gè)平面相交的依據(jù). ④什么叫做兩個(gè)平面相交? ⑤用三種語言描述平面與平面之間的位置關(guān)系. 活動(dòng):先讓學(xué)生思考，后再回答，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，對回答正確的學(xué)生及時(shí)表揚(yáng)，對回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路. 問題①引導(dǎo)學(xué)生回憶直線與平面平行的定義. 問題②怎樣體現(xiàn)兩個(gè)平面平行的特點(diǎn). 問題③兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),兩平面是否相交. 問題④回憶公理三. 問題⑤鼓勵(lì)學(xué)生自我訓(xùn)練. 討論結(jié)果： ①兩個(gè)平面平行——沒有公共點(diǎn). ②畫兩個(gè)互相平行的平面時(shí)，要注意使表示平面的平行四邊形的對應(yīng)邊平行，如圖2. 圖2 圖3 ③如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線.此時(shí)，就說兩平面相交，交線就是公共點(diǎn)的集合，這就是公理3.如圖3，用符號語言表示為：P∈α且P∈βα∩β=l,且P∈l. ④兩個(gè)平面相交——有一條公共直線. ⑤如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，則兩平面平行若α∩β=,則α∥β. 如果兩個(gè)平面有一條公共直線，則兩平面相交若α∩β=AB,則α與β相交. 兩平面平行與相交的圖形表示如圖4. 圖4 應(yīng)用示例 思路1 例1 已知平面α,β,直線a,b,且α∥β,aα,bβ,則直線a與直線b具有怎樣的位置關(guān)系? 活動(dòng)：學(xué)生自己思考或討論，再寫出正確的答案.教師在學(xué)生中巡視，發(fā)現(xiàn)問題及時(shí)糾正,并及時(shí)評價(jià). 解：如圖5,直線a與直線b的位置關(guān)系為平行或異面. 圖5 例2 如果三個(gè)平面兩兩相交，那么它們的交線有多少條？畫出圖形表示你的結(jié)論. 解：三個(gè)平面兩兩相交，它們的交線有一條或三條,如圖6. 圖6 變式訓(xùn)練 α、β是兩個(gè)不重合的平面,在下列條件中,可判定α∥β的是( ) A.α、β都平行于直線l、m B.α內(nèi)有三個(gè)不共線的點(diǎn)到β的距離相等 C.l、m是α內(nèi)的兩條直線,且l∥β,m∥β D.l、m是兩條異面直線,且l∥α、m∥α、l∥β,m∥β 分析：如圖7,分別是A、B、C的反例. 圖7 答案：D 點(diǎn)評：判斷正誤要結(jié)合圖形，并善于發(fā)現(xiàn)反例，即注意發(fā)散思維. 思路2 例1 α∩β=l,aα,bβ,試判斷直線a、b的位置關(guān)系,并畫圖表示. 活動(dòng):學(xué)生自己思考或討論，再寫出正確的答案.教師在學(xué)生中巡視，發(fā)現(xiàn)問題及時(shí)糾正,并及時(shí)評價(jià). 解：如圖8,直線a、b的位置關(guān)系是平行、相交、異面. 圖8 變式訓(xùn)練 α∩β=l,aα,bβ,b∩β=P,試判斷直線a、b的位置關(guān)系,并畫圖表示. 解：如圖9,直線a、b的位置關(guān)系是相交、異面. 圖9 直線a、b不可能平行，這里僅要求學(xué)生結(jié)合圖形或?qū)嵨锬Ｐ图右泽w會(huì)，學(xué)完下一節(jié)后可以證明. 點(diǎn)評：結(jié)合圖形或?qū)嵨锬Ｐ团袛嘀本€與平面的位置關(guān)系，目的在于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力. 例2 如圖10，在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別是AA1、D1C1的中點(diǎn)，過D、M、N三點(diǎn)的平面與正方體的下底面相交于直線l， 圖10 （1）畫出l的位置； （2）設(shè)l∩A1B1=P，求PB1的長. 解：（1）平面DMN與平面AD1的交線為DM， 則平面DMN與平面A1C1的交線為QN. QN即為所求作的直線l.如圖10. （2）設(shè)QN∩A1B1=P, ∵△MA1Q≌△MAD，∴A1Q=AD=a=A1D1, ∴A1是QD1的中點(diǎn).又A1P∥D1N, ∴A1P=D1N=C1D1=a. ∴PB1=A1B1－A1P=. 變式訓(xùn)練 畫出四面體ABCD中過E、F、G三點(diǎn)的截面與四面體各面的交線. 解：如圖11,分別連接并延長線段EF、BD， 圖11 ∵線段EF、BD共面且不平行，∴線段EF、BD相交于一點(diǎn)P. ∴連接GP交線段CD于H,分別連接EG、GH、FH即為所作交線. 點(diǎn)評：利用公理3作兩平面的交線是高考經(jīng)常考查的內(nèi)容，是兩平面關(guān)系的重點(diǎn). 知能訓(xùn)練 三棱柱的各面把空間分成幾部分? 解：分為21部分. 拓展提升 已知平面α∩平面β=a,bα,b∩a=A,cβ且c∥a, 求證：b、c是異面直線. 證明：反證法：若b與c不是異面直線，則b∥c或b與c相交. (1)若b∥c.∵a∥c,∴a∥b.這與a∩b=A矛盾. (2)若b、c相交于B,則B∈β.又a∩b=A,∴A∈β. ∴ABβ,即bβ.這與b∩β=A矛盾. ∴b,c是異面直線. 課堂小結(jié) 本節(jié)主要學(xué)習(xí)平面與平面的位置關(guān)系，平面與平面的位置關(guān)系有兩種： ①兩個(gè)平面平行——沒有公共點(diǎn)； ②兩個(gè)平面相交——有一條公共直線. 另外，空間想象能力的培養(yǎng)是本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn). 作業(yè) 課本習(xí)題2.1 B組1、2、3. 設(shè)計(jì)感想 本節(jié)內(nèi)容較少，與上一節(jié)課一樣,教材沒有討論面面平行的判定和性質(zhì)，只介紹了平面與平面的位置關(guān)系.平面與平面的位置關(guān)系是立體幾何的重要位置關(guān)系，雖沒有嚴(yán)格推理和證明，卻正好發(fā)揮我們的空間想象能力和發(fā)散思維能力.