2019年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大二輪精準(zhǔn)提分練習(xí)第二篇 第27練
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1、 第27練 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值[壓軸大題突破練] [明晰考情] 1.命題角度:討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值以及利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)范圍是高考的熱點(diǎn).2.題目難度:偏難題. 考點(diǎn)一 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 方法技巧 (1)函數(shù)單調(diào)性的判定方法:在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),如果f′(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果f′(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減. (2)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍:若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減),則可以得出函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)f′(x)≥0(或f′(x)≤0),從而轉(zhuǎn)化為恒成立問題來解決(注
2、意等號(hào)成立的檢驗(yàn)).
(3)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上不單調(diào),則轉(zhuǎn)化為f′(x)=0在(a,b)上有解.
1.已知函數(shù)f(x)=ln x+,其中常數(shù)k>0,討論f(x)在(0,2)上的單調(diào)性.
解 因?yàn)閒′(x)=--1
==-(x>0,k>0).
①當(dāng)0
3、當(dāng)x∈時(shí),f′(x)<0;
當(dāng)x∈時(shí),f′(x)>0,
所以函數(shù)f(x)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).
綜上可知,當(dāng)0
4、),f′(x)<0,則f(x)單調(diào)遞減. ②當(dāng)-1<-<0,即-2<a<0時(shí), 若x∈,f′(x)<0,則f(x)單調(diào)遞減; 若x∈,f′(x)>0,則f(x)單調(diào)遞增; 若x∈(0,+∞),f′(x)<0,則f(x)單調(diào)遞減. ③當(dāng)-=0,即a=-2時(shí), f′(x)≤0,f(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞減. ④當(dāng)->0,即a<-2時(shí), 若x∈(-1,0),f′(x)<0,則f(x)單調(diào)遞減; 若x∈,f′(x)>0,則f(x)單調(diào)遞增; 若x∈,f′(x)<0,則f(x)單調(diào)遞減. 綜上,當(dāng)a≥0時(shí),f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增,在(0,+∞)上單調(diào)遞減; 當(dāng)-2
5、<a<0時(shí),f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在(0,+∞)上單調(diào)遞減; 當(dāng)a=-2時(shí),f(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞減; 當(dāng)a<-2時(shí),f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. 3.設(shè)函數(shù)f(x)=(a∈R). (1)若f(x)在x=0處取得極值,確定a的值,并求此時(shí)曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程; (2)若f(x)在[3,+∞)上為減函數(shù),求a的取值范圍. 解 (1)對(duì)f(x)求導(dǎo),得f′(x)= =, 因?yàn)閒(x)在x=0處取得極值,所以f′(0)=0,即a=0. 當(dāng)a=0時(shí),f(x)=,f′(x)=, 故f(1)=,f′(
6、1)=, 從而f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-=(x-1),化簡(jiǎn)得3x-ey=0. (2)由(1)知,f′(x)=. 令g(x)=-3x2+(6-a)x+a, 由g(x)=0,解得x1=, x2=. 當(dāng)x<x1時(shí),g(x)<0,即f′(x)<0,故f(x)為減函數(shù); 當(dāng)x1<x<x2時(shí),g(x)>0,即f′(x)>0,故f(x)為增函數(shù); 當(dāng)x>x2時(shí),g(x)<0,即f′(x)<0,故f(x)為減函數(shù). 由f(x)在[3,+∞)上為減函數(shù)知, x2=≤3,解得a≥-, 故a的取值范圍為. 4.已知函數(shù)f(x)=x2-2aln x+(a-2)x. (1)
7、當(dāng)a=-1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使函數(shù)g(x)=f(x)-ax在(0,+∞)上單調(diào)遞增?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
解 (1)當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=x2+2ln x-3x(x>0),
則f′(x)=x+-3==.
當(dāng)0 8、
即≥0在(0,+∞)上恒成立,
∴x2-2x-2a≥0在(0,+∞)上恒成立,
∴a≤(x2-2x)=(x-1)2-恒成立.
又φ(x)=(x-1)2-,x∈(0,+∞)的最小值為-.
∴當(dāng)a≤-時(shí),g′(x)≥0恒成立.
又當(dāng)a=-時(shí),g′(x)=,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),
g′(x)=0.
故當(dāng)a∈時(shí),g(x)=f(x)-ax在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
考點(diǎn)二 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值
要點(diǎn)重組 (1)可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0,但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),如函數(shù)f(x)=x3,f′(0)=0,但x=0不是極值點(diǎn).
(2)極值點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn),而是一個(gè)數(shù)x0,當(dāng)x=x0時(shí),函數(shù) 9、取得極值,在x0處,f′(x0)=0是函數(shù)f(x)在x0處取得極值的必要不充分條件.
(3)一般地,在閉區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么函數(shù)y=f(x)在[a,b]上必有最大值與最小值.函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間的端點(diǎn)處取得.
5.已知函數(shù)f(x)=ax2+(1-2a)x-ln x.
(1)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)a<0時(shí),求函數(shù)f(x)在上的最小值.
解 (1)由函數(shù)f(x)=ax2+(1-2a)x-ln x,
可得f′(x)=2ax+(1-2a)-=,
∵a>0,x>0,
∴>0,令f′(x)>0,
即x-1>0
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