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1、 專題24 數(shù)學思想方法 函數(shù)與方程思想在高考中也是必考內(nèi)容，特別是在函數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)等處都可能考到，幾乎大多數(shù)年份高考中大題都會涉及到．因此認真體會函數(shù)與方程思想是成功高考的關(guān)鍵． 在高考題中，數(shù)形結(jié)合的題目出現(xiàn)在高中數(shù)學知識的方方面面上，把圖象作為工具、載體，以此尋求解題思路或制定解題方案，真正體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的簡捷、靈活特點的多是填空小題。 因為對數(shù)形結(jié)合等思想方法的考查，是對數(shù)學知識在更高層次的抽象和概括能力的考查，是對學生思維品質(zhì)和數(shù)學技能的考查，是新課標高考明確的一個命題方向。 分類討論思想是歷年高考的必考內(nèi)容，它不僅是高考的重點和熱點，也是高考的考點，高考中經(jīng)

2、常會有一道解答題，解題思路直接依賴于分類討論． 預(yù)測以后的高考，將會一如既往地考查分類討論思想，特別在解答題中(尤其導數(shù)與函數(shù))，將有一道進行分類、求解的把關(guān)題，選擇題、填空題也會出現(xiàn)不同情形的分類討論求解題． 化歸與轉(zhuǎn)化的思想在高考中必然考到，主要可能出現(xiàn)在立體幾何的大題中，將空間立體幾何的問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，解析幾何大題中求范圍問題的題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域范圍問題等，總之將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題是高考中解決問題的重要思想方法． 一、函數(shù)與方程思想 一般地，函數(shù)思想就是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖象變換等．在

3、解題中，善于挖掘題目的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和巧用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵，它廣泛地應(yīng)用于方程、不等式、數(shù)列等問題． 1．方程思想就是將所求的量(或與所求的量相關(guān)的量)設(shè)成未知數(shù)，用它表示問題中的其他各量，根據(jù)題中的已知條件列出方程(組)，通過解方程(組)或?qū)Ψ匠?組)進行研究，使問題得到解決． 2．方程思想與函數(shù)思想密切相關(guān)：方程f(x)＝0的解就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標；函數(shù)y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，通過方程進行研究，方程f(x)＝a有解，當且僅當a屬于函數(shù)f(x)的值域．函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系十分重要． 可用函數(shù)與方程思想

4、解決的相關(guān)問題． 1．函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面： (1)借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題； (2)在研究問題中通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把研究的問題化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達到化難為易、化繁為簡的目的． 2．方程思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在四個方面： (1)解方程或解不等式； (2)帶參變數(shù)的方程或不等式的討論，常涉及一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、區(qū)間根、區(qū)間上恒成立等知識的應(yīng)用； (3)需要轉(zhuǎn)化為方程的討論，如曲線的位置關(guān)系等； (4)構(gòu)造方程或不等式求解問題． 二、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想

5、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)．。 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，應(yīng)注意以下數(shù)與形的轉(zhuǎn)化： 數(shù)形結(jié)合思想解決的問題常有以下幾種： (1)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍； (2)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍； (3)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系； (4)構(gòu)建函數(shù)

6、模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式； (5)構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問題； (6)構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題； (7)構(gòu)建方程模型，求根的個數(shù)； (8)研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等． 常見適用數(shù)形結(jié)合的兩個著力點是： 以形助數(shù)常用的有：借助數(shù)軸；借助函數(shù)圖象；借助單位圓；借助數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征；借助于解析幾何方法. 以數(shù)助形常用的有：借助于幾何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系；借助于運算結(jié)果與幾何定理的結(jié)合。 數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們在平時學習中加強這方面的訓練，以提高

7、解題能力和速度．具體操作時，應(yīng)注意以下幾點：(1)準確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域；(2)用圖象法討論方程(特別是含參數(shù)的方程)的解的個數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達式(有時可能先作適當調(diào)整，以便于作圖)，然后作出兩個函數(shù)的圖象，由圖求解．這種思想方法體現(xiàn)在解題中，就是指在處理數(shù)學問題時，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學語言與直觀的幾何圖象有機結(jié)合起來思索，促使抽象思維和形象思維的和諧復(fù)合，通過對規(guī)范圖形或示意圖形的觀察分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得到簡捷解決。 1．數(shù)形結(jié)合的途徑 （1）通過坐標系形題數(shù)解 借助于建立直角坐標系、復(fù)平面

8、可以將圖形問題代數(shù)化。這一方法在解析幾何中體現(xiàn)的相當充分（在高考中主要也是以解析幾何作為知識載體來考察的）；值得強調(diào)的是，形題數(shù)解時，通過輔助角引入三角函數(shù)也是常常運用的技巧（這是因為三角公式的使用，可以大大縮短代數(shù)推理） 實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：①實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；②函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；③曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；⑤所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。。 常見方法有： ①解析法：建立適當?shù)淖鴺讼担ㄖ苯亲鴺讼?，極坐標系），引進坐標將幾何圖形變換為坐標間的代數(shù)關(guān)系。 ②三角法：將幾何問題與三角形溝通

9、，運用三角代數(shù)知識獲得探求結(jié)合的途徑。 ③向量法：將幾何圖形向量化，運用向量運算解決幾何中的平角、垂直、夾角、距離等問題。把抽象的幾何推理化為代數(shù)運算。特別是空間向量法使解決立體幾何中平行、垂直、夾角、距離等問題變得有章可循。 （2）通過轉(zhuǎn)化構(gòu)造數(shù)題形解 許多代數(shù)結(jié)構(gòu)都有著對應(yīng)的幾何意義，據(jù)此，可以將數(shù)與形進行巧妙地轉(zhuǎn)化.例如，將a＞0與距離互化，將a2與面積互化，將a2+b2+ab=a2+b2－2與余弦定理溝通，將a≥b≥c＞0且b+c＞a中的a、b、c與三角形的三邊溝通，將有序?qū)崝?shù)對（或復(fù)數(shù)）和點溝通，將二元一次方程與直線、將二元二次方程與相應(yīng)的圓錐曲線對應(yīng)等等.這種代數(shù)結(jié)構(gòu)向幾何結(jié)

10、構(gòu)的轉(zhuǎn)化常常表現(xiàn)為構(gòu)造一個圖形（平面的或立體的）。另外，函數(shù)的圖象也是實現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化的有效工具之一，正是基于此，函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想經(jīng)常借助于相伴而充分地發(fā)揮作用。 常見的轉(zhuǎn)換途徑為： ①方程或不等式問題?？梢赞D(zhuǎn)化為兩個圖象的交點位置關(guān)系的問題，并借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決相關(guān)的問題。 ②利用平面向量的數(shù)量關(guān)系及模的性質(zhì)來尋求代數(shù)式性質(zhì)。 （3）構(gòu)造幾何模型。通過代數(shù)式的結(jié)構(gòu)分析，構(gòu)造出符合代數(shù)式的幾何圖形，如將與正方形的面積互化，將與體積互化，將與勾股定理溝通等等。 （4）利用解析幾何中的曲線與方程的關(guān)系，重要的公式（如兩點間的距離，點到直線的距離，直線的斜率，直線的截距）、定義等來

11、尋求代數(shù)式的圖形背景及有關(guān)性質(zhì)。 2．數(shù)形結(jié)合的原則 （1）等價性原則 在數(shù)形結(jié)合時，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價的，否則解題將會出現(xiàn)漏洞.有時，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明，但它同時也是抽象而嚴格證明的誘導。 （2）雙向性原則 在數(shù)形結(jié)合時，既要進行幾何直觀的分析，又要進行代數(shù)抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對代數(shù)問題進行幾何分析（或僅對幾何問題進行代數(shù)分析）在許多時候是很難行得通的。 例如，在解析幾何中，我們主要是運用代數(shù)的方法來研究幾何問題，但是在許多時候，若能充分地挖掘利用圖形的幾何特征，將會使得復(fù)雜的問題簡單化。

12、 （3）簡單性原則 就是找到解題思路之后，至于用幾何方法還是用代數(shù)方法、或者兼用兩種方法來敘述解題過程，則取決于那種方法更為簡單.而不是去刻意追求一種流性的模式——代數(shù)問題運用幾何方法，幾何問題尋找代數(shù)方法。 三、分類討論的思想 分類討論思想是將一個較復(fù)雜的數(shù)學問題分解(或分割)成若干個基礎(chǔ)性問題，通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略．對問題實行分類與整合，分類標準等于是增加的一個已知條件，實現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎(chǔ)性問題)，優(yōu)化解題思路，降低問題難度． 1．由數(shù)學概念引起的分類討論：有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對

13、數(shù)函數(shù)等． 2．由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論：有的數(shù)學定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項和公式、函數(shù)的單調(diào)性等． 3．由數(shù)學運算要求引起的分類討論：如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負，對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同時乘以一個正數(shù)、負數(shù)，三角函數(shù)的定義域等． 4．由圖形的不確定性引起的分類討論：有的圖形類型、位置需要分類，如角的終邊所在的象限；點、線、面的位置關(guān)系等． 5．由參數(shù)的變化引起的分類討論：某些含有參數(shù)的問題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會導致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運用不同

14、的求解或證明方法． 6．由實際意義引起的討論：此類問題在應(yīng)用題中，特別是在解決排列、組合中的計數(shù)問題時常用． 四、化歸與轉(zhuǎn)化的思想 1、化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法 解決數(shù)學問題時，常遇到一些問題直接求解較為困難，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇運用恰當?shù)臄?shù)學方法進行變換， 將原問題轉(zhuǎn)化為一個新問題(相對來說，是自己較熟悉的問題)，通過新問題的求解，達到解決原問題的目的，這一思想方法我們稱之為“化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法”． 2 、化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法應(yīng)用的主要方向 化歸與轉(zhuǎn)化思想的實質(zhì)是揭示聯(lián)系，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化．除極簡單的數(shù)學問題外，每個數(shù)學問題的解決都是通過轉(zhuǎn)化為已知的問題實現(xiàn)的．從這個

15、意義上講，解決數(shù)學問題就是從未知向已知轉(zhuǎn)化的過程．化歸與轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學問題的根本思想，解題的過程實際上就是一步步轉(zhuǎn)化的過程．數(shù)學中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如未知向已知轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化，新知識向舊知識的轉(zhuǎn)化，命題之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，高維向低維的轉(zhuǎn)化，多元向一元的轉(zhuǎn)化，高次向低次的轉(zhuǎn)化，超越式向代數(shù)式的轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)． 3、等價轉(zhuǎn)化和非等價轉(zhuǎn)化 轉(zhuǎn)化有等價轉(zhuǎn)化和非等價轉(zhuǎn)化之分．等價轉(zhuǎn)化前后是充要條件，所以盡可能使轉(zhuǎn)化具有等價性；在不得已的情況下，進行不等價轉(zhuǎn)化，應(yīng)附加限制條件，以保持等價性，或?qū)λ媒Y(jié)論進行必要的驗證．

16、 考點一、運用函數(shù)與方程思想解決字母(或式子)的求值或取值范圍問題 例1．若函數(shù)f(x)＝3＋logax，x＞2(－x＋6，x≤2，)(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析 由題意f(x)的圖象如右圖，則 3＋loga2≥4，(a＞1，) ∴1＜a≤2. 答案 (1，2] 【變式探究】如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連續(xù)(相切)，已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為( ) A．y＝2(1)x3－2(1)x2－x B．y＝2(1)x3＋2(1)x2－3x C．y

17、＝4(1)x3－x D．y＝4(1)x3＋2(1)x2－2x 考點二、運用函數(shù)與方程思想解決方程問題 例2、設(shè)函數(shù)f(x)＝2x，x≥1，(3x－1，x＜1，)則滿足f(f(a))＝2f(a)的a取值范圍是( ) A.，1(2) B．[0，1] C.，＋∞(2) D．[1, ＋∞) 答案 C 【規(guī)律方法】 研究此類含參數(shù)的三角、指數(shù)、對數(shù)等復(fù)雜方程解的問題，通常有兩種處理思路：一是分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù)，將方程有解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域；二是換元，將復(fù)雜方程問題轉(zhuǎn)化為熟悉的二次方程，進而利用二次方程解的分布情況構(gòu)建不等式或構(gòu)造函數(shù)加以解決． 【變式探究

18、】已知函數(shù)f(x)＝（x－2）2，x＞2，(2－|x|，x≤2，)函數(shù)g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，若函數(shù)y＝f(x)－g(x)恰有4個零點，則b的取值范圍是( ) A.，＋∞(7) B.4(7) C.4(7) D.，2(7) 解析 記h(x)＝－f(2－x)在同一坐標系中作出f(x)與h(x)的圖象如圖，直線AB：y＝x－4，當直線l∥AB且與f(x)的圖象相切時，由y＝（x－2）2，(y＝x＋b′，) 解得b′＝－4(9)，－4(9)－(－4)＝4(7)， 所以曲線h(x)向上平移4(7)個單位后，所得圖象與f(x)的圖象有四個公共點，平移2個單位后，兩圖象

19、有無數(shù)個公共點，因此，當4(7)＜b＜2時，f(x)與g(x)的圖象有四個不同的交點，即y＝f(x)－g(x)恰有4個零點．選D. 答案 D 考點三、運用函數(shù)與方程思想解決不等式問題 例3．已知函數(shù)f(x)＝x2，x＞a，(x3，x≤a，)若存在實數(shù)b，使函數(shù)g(x)＝f(x)－b有兩個零點，則a的取值范圍是________． 解析 若0≤a≤1時，函數(shù)f(x)＝x2?。▁＞a）(x3?。▁≤a），)在R上遞增，若a＞1或a＜0時， 由圖象知y＝f(x)－b存在b使之有兩個零點，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)． 答案 (－∞，0)∪(1，＋∞) 【規(guī)律方法】 (1)在解決值的

20、大小比較問題時，通過構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性或圖象解決是一種重要思想方法． (2)在解決不等式恒成立問題時，一種重要的思想方法就是構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題．同時要注意在一個含多個變量的數(shù)學問題中，需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題更明朗化，一般地，已知存在范圍的量為變量，而待求范圍的量為參數(shù)． (3)在解決不等式證明問題時，構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)方法解題是近幾年各省市高考的一個熱點．用導數(shù)來解決不等式問題時，一般都要先根據(jù)欲證的不等式構(gòu)造函數(shù)，然后借助導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性情況，再結(jié)合在一些特殊點處的函數(shù)值得到欲證的不等式． 【變式探究】設(shè)

21、函數(shù)f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2時取到極值． (1)求a，b的值； (2)若對于任意的x∈[0，3]都有f(x)0，解得c<－1或c>9.

22、 考點四、運用函數(shù)與方程思想解決最優(yōu)化問題 例4、某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個端點，測得點M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米，R以l2，l1所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系xOy，假設(shè)曲線C符合函數(shù)y＝x2＋b(a)(其中a，b為常數(shù))模型． (1)求a，b的值； (2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t. ①請寫出

23、公路l長度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域； ②當t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度． 解 (1)由題意知，點M，N的坐標分別為(5，40)，(20，2.5)． 將其分別代入 y＝x2＋b(a)，得 ＝2.5，(a) 解得b＝0.(a＝1 000，) (2)①由(1)知，y＝x2(1 000)(5≤x≤20)， 則點P的坐標為t2(1 000)， 設(shè)在點P處的切線l交x，y軸分別于A，B點， y′＝－x3(2 000)， 則l的方程為y－t2(1 000)＝－t3(2 000)(x－t)， 由此得A，0(3t)，Bt2(3 000). 故f(t)＝2(3

24、000) ＝2(3)t4(4×106)，t∈[5，20]． 【規(guī)律方法】 解析幾何、立體幾何及其實際應(yīng)用等問題中的最優(yōu)化問題，一般利用函數(shù)思想來解決，思路是先選擇恰當?shù)淖兞拷⒛繕撕瘮?shù)，再用函數(shù)的知識來解決． 【變式探究】某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩橋墩相距m米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預(yù)測，一個橋墩的工程費用為256萬元，距離為x米的相鄰兩橋墩之間的橋面工程費用為(2＋)x萬元．假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元． (1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式． (2)當m＝640米時，需新建多少個橋墩才能使y最

25、?。? 【解析】(1)設(shè)需要新建n個橋墩，(n＋1)x＝m， 即n＝x(m)－1，所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x＝256－1(m)＋x(m)(2＋)x ＝x(256m)＋m＋2m－256. (2)由(1)知，f′(x)＝－x2(256m)＋2(1)m·x－2(1)＝2x2(m)(x2(3)－512)． 令f′(x)＝0，得x2(3)＝512，所以x＝64. 當0＜x＜64時f′(x)＜0，f(x)在區(qū)間(0，64)內(nèi)為減函數(shù)； 當64＜x＜640時，f′(x)＞0，f(x)在區(qū)間(64，640)內(nèi)為增函數(shù)， 所以f(x)在x＝64處取得最小值，此時， n＝x(m

26、)－1＝64(640)－1＝9. 故需新建9個橋墩才能使y最小． 【小結(jié)反思】 1．函數(shù)與方程思想在許多容易題中也有很多體現(xiàn)． 2．有很多時候可以將方程看成函數(shù)來研究，這就是函數(shù)思想． 3．有些時候可以將函數(shù)看成方程來研究，這就是最簡單的方程思想．我們可以有意通過函數(shù)思想部分訓練提升自己的數(shù)學能力． 考點五、 用數(shù)形結(jié)合思想解決方程、不等式及函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)問題 例5、(1)已知：函數(shù)f(x)滿足下面關(guān)系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②當x∈[－1，1]時，f(x)＝x2，則方程f(x)＝lg x解的個數(shù)是( ) A．5個 B．7個 C．9個 D．10個 (2)設(shè)有

27、函數(shù)f(x)＝a＋和g(x)＝3(4)x＋1，已知x∈[－4，0]時恒有f(x)≤g(x)，求實數(shù)a的取值范圍． 由圖象可知共9個交點，故選C. (2)f(x)≤g(x)，即a＋≤3(4)x＋1， 變形得≤3(4)x＋1－a， 令y＝，① y＝3(4)x＋1－a，② 誤區(qū)警示：作圖時弄清y＝lg x的圖象何時超過1，否則易造成結(jié)果錯誤． 【規(guī)律方法】 (1)用函數(shù)的圖象討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程)的解的個數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個熟悉函數(shù)的表達式(不熟悉時，需要作適當變形轉(zhuǎn)化為兩個熟悉

28、的函數(shù))，然后在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，圖象的交點個數(shù)即為方程解的個數(shù)． (2)解不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點，選擇適當?shù)膬蓚€(或多個)函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化的數(shù)量關(guān)系來解決不等式的解的問題，往往可以避免繁瑣的運算，獲得簡捷的解答． (3)函數(shù)的單調(diào)性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的升、降，奇偶性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的對稱性，最值(值域)經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的最高、最低點的縱坐標． 【變式探究】已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，若方程f(x)＝m(m>0)在區(qū)間[－8，8]上有四個不同的根x1，x2，

29、x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4＝________． 【答案】－8. 考點六、用數(shù)形結(jié)合思想解決參數(shù)、代數(shù)式的最值、取值范圍問題 例6、 (1)已知x，y滿足條件16(x2)＋25(y2)＝1，求y－3x的最大值與最小值． (2)已知實數(shù)x，y滿足不等式組x≥0，(x2＋y2≤4，)求函數(shù)z＝x＋1(y＋3)的值域． 思路點撥：(1)令b＝y(tǒng)－3x，即y＝3x＋b，視b為直線y＝3x＋b的截距，而直線與橢圓必有公共點，故相切時，b有最值． (2)此題可轉(zhuǎn)化成過點(－1，－3)與不等式組x≥0(x2＋y2≤4，)表示區(qū)域的點的連線的斜率的范圍． 【解析】(1)令y－

30、3x＝b，則y＝3x＋b，原問題轉(zhuǎn)化為在橢圓16(x2)＋25(y2)＝1上找一點，使過該點的直線斜率為3，且在y軸上有最大截距或最小截距． 由圖可知，當直線y＝3x＋b與橢圓16(x2)＋25(y2)＝1相切時，有最大或最小的截距． 將y＝3x＋b代入16(x2)＋25(y2)＝1， 得169x2＋96bx＋16b2－400＝0， 令Δ＝0，解得b＝±13. 故y－3x的最大值為13，最小值為－13. 由圖顯見，過點P和點A(0，2)的直線斜率最大， zmax＝0－（－1）(2－（－3）)＝5. 過點P向半圓作切線，切線的斜率最小． 設(shè)切點為B(a，b)

31、，則過點B的切線方程為ax＋by＝4.又B在半圓周上，P在切線上，則有－a－3b＝4，(a2＋b2＝4，)又a＞0， 解得6因此zmin＝3(6－3). 綜上可知函數(shù)的值域為，5(6－3). 誤區(qū)警示：此題很容易犯的錯誤是由z＝x＋1(y＋3)得到點(－1，－3)的坐標時，很容易寫成(1，3)，所以做題時要看清順序． 【規(guī)律方法】 如果參數(shù)、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)蘊含著明顯的幾何特征，一般考慮用數(shù)形結(jié)合的方法來解題，即所謂的幾何法求解，比較常見的對應(yīng)有： (1)y＝kx＋b中k表示直線的斜率，b表示直線在y軸上的截距． (2)a－m(b－n)表示坐標平面上兩點(a，b)，(m，n)連線的斜

32、率． (3)表示坐標平面上兩點(a，b)，(m，n)之間的距離． (4)導函數(shù)f′(x0)表示曲線在點(x0，f(x0))處切線的斜率． 只要具有一定的觀察能力，再掌握常見的數(shù)與形的對應(yīng)類型，就一定能得心應(yīng)手地運用數(shù)形結(jié)合的思想方法． 【變式探究】已知x，y滿足條件16(x2)＋25(y2)＝1，求5x＋4y的最大值與最小值． 考點七、數(shù)形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用 例7、如圖所示，在三棱錐VABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點，且AC＝BC＝a，∠VDC＝θ2(π). (1)求證：平面VAB⊥平面VCD； (2)當角θ變化時，求直線BC與平面VAB所

33、成的角的取值范圍． 思路點撥：以CA，CB，CV所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直線坐標系，用空間向量的坐標運算來證明面面垂直，及將線面角正弦值表示角θ的函數(shù)；再利用函數(shù)思想求解． 【解析】(1)以CA，CB，CV所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直線坐標系． 則C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，D，0(a)，Vatan θ(2). 又AB平面VAB. ∴平面VAB⊥平面VCD. 又∵＝(0，－a，0)， 于是sin φ＝|cos〈n，〉|＝＝ tan2θ(2)＝2(2)|sin θ|. ∵0＜θ＜2(π)，

34、 ∴0＜sin θ＜1，0＜sin φ＜2(2). 又∵0≤φ≤2(π)，∴0＜φ＜4(π). 即直線BC與平面VAB所成角的取值范圍為4(π). 【規(guī)律方法】 (1)應(yīng)用空間向量可以解決的常見問題有空間角中的異面直線所成的角、線面角、二面角；位置關(guān)系中的平行、垂直及點的空間位置．其一般思路是：盡量建立空間直角坐標系，將要證、要求的問題轉(zhuǎn)化為坐標運算． (2)解析幾何問題的求解往往將題目所給信息先轉(zhuǎn)換成幾何圖形性質(zhì)，結(jié)合該類圖形的幾何性質(zhì)，將條件信息和結(jié)論信息結(jié)合在一起，觀察圖形特征，為代數(shù)法求解找到突破口． 【變式探究】 如圖， 在棱長為1的正方體ABCDA1B1C

35、1D1中，P是側(cè)棱CC1上的一點，CP＝m. (1)試確定m，使得直線AP與平面BDD1B1所成角的正切值為3； (2)在線段A1C1上是否存在一定點Q，使得對任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.并證明你的結(jié)論． 【解析】(1)建立如圖所示的空間直角坐標系， 又由·＝0，·＝0，知為平面BB1D1D的一個法向量． 設(shè)AP與平面BB1D1D所成的角為θ，則 sin θ＝cos－θ(π)＝＝2＋m2(2). 依題意有2＋m2(2)＝）2(2)， 解得m＝3(1). 故當m＝3(1)時，直線AP與平面BDD1B1所成角的正切值為3. (2)若在A1C1上

36、存在這樣的點Q，設(shè)此點的橫坐標為x，則Q(x，1－x，1)，＝(x，1－x，0)． 依題意，對任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等價于 D1Q⊥AP·＝0－x＋(1－x)＝0x＝2(1). 即Q為A1C1的中點時，滿足題設(shè)要求． 【小結(jié)反思】 1．數(shù)形結(jié)合是解決許多數(shù)學問題的重要方法，它可以將抽象數(shù)學問題具體化、準確化、形象化．我們用好數(shù)形結(jié)合可以使我們更深入準確的理解數(shù)學問題． 2．數(shù)形結(jié)合主要應(yīng)用于：函數(shù)、三角、集合、立體幾何、解幾、向量、不等式等． 3．是否選擇應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的原則是：是否有利于解決問題，用最簡單的辦法解決問題為最終目的． 考點八、根據(jù)數(shù)學

37、的概念分類討論 例8、設(shè)0＜x＜1，a＞0且a≠1，比較|loga(1－x)|與|loga(1＋x)|的大小． 思路點撥：先利用0＜x＜1確定1－x與1＋x的范圍，再利用絕對值及對數(shù)函數(shù)的概念分類討論兩式差與0的大小關(guān)系，從而比較出大?。? 【規(guī)律方法】 本題是由對數(shù)函數(shù)的概念內(nèi)涵引起的分類討論，我們稱為概念分類型．由概念內(nèi)涵引起的分類還有很多：如絕對值|a|分a＞0，a＝0，a＜0三種情況；直線的斜率分傾斜角θ≠90°，斜率k存在，傾斜角θ＝90°，斜率不存在；指數(shù)、對數(shù)函數(shù)[y＝ax(a＞0且a≠1)與y＝logax(a＞0且a≠1)]可分為a＞1，0＜a＜1兩種類型；直線的截

38、距式分直線過原點時[為y＝kx]，不過原點時＝1(y)等． 考點九、根據(jù)運算的要求或性質(zhì)、定理、公式的條件分類討論 例9、在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，滿足a2n＝2an，n＝1，2，… (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)記bn＝anpan(p＞0)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 思路點撥：(1)由a2n＝2an，n＝1，2，…求出公差d，即得{an}的通項公式． (2)先求{bn}的通項公式，然后用錯位相減可求Tn，但由于公比q不確定，故用等比數(shù)列前n項和公式求Tn時要分類討論． 【規(guī)律方法】 (1)一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，均值定理，等

39、比數(shù)列的求和公式等性質(zhì)、定理與公式在不同的條件下有不同的結(jié)論，或者在一定的限制條件下才成立，這時要小心，應(yīng)根據(jù)題目條件確定是否進行分類討論． (2)分類討論的有些問題是由運算的需要引發(fā)的．比如除法運算中分母能否為零的討論；解方程及不等式兩邊同乘以一個數(shù)是否為零，是正數(shù)，還是負數(shù)的討論；二次方程運算中對兩根大小的討論；求函數(shù)單調(diào)性時，導數(shù)正負的討論；排序問題；差值比較中的差的正負的討論；有關(guān)去絕對值或根號問題中等價變形引發(fā)的討論等． 考點十、根據(jù)字母的取值情況分類討論 例10、已知函數(shù)f(x)＝2x3－3x. (1)求f(x)在區(qū)間[－2，1]上的最大值； (2)若過點P(1，t)存

40、在3條直線與曲線y＝f(x)相切，求t的取值范圍； (3)問過點A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分別存在幾條直線與曲線y＝f(x)相切(只需寫出結(jié)論)? 設(shè)g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，則“過點P(1，t)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切”等價于“g(x)有3個不同零點”，g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)，g(x)與g′(x)的情況如下： x (－∞，0) 0 (0，1) 1 (1，＋∞) g′(x) ＋ 0 － 0 ＋ g(x) ↗ t＋3 ↘ t＋1 ↗ 所以，g(0)＝t＋3是g(x)的極大值，g(1)

41、＝t＋1是g(x)的極小值， 當g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3時，此時g(x)在區(qū)間(－∞，1]和(1，＋∞)上分別至多有1個零點，所以g(x)至多有2個零點， 當g(1)＝t＋1≥0，t≥－1時，此時g(x)在區(qū)間(－∞，0)和[0，＋∞)上分別至多有1個零點，所以g(x)至多有2個零點． 當g(0)＞0且g(1)＜0，即－3＜t＜－1時，因為g(－1)＝t－7＜0，g(2)＝t＋11＞0， 所以g(x)分別為區(qū)間[－1，0)，[0，1)和[1，2)上恰有1個零點，由于g(x)在區(qū)間(－∞，0)和(1，＋∞)上單調(diào)，所以g(x)分別在區(qū)間(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1個零點．

42、 綜上可知，當過點P(1，t)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切時，t的取值范圍是(－3，－1)． (3)過點A(－1，2)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切； 過點B(2，10)存在2條直線與曲線y＝f(x)相切； 過點C(0，2)存在1條直線與曲線y＝f(x)相切． 【規(guī)律方法】 題目中含有參數(shù)的問題(含參型)，主要包括：含有參數(shù)的不等式的求解；含有參數(shù)的方程的求解；對于解析式系數(shù)是參數(shù)的函數(shù)，求最值與單調(diào)性問題；二元二次方程表示曲線類型的判定等．求解這類問題的一般思路是：結(jié)合參數(shù)的意義及對結(jié)果的影響而進行分類討論．討論時，應(yīng)全面分析參數(shù)變化引起結(jié)論的變化情況，參數(shù)有幾

43、何意義時還要考慮適當?shù)剡\用數(shù)形結(jié)合思想． 考點十一、根據(jù)圖形位置或形狀變動分類討論 例11、長方形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝8，在BC邊上取一點P，使|BP|＝t，線段AP的垂直平分線與長方形的邊的交點為Q，R時，用t表示|QR|. 思路點撥：建立平面直角坐標系，設(shè)法求出點Q，R的坐標，利用兩點間的距離公式建模． 【解析】如圖所示，分別以BC，AB所在的邊為x，y軸建立平面直角坐標系． 這時|QR|＝2；當8－4＜t≤4時，Q，R兩點分別在AB，AD上，對方程①，分別令x＝0和y＝4， 可得Q8(t2)，R，4(t)， 【規(guī)律方法】 一般由圖形的位

44、置或形狀變動引發(fā)的討論包括：二次函數(shù)對稱軸位置的變動；函數(shù)問題中區(qū)間的變動；函數(shù)圖象形狀的變動；直線由斜率引起的位置變動；圓錐曲線由焦點引起的位置變動或由離心率引起的形狀變動；立體幾何中點、線、面的位置變動等． 【小結(jié)反思】 1．分類討論的思想方法的步驟：(1)確定標準；(2)合理分類；(3)逐類討論；(4)歸納總結(jié)． 2．簡化分類討論的策略：(1)消去參數(shù)；(2)整體換元；(3)變更主元；(4)考慮反面；(5)整體變形；(6)數(shù)形結(jié)合；(7)縮小范圍等． 3．進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學地劃分，分清主次，不越級討論．其中

45、最重要的一條是“不漏不重”． 4．解題時把好“四關(guān)”． (1)要深刻理解基本知識與基本原理，把好“基礎(chǔ)關(guān)”； (2)要找準劃分標準，把好“分類關(guān)”； (3)要保證條理分明，層次清晰，把好“邏輯關(guān)”； (4)要注意對照題中的限制條件或隱含信息，合理取舍，把好“檢驗關(guān)”． 考點十二、 數(shù)列問題化歸為函數(shù)問題解決 例12、某廠2015年生產(chǎn)利潤逐月增加，且每月增加的利潤相同，但由于廠方正在改造建設(shè)，1月份投入資金建設(shè)恰好與1月份的利潤相等，隨著投入資金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建設(shè)資金又恰好與12月的生產(chǎn)利潤相同，則全年總利潤M與全年總投入N的大小關(guān)系是(

46、 ) A．M>N B．M

47、 思路點撥：如視P為頂點，△ABC為底面，則無論是S△ABC以及高h都不好求．如果觀察圖形，換個角度看問題，創(chuàng)造條件去應(yīng)用三棱錐體積公式，則可走出困境． 【解析】如圖，連接EB，EC，由PA⊥BC，PA⊥ED，ED∩BC＝D，可得PA⊥截面ECB.這樣，截面ECB將原三棱錐切割成兩個分別以ECB為底面，以PE，AE為高的小三棱錐，而它們的底面積相等，高PE＋AE＝PA＝l，所以 VPABC＝VPECB＋VAECB＝3(1)S△ECB·AE＋3(1)S△ECB·PE＝3(1)S△ECB·PA＝3(1)·2(1)BC·ED·PA＝6(1)l2h. 點評：輔助截面ECB的添設(shè)使問

48、題轉(zhuǎn)化為已知問題，迎刃而解． 考點十四、二項式定理應(yīng)用問題通過化歸解決 例14、在(x2＋3x＋2)5的展開式中x的系數(shù)為( ) A．160 B．240 C．360 D．800 解法二 利用二項式定理把三項式乘冪轉(zhuǎn)化為二項式定理再進行計算，∵x2＋3x＋2＝x2＋(3x＋2)＝(x2＋2)＋3x＝(x2＋3x)＋2＝(x＋1)(x＋2)＝(1＋x)(2＋x)，∴這條思路下又有四種不同的化歸與轉(zhuǎn)化方法．①如利用x2＋3x＋2＝x2＋(3x＋2)轉(zhuǎn)化，可以發(fā)現(xiàn)只有C5(5)(3x＋2)5中會有x項，即C5(4)(3x)·24＝240x；②如利用x2＋3x＋2＝(x2＋2)＋

49、3x進行轉(zhuǎn)化，則只C5(1)(x2＋2)4·3x中含有x一次項，即C5(1)·3x·C4(4)·24＝240x；③如利用x2＋3x＋2＝(x2＋3x)＋2進行轉(zhuǎn)化，就只有C5(4)·(x2＋3x)·24中會有x項，即240x； ④如選擇x2＋3x＋2＝(1＋x)(2＋x)進行轉(zhuǎn)化，(x2＋3x＋2)5＝(1＋x)5×(2＋x)5展開式中的一次項x只能由(1＋x)5中的一次項乘以(2＋x)5展開式中的常數(shù)項加上(2＋x)5展開式中的一次項乘以(1＋x)5展開式中的常數(shù)項后得到，即為C5(1)x·C5(5)25＋C5(1)·24·x·C5(0)·15＝160x＋80x＝240x.故選B. 【答

50、案】B 考點十五、函數(shù)與不等式中變換主元將二次函數(shù)問題化歸為一次函數(shù)解決 例15、若不等式x2＋px＞4x＋p－3對一切0≤p≤4均成立，試求實數(shù)x的取值范圍． 點評：在有幾個變量的問題中，常常有一個變量處于主要地位，我們稱之為主元，由于思維定勢的影響，在解決這類問題時，我們總是緊緊抓住主元不放，這在很多情況下是正確的．但在某些特定條件下，此路往往不通，這時若能變更主元，轉(zhuǎn)變其他變量在問題中的地位，就能使問題迎刃而解．本題中，若視x為主元來處理，既繁且易出錯，將主元進行轉(zhuǎn)化，使問題變成關(guān)于p的一次不等式，問題實現(xiàn)了從高維向低維的轉(zhuǎn)化，解題簡單易行． 【小結(jié)反思】 1．化歸與轉(zhuǎn)化

51、應(yīng)遵循的基本原則： (1)熟悉化原則．將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，以利于我們運用熟知的知識、經(jīng)驗和問題來解決． (2)簡單化原則．將復(fù)雜的問題化歸為簡單問題，通過對簡單問題的解決，達到解決復(fù)雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù)． (3)和諧化原則．化歸問題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運用某種數(shù)學方法或其方法符合人們的思維規(guī)律． (4)直觀化原則．將比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題來解決． (5)正難則反原則．當問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設(shè)法從問題的反面去探求，使問題獲解． 2．熟練、扎實地掌握基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法是轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)；豐富的聯(lián)想、機敏細微的觀察、比較、類比是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的橋梁；培養(yǎng)訓練自己自覺的化歸與轉(zhuǎn)化意識，需要對定理、公式、法則有本質(zhì)上的深刻理解和對典型習題的總結(jié)和提煉，要積極主動有意識地去發(fā)現(xiàn)事物之間的本質(zhì)聯(lián)系． “抓基礎(chǔ)，重轉(zhuǎn)化”是學好中學數(shù)學的金鑰匙． 3．為了實施有效的化歸，既可以變更問題的條件，也可以變更問題的結(jié)論；既可以變換問題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，也可以變換問題的外部形式；既可以從代數(shù)的角度去認識問題，也可以從幾何的角度去認識問題． 29