專題01三角函數(shù)與解三角形 核心考點一三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考的熱點，尤其是三角函數(shù)的奇偶性、周期性與單調(diào)性及對稱性等性質(zhì)．在考查時經(jīng)常與誘導(dǎo)公式、三角恒等變換等相結(jié)合，解題時要充分利用三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想等進(jìn)行求解. 【經(jīng)典示例】已知函數(shù)． （1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）把的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求的值． 答題模板 第一步，化簡：三角函數(shù)式的化簡，一般化成的形式，即化為“一角、一次、一函數(shù)”的形式. 第二步，整體代換：將看作一個整體，利用的性質(zhì)確定條件. 第三步，求解：利用的范圍求條件解得函數(shù)的性質(zhì)，寫出結(jié)果. 第四步，反思：反思回顧，查看關(guān)鍵點、易錯點，對結(jié)果進(jìn)行估算，檢查規(guī)范性. 【滿分答案】（1） ， 由得 所以的單調(diào)遞增區(qū)間是 （2）由（1）知， 把的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，再把得到的圖象向左平移個單位，得到的圖象， 所以， 所以． 【解題技巧】此類問題通常先通過三角恒等變換化簡函數(shù)解析式為的形式，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)研究其相關(guān)性質(zhì)． （1）已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間： ①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡單化原則，將解析式先化簡，并注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”； ②求形如或（其中ω>0）的單調(diào)區(qū)間時，要視“ωx＋φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯． （2）函數(shù)圖象的平移變換解題策略： ①對函數(shù)，或的圖象，無論是先平移再伸縮，還是先伸縮再平移，只要平移|φ|個單位，都是相應(yīng)的解析式中的x變?yōu)閤±|φ|，而不是ωx變?yōu)? ②注意平移前后兩個函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)再平移. 模擬訓(xùn)練 1．已知函數(shù). （1）當(dāng)時，求函數(shù)的值域； （2）已知，函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求的最大值. 【答案】（1）；（2）. （2），當(dāng)時，， ∵在區(qū)間上是增函數(shù)，且， ∴， 即，化簡得， ∵， ∴， ∴，解得， 因此，的最大值為. 核心考點二解三角形 解三角形是高考的熱點，尤其是已知邊角求其他邊角，判斷三角形的形狀，求三角形的面積考查比較頻繁，題目常常以文字加式子描述或以三角形圖形為背景，結(jié)合所給平面圖形的幾何性質(zhì)、正弦定理、余弦定理進(jìn)行命題.解題時要掌握正、余弦定理及其三角恒等變換的靈活運用，注意函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用. 【經(jīng)典示例】在中，分別是角的對邊，. （1）求角的大??； （2）若，求的面積的最大值. 答題模板 第一步，定條件：即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)注出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向. 第二步，定工具：即根據(jù)條件和所求，合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實施邊角之間的互化. 第三步，求結(jié)果. 第四步，再反思：在實施邊角互化的時候應(yīng)注意轉(zhuǎn)化的方向，一般有兩種思路：一是全部轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系；二是全部轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系，然后進(jìn)行恒等變形. 【滿分答案】（1）因為， 所以， 由正弦定理得，即， 又， 所以， 所以， 在中，， 所以，即， 由得． （2）由，得. 由余弦定理得：， ∴， ∴，當(dāng)且僅當(dāng)時“”成立，此時為等邊三角形， ∴的面積的最大值為． 【解題技巧】（1）利用正、余弦定理求邊和角的方法： ①根據(jù)題目給出的條件(即邊和角)作出相應(yīng)的圖形，并在圖形中標(biāo)出相關(guān)的位置． ②選擇正弦定理或余弦定理或二者結(jié)合求出待解問題．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到. ③在運算求解過程中注意三角恒等變換與三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用． （2）求三角形面積的方法： ①若三角形中已知一個角(角的大小，或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求夾這個角的兩邊或該兩邊之積，套公式求解． ②若已知三角形的三邊，可先求其一個角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面積，總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵． 模擬訓(xùn)練 2．在銳角中，角的對邊分別為，已知. （1）求角的大小； （2）若，的面積為，求的周長． 【答案】（1）；（2）. 因為， 所以， 因為， 所以. （2）由余弦定理，得， 所以， 因為的面積為， 所以，即， 所以， 所以， 所以， 所以，即的周長為． 核心考點三三角函數(shù)與解三角形的綜合問題 高考中常將解三角形與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)兩者結(jié)合起來，既考查解三角形問題，也注重對三角函數(shù)的化簡、計算及考查相關(guān)性質(zhì)等，其中常涉及三角恒等變換、向量等，且以此為出發(fā)點考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)或解三角形，也是解決三角函數(shù)與解三角形問題的基礎(chǔ)，必須熟練掌握. 【經(jīng)典示例】已知向量，，設(shè)函數(shù).將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象. （1）若，求函數(shù)的值域； （2）已知分別為中角的對邊，且滿足，，，，求的面積. 答題模板 第一步，化條件：根據(jù)向量運算將向量式轉(zhuǎn)化為三角式. 第二步，化三角式：三角函數(shù)式的化簡，一般化成的形式，即化為“一角、一次、一函數(shù)”的形式. 第三步，求解：利用的范圍及條件解得函數(shù)的性質(zhì)，寫出結(jié)果. 第四步，代換：利用角的關(guān)系與三角函數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化代換并化簡結(jié)果. 第五步，選工具：根據(jù)條件和所求，合理選擇正、余弦定理求出最終結(jié)果. 第六步，反思：反思回顧，查看關(guān)鍵點，易錯點，對結(jié)果進(jìn)行估算，檢查規(guī)范性. 【滿分答案】（1）由題意，得 . 所以. 因為， 所以， 所以， 所以， 所以函數(shù)的值域為. （2）因為， 所以. 因為， 所以. 所以，解得. 所以. 又，且，， 所以. 所以的面積. 【解題技巧】此類問題是將向量、三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解三角形綜合命題進(jìn)行考查，解題時，只需從條件出發(fā)，由向量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，再轉(zhuǎn)化為解三角形問題，其間只需熟練掌握向量的簡單計算，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的求解方法以及解三角形的相關(guān)知識即可順利解決. 模擬訓(xùn)練 3．已知函數(shù)． （1）將函數(shù)的圖象向右平移個單位可得到函數(shù)的圖象，若，求函數(shù)的值域； （2）已知分別為銳角中角的對邊，且滿足，求的面積． 【答案】（1）；（2）. ∴， 當(dāng)時，；當(dāng)時，． ∴函數(shù)的值域為． （2）由已知及正弦定理得：． ∴， ∵， ∴， 由得，從而， 由正弦定理得：， ∴． 核心考點四三角函數(shù)與解三角形的實際應(yīng)用 三角函數(shù)與解三角形模型在實際中的應(yīng)用體現(xiàn)在兩個方面：一是已知函數(shù)模型，利用三角函數(shù)或解三角形的有關(guān)知識解決問題，其關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解自變量的意義及自變量與函數(shù)之間的對應(yīng)法則，二是把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，建立三角函數(shù)或解三角形模型，再利用三角函數(shù)或解三角形的有關(guān)知識解決問題，其關(guān)鍵是建模. 【經(jīng)典示例】如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在處測得山頂在北偏東方向上，勻速向北航行分鐘到達(dá)處，測得山頂位于北偏東方向上，此時測得山頂?shù)难鼋?，已知山高為千? （1）船的航行速度是每小時多少千米？ （2）若該船繼續(xù)航行分鐘到達(dá)處，問此時山頂位于處的南偏東什么方向？ 答題模板 第一步，分析：理解題意，弄清已知與未知，畫出示意圖（一個或幾個三角形）； 第二步，建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與待求量盡可能地集中在有關(guān)三角形中，建立一個解三角形的數(shù)學(xué)模型； 第三步，求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解； 第四步，檢驗：檢驗所求的解是否符合實際問題，從而得出實際問題的解． 【滿分答案】（1）在中，，， 在中，， 由正弦定理得：，解得， 又， 所以船的航行速度是每小時千米. （2）在中，， 由余弦定理得：， 在中，由正弦定理得：, 所以，即山頂位于處南偏東. 【解題技巧】解三角形應(yīng)用題時，通常都要根據(jù)題意，從實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后通過解三角形，得到實際問題的解，求解的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題． 模擬訓(xùn)練 4．如圖所示，某小區(qū)為美化環(huán)境，準(zhǔn)備在小區(qū)內(nèi)草坪的一側(cè)修建一條直路，另一側(cè)修建一條休閑大道，它的前一段是函數(shù)的一部分，后一段是函數(shù)（，），時的圖象，圖象的最高點為，，垂足為. （1）求函數(shù)的解析式； （2）若在草坪內(nèi)修建如圖所示的矩形兒童游樂園PMFE，問點落在曲線上何處時，兒童游樂園的面積最大？ 【答案】（1）；（2）點的坐標(biāo)為時，兒童游樂園的面積最大. 所以， 故. （2）在中，令，得， 從而曲路的方程為， 設(shè)點，則兒童游樂園（矩形）的面積，則 ， 時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減， 所以時兒童游樂園（矩形）的面積最大，此時點的坐標(biāo)為. 12