問題 回憶矩形和菱形的定義 你能說出它們的異同嗎 正方形 有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形 正方形不僅是特殊的平行四邊形 也是特殊的矩形 又是特殊的菱形 平行四邊形 一個角是直角 矩形 平行四邊形 一組鄰邊相等 菱形 正方形的性質(zhì) 由于正方形既是矩形又是菱形 所以正方形既有矩形的性質(zhì) 又有菱形的性質(zhì) 邊 對邊平行 四邊相等 角 四個角都是直角 對角線 對角線相等且互相垂直平分 每條對角線平分一組對角 注意 正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形 對角線與邊的夾角是45 正方形的兩條對角線把它分成四個全等的等腰直角三角形 這是正方形的特殊性質(zhì) 例1 已知 如圖1 正方形ABCD中 對角線的交點為O 1 E是AC上的一點 過點A作AG BE于G AG BD交于點F 求證 OE OF 2 若點E在AC上的延長線上 如圖2 過點A做AG BE交EB的延長線于G AG的延長線交BD于點F 其它條件不變 OE OF還成立嗎 若成立 請給予證明 若不成立 請說明理由 圖2 解析 1 要證明OE OF 只需證明 BOE AOF 要證 BOE AOF 利用正方形性質(zhì)即可 第 2 問和第 1 問圖形雖然有所變化 但實質(zhì)一樣 也可通過證 BOE AOF 從而得到OE OF 例2 已知 如圖3 四邊形ABCD是正方形 分別過點A C兩點l1 l2 作BM l1于M DN l1于N 直線MB DN分別交l2于Q P點求證 四邊形PQMN是正方形 圖3 答案 證明 PN l1 QM l1 PN QM PNM 90 PQ NM 四邊形PQMN是矩形 四邊形ABCD是正方形 BAD ADC 90 AB AD DC 正方形的四條邊都相等 四個角都是直角 1 2 90 又 3 2 90 1 3 ABM DAN AM DN 同理AN DP AM AN DN DP即MN PN 四邊形PQMN是正方形 有一組鄰邊相等的矩形是正方形 1 正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是 A 對角線互相平分B 四角都相等C 四條邊都相等D 對角線互相垂直2 正方形ABCD的周長為16cm 順次連接正方形ABCD各邊的中點 得到四邊形EFGH 則四邊形EFGH的周長等于 cm 四邊形EFGH的面積等于 cm2 B 8 3 已知 如圖1 四邊形ABCD為正方形 E F分別為CD CB延長線上的點 且DE BF 求證 AFE AEF 4 如圖2 E為正方形ABCD內(nèi)一點 且 EBC是等邊三角形 求 EAD與 ECD的度數(shù) 圖2 5 在四邊形ABCD中 O是對角線的交點 能判定這個四邊形是正方形的條件是 A AC BD AB CD且AB CDB AD BC A CC AO BO CO DO AC BDD AO CO BO DO AB BC6 如圖3 在一個由4 4個小正方形組成的正方形網(wǎng)格中 陰影部分面積與正方形ABCD的面積比 A 3 4B 5 8C 9 16D 1 2 C B 7 已知 如圖4 點E為正方形ABCD的邊AD上一點 連結(jié)BE 過點A作AH BE 垂足為H 延長AH交CD于點F 求證 DE CF 8 已知 如圖5 正方形ABCD中 E F分別為BC CD上的點 若 FAE 45 求證 BE DF EF 圖4 1 正方形的性質(zhì) 從邊 角 對角線三個方面來總結(jié)敘述 這樣不容易丟漏 也容易記憶2 正方形的判定方法 1 有一個角是直角的菱形是正方形 2 有一組鄰邊相等的矩形是正方形 3 對角線相等的菱形是正方形 4 對角線互相垂直的矩形是正方形