《廣東省中考數(shù)學(xué) 第二部分 題型研究 拓展題型 二次函數(shù)綜合題課件》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《廣東省中考數(shù)學(xué) 第二部分 題型研究 拓展題型 二次函數(shù)綜合題課件（56頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、拓展題型拓展題型 二次函數(shù)綜合題二次函數(shù)綜合題拓展一拓展一 二次函數(shù)與線段和差問題二次函數(shù)與線段和差問題拓展二拓展二 二次函數(shù)與三角形面積問題二次函數(shù)與三角形面積問題拓展三拓展三 二次函數(shù)與特殊四邊形判定問題二次函數(shù)與特殊四邊形判定問題拓展一拓展一 二次函數(shù)與線段和差問題二次函數(shù)與線段和差問題 典例精講例例1 如圖，拋物線如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a0)與與x軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)A、B（1,0)，與，與y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)C，直線，直線y= x-2經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)A、C. .拋拋物線的頂點(diǎn)為物線的頂點(diǎn)為D,對稱軸為直線對稱軸為直線l .（1)求拋物線的解析式；求拋物線的解析式；【思維教練【思維教

2、練】已知直線已知直線y= x-2經(jīng)過經(jīng)過點(diǎn)點(diǎn)A、C，結(jié)合題干，可求得，結(jié)合題干，可求得A、C兩兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合B(1,0)，代入拋物線，代入拋物線y=ax2+bx+c(a0)求解即可；求解即可；1212例例1題圖題圖121252拋物線解析式為拋物線解析式為y= - x2+ x-2；解解：對于直線：對于直線y= x-2，令，令y=0,得得x=4,令令x=0，得，得y=-2，點(diǎn)點(diǎn)A（4 ， 0），點(diǎn)），點(diǎn)C（0，-2），），將將A（4，0），），B（1，0），），C（0，-2）代入拋物線解析）代入拋物線解析式，得式，得 解得解得125216a+4b+c=0a+b+c=0c=-2，a=

3、 - b= c=-2，例例1題圖題圖【思維教練【思維教練】要求頂點(diǎn)要求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和對稱軸的坐標(biāo)和對稱軸l，需知拋物，需知拋物線的頂點(diǎn)式，線的頂點(diǎn)式，(1)中已求得拋物線的一般式，直接化為中已求得拋物線的一般式，直接化為頂點(diǎn)式即可得到點(diǎn)頂點(diǎn)式即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)和對稱軸的坐標(biāo)和對稱軸l ；（2）求頂點(diǎn)）求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)與對稱軸的坐標(biāo)與對稱軸l；例例1題圖題圖解：由拋物線解：由拋物線y= - x2+ x-2，得，得y= - （x2-5x）-2= - (x- )2+ ，拋物線頂點(diǎn)拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（ , ），），對稱軸對稱軸l為直線為直線x= ；125212521298529852例例1題

4、圖題圖【思維教練【思維教練】已知點(diǎn)已知點(diǎn)E在在x軸上，則設(shè)軸上，則設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（點(diǎn)坐標(biāo)為（e,0）,要要求點(diǎn)求點(diǎn)E的坐標(biāo)，已知的坐標(biāo)，已知AE=CE，需先分別用含，需先分別用含e的式子表示出的式子表示出AE和和CE，由于，由于A點(diǎn)坐標(biāo)（點(diǎn)坐標(biāo)（1）中已求得，則）中已求得，則AE4-e,由題圖由題圖可知點(diǎn)可知點(diǎn)O、E、C三點(diǎn)可構(gòu)成三點(diǎn)可構(gòu)成RtCOE，結(jié)合，結(jié)合C點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)坐標(biāo)，利用勾股定理即可表示出勾股定理即可表示出CE的式子，建立方程求解即可；的式子，建立方程求解即可；（3）設(shè)點(diǎn)）設(shè)點(diǎn)E為為x軸上一點(diǎn)，且軸上一點(diǎn)，且AE=CE，求點(diǎn)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；例例1題圖題圖例例1題解圖題解圖

5、在在Rt COE中，根據(jù)勾股定理得中，根據(jù)勾股定理得CE2=OC2+OE2=22+e2，AE=CE，(4-e)222+e2，解得解得e= ，則點(diǎn)則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（ ，0）；3232E解：如解圖解：如解圖，由點(diǎn)，由點(diǎn)E在在x軸上，可設(shè)點(diǎn)軸上，可設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為（e,0），），則則AE=4-e，連接，連接CE，（4）設(shè)點(diǎn)）設(shè)點(diǎn)G是是y軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)G,使得使得GD+GB的值的值最小，若存在，求出點(diǎn)最小，若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；例例1題圖題圖【思維教練【思維教練】線段之和最小值問題即線段之和最小值問題即“最短

6、路徑問題最短路徑問題”，解決這類問題最基本的定理就是解決這類問題最基本的定理就是“兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短”，即已知一條直線和直線同旁的兩個(gè)點(diǎn)，要在直線上找一點(diǎn)，即已知一條直線和直線同旁的兩個(gè)點(diǎn)，要在直線上找一點(diǎn)，使得這兩個(gè)點(diǎn)與這點(diǎn)連接的線段之和最小，解決問題的方使得這兩個(gè)點(diǎn)與這點(diǎn)連接的線段之和最小，解決問題的方法就是通過軸對稱作出對稱點(diǎn)來解決法就是通過軸對稱作出對稱點(diǎn)來解決.如此問，要使如此問，要使GD+GB的值最小，先找點(diǎn)的值最小，先找點(diǎn)B關(guān)于關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)軸的對稱點(diǎn)B,再連接再連接BD,BD與與y軸的交點(diǎn)即為所求的軸的交點(diǎn)即為所求的G點(diǎn)，求直線點(diǎn)，求直線BD的解析式，的解析式，

7、再求其與再求其與y軸的交點(diǎn)即可；軸的交點(diǎn)即可；設(shè)直線設(shè)直線BD 的解析式為的解析式為y=kx+d（k0），其中），其中D( , )，則則 解得解得直線直線BD的解析式為的解析式為y= x+ ，令，令x=0,得得y= ，點(diǎn)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（0， ）；例例1題解圖題解圖5298-k+d=0 k+d= ，5298k=d= ，928928928928928928解：存在解：存在.如解圖如解圖，取點(diǎn)，取點(diǎn)B關(guān)于關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)軸的對稱點(diǎn)B，則點(diǎn)，則點(diǎn)B的的坐標(biāo)為（坐標(biāo)為（-1,0）.連接連接BD，直線，直線BD與與y軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)G即為所求即為所求的點(diǎn)的點(diǎn).BG（5）在直線）在直線l上是否存在一

8、點(diǎn)上是否存在一點(diǎn)F，使得，使得BCF的周長最小，的周長最小，若存在，求出點(diǎn)若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)及的坐標(biāo)及BCF周長的最小值；若不存在，周長的最小值；若不存在，請說明理由；請說明理由；例例1題圖題圖【思維教練【思維教練】要使要使BCF的周長最小，因的周長最小，因?yàn)闉锽C長為定值，即要使長為定值，即要使CF+BF的值最小，的值最小，由點(diǎn)由點(diǎn)A,B關(guān)于直線關(guān)于直線l對稱，可知對稱，可知AC與與l的交點(diǎn)的交點(diǎn)為點(diǎn)為點(diǎn)F，即可使得，即可使得CF+BF最小，將最小，將x= 代代入直線入直線AC的解析式，即可求得的解析式，即可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)，在在RtAOC中可得中可得AC的長，在的長，在RtOB

9、C中可得中可得BC的長，的長，即可得到即可得到BCF周長的最小值；周長的最小值；52在在RtOBC中，中，OB=1，OC=2，由勾，由勾股定理得股定理得BC= 為定值，為定值，當(dāng)當(dāng)BF+CF最小時(shí)，最小時(shí)，CBCF最小最小.點(diǎn)點(diǎn)B與點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于直線關(guān)于直線l對稱，對稱，AC與對稱軸與對稱軸l的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)F，將將x= 代入直線代入直線y= x-2，得，得y= -2=- ，點(diǎn)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（ , - ）.例例1題解圖題解圖2212 = 552521212345234解：存在，要使解：存在，要使BCF的周長最小，即的周長最小，即BC+BF+CF最小，最小，如解圖如解圖

10、所示所示.F在在RtAOC中，由中，由AO=4，OC=2，根據(jù)勾股定理得，根據(jù)勾股定理得AC=2 ，BCF周長的最小值為周長的最小值為BC+AC= +2 =3 ；5555例例1題解圖題解圖F【思維教練【思維教練】要使要使SD-SB的值最大，則的值最大，則需分兩種情況討論：需分兩種情況討論：S、B、D三點(diǎn)不三點(diǎn)不共線時(shí)構(gòu)成三角形，由三角形三邊關(guān)系共線時(shí)構(gòu)成三角形，由三角形三邊關(guān)系得到得到SD-SBBD；當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有SD-SB=BD.從而得到當(dāng)點(diǎn)從而得到當(dāng)點(diǎn)S在在DB的延長的延長線上時(shí)滿足條件，求出直線線上時(shí)滿足條件，求出直線BD的解析式的解析式后，再求出直線后，再求出直線BD

11、與與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；（6）在）在y軸上是否存在一點(diǎn)軸上是否存在一點(diǎn)S，使得，使得SD- - SB的值最大，的值最大，若存在，求出點(diǎn)若存在，求出點(diǎn)S的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由;例例1題圖題圖當(dāng)當(dāng)S與與DB不在同一條直線上時(shí)，不在同一條直線上時(shí)，由三角形三邊關(guān)系得由三角形三邊關(guān)系得SD-SBBD，當(dāng)當(dāng)S與與DB在同一條直線上時(shí)，在同一條直線上時(shí)，SD-SB=BD，SD-SBBD，即當(dāng)，即當(dāng)S在在DB的延長線上時(shí)，的延長線上時(shí)，SD-SB最大，最大值為最大，最大值為BD.設(shè)直線設(shè)直線BD的解析式為的解析式為y=mx+n,由由B（1，0），），D（

12、， ），得），得例例1題解圖題解圖5298S解：存在解：存在.如解圖如解圖，延長，延長DB交交y軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)S. m+n=0 m+n= ， m=解得解得 ， n=-直線直線BD的解析式為的解析式為y= x- ,當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)時(shí),y=- ,即當(dāng)點(diǎn)即當(dāng)點(diǎn)S的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（0，- ）時(shí)，）時(shí)，SD-SB的值最大；的值最大；5298343434343434例例1題解圖題解圖S（7）若點(diǎn)）若點(diǎn)H是拋物線上位于是拋物線上位于AC上方的一上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)點(diǎn)，過點(diǎn)H作作y軸的平行線，交軸的平行線，交AC于點(diǎn)于點(diǎn)K，設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為的橫坐標(biāo)為h，線段，線段HKd.求求d關(guān)于關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式；的函數(shù)關(guān)系式

13、；求求d的最大值及此時(shí)的最大值及此時(shí)H點(diǎn)的坐標(biāo)；點(diǎn)的坐標(biāo)； 例例1題圖題圖【思維教練【思維教練】平行于平行于y軸的兩點(diǎn)之間的距離為此兩點(diǎn)的縱坐軸的兩點(diǎn)之間的距離為此兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差的絕對值，如此問，要求標(biāo)之差的絕對值，如此問，要求d關(guān)于關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式，由的函數(shù)關(guān)系式，由題可得點(diǎn)題可得點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為的橫坐標(biāo)為h，分別將分別將h代入拋物線及直線代入拋物線及直線AC的解析式中，即可得到點(diǎn)的解析式中，即可得到點(diǎn)H、K的縱坐標(biāo)，再由點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再由點(diǎn)H在點(diǎn)在點(diǎn)K的上方，可得到的上方，可得到d關(guān)于關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式；的函數(shù)關(guān)系式；利用二次函數(shù)的利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，即可得性質(zhì)求最值，即可得HK的最

14、大值及此時(shí)的最大值及此時(shí)H點(diǎn)的坐標(biāo)；點(diǎn)的坐標(biāo)；點(diǎn)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（h, - h2+ h-2），），HKy軸，交軸，交AC于于K，點(diǎn)點(diǎn)K的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（h, h-2），），點(diǎn)點(diǎn)H在點(diǎn)在點(diǎn)K的上方，的上方，HK=d=（- h2+ h-2）-（ h-2） =- h2+2h（0h4）;由由d=- h2+2h=- (h2-4h)=- (h-2)2+2可知，可知，當(dāng)當(dāng)h=2時(shí)，時(shí)，d最大，最大，024,符合題意，符合題意，當(dāng)當(dāng)h=2時(shí)，時(shí)，d最大，最大值為最大，最大值為2,此時(shí)點(diǎn)此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)（的坐標(biāo)（2,1）；）；例例1題解圖題解圖52125212121212121212HK解：解：如解圖如解

15、圖,點(diǎn)點(diǎn)H在拋物線上，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為的橫坐標(biāo)為h，（8）設(shè)點(diǎn)）設(shè)點(diǎn)P是直線是直線AC上方拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)上方拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)與直線點(diǎn)與直線AC距離最大時(shí)，求距離最大時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出最大距離是多少？點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出最大距離是多少？例例1題圖題圖【思維教練【思維教練】要求要求P點(diǎn)的坐標(biāo)及點(diǎn)的坐標(biāo)及P點(diǎn)到點(diǎn)到AC的的最大距離，可根據(jù)三角形相似，確定對應(yīng)最大距離，可根據(jù)三角形相似，確定對應(yīng)邊的最大值即可，通過作邊的最大值即可，通過作PTy軸交軸交AC于于L,作作PQAC于點(diǎn)于點(diǎn)Q，證明，證明PLQACO,得到得到PQ與與PL的比等于的比等于AO與與AC的比，即可的比，即可得到

16、得到PQ與與PL的關(guān)系的關(guān)系,再由（再由（7）得到）得到PL的最的最大值，即可得到大值，即可得到PQ的最大距離及此時(shí)的的最大距離及此時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo). PLQ=ACO,PQL=AOC=90，PLQACO， , ，設(shè)設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，由（由（7）知）知PL=- t2+2t，例例1題解圖題解圖422 55PQAOPLAC2 55PQPL12解：如解圖解：如解圖，過點(diǎn)，過點(diǎn)P作作PTy軸，交軸，交AC于于L，作，作PQAC于點(diǎn)于點(diǎn)Q，PTLQ當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)時(shí),PL取最大值取最大值2，當(dāng)當(dāng)t=2時(shí)，時(shí)，PQ取最大距離取最大距離 ，此時(shí)點(diǎn)此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（2,1）.2

17、 54 5255PTLQ拓展二拓展二 二次函數(shù)與三角形面積問題二次函數(shù)與三角形面積問題例例2 如圖，在平面直角坐標(biāo)系如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線中，直線y=x+3與與x軸相交軸相交于點(diǎn)于點(diǎn)A,與與y軸相交于點(diǎn)軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)，點(diǎn)B在在x軸的正半軸上，且軸的正半軸上，且AB=4，拋物線拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)A,B,C.（1)求拋物線的解析式；求拋物線的解析式；例例2題圖題圖【思維教練【思維教練】要求拋物線的解析式，要求拋物線的解析式，需知過拋物線的三點(diǎn)需知過拋物線的三點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，的坐標(biāo)，利用直線利用直線y=x+3求得求得A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合已知的結(jié)合

18、已知的AB=4，求得，求得B點(diǎn)坐標(biāo)，代入求解即可；點(diǎn)坐標(biāo)，代入求解即可； 典例精講解解：對于：對于y=x+3，當(dāng)，當(dāng)x=0時(shí)，時(shí)，y=3；當(dāng)當(dāng)y=0時(shí)，時(shí)，x=-3，A（-3，0），），C（0，3），），AB=4，B（1，0），），拋物線拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0），），B（1，0），），C（0，3），）， ，解得，解得 ，拋物線的解析式為拋物線的解析式為y=-x2-2x+3;9a-3b+c=0a+b+c=0c=3a=-1b=-2c=3例例2題圖題圖【思維教練思維教練】要求】要求ABC的面積，需知的面積，需知ABC的一條邊的的一條邊的長度和這條邊上高的長度，由于長度和這

19、條邊上高的長度，由于ABC的邊的邊AB已知，底已知，底邊邊AB上的高為上的高為OC，即為點(diǎn)，即為點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，代入面積計(jì)算公的縱坐標(biāo)，代入面積計(jì)算公式即可求解；式即可求解；（2）求）求ABC的面積；的面積；解：解：點(diǎn)點(diǎn)C坐標(biāo)為坐標(biāo)為(0，3)，OC=3，SABC = ABOC= 43=6;1212例例2題圖題圖【思維教練【思維教練】QAE與與CBE的底邊的底邊AE=BE，要使兩三角形面積相等，故，要使兩三角形面積相等，故只要高相等，只要高相等，CBE底邊底邊BE的高為的高為3，點(diǎn)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為的縱坐標(biāo)為3和和-3時(shí)，滿足條件，時(shí)，滿足條件，分別代入拋物線解析式即可求解；分別代入拋物線解析式即可

20、求解； （3）點(diǎn)）點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，為拋物線的頂點(diǎn)，DE是拋物線的對稱軸，點(diǎn)是拋物線的對稱軸，點(diǎn)E在在x軸上，在拋物線上存在點(diǎn)軸上，在拋物線上存在點(diǎn)Q,使得使得QAE的面積與的面積與CBE的的面積相等，請直接寫出點(diǎn)面積相等，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；例例2題圖題圖例例2題解圖題解圖7777777Q1（Q2）PQ4（Q3）解：解：Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，3）或（）或（0，3）或（或（-1+ ，-3）或（）或（-1- ，-3）；）；【解法提示解法提示】如解圖】如解圖，依題意，依題意，AE=BE，當(dāng)當(dāng)QAE的邊的邊AE上的高為上的高為3時(shí)，時(shí)，QAE的面積與的面積與CBE的面積相等的面

21、積相等.當(dāng)當(dāng)y=3時(shí)，時(shí)，-x2-2x+3=3，解得，解得x1=-2，x2=0，點(diǎn)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（-2，3）或（）或（0，3）.當(dāng)當(dāng)y=-3時(shí)，時(shí)，-x2-2x+3=-3，解得，解得x=-1 ，點(diǎn)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（-1+ ，-3）或）或（-1- ，-3）.綜上所述，點(diǎn)綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（-2，3）或（）或（0，3）或）或（-1+ ，-3）或（）或（-1- ，-3）.【思維教練【思維教練】要求四邊形要求四邊形AOCD和和ACD的面積，由于的面積，由于四邊形四邊形AOCD是不規(guī)則圖形，則可利用是不規(guī)則圖形，則可利用S四邊形四邊形AOCD=SAOD +SCOD計(jì)算計(jì)算.由

22、于由于ACD的底與高不容易計(jì)算，所的底與高不容易計(jì)算，所以可利用以可利用S四邊形四邊形AOCD -SAOC計(jì)算；計(jì)算；（4）在（）在（3)的條件下，連接的條件下，連接AD,CD，求四邊形，求四邊形AOCD和和ACD的面積；的面積；例例2題圖題圖易知點(diǎn)易知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（-1，4），），S四邊形四邊形AOCD =SAOD +SCOD= 34+ 31= ，SACD =S四邊形四邊形AOCD -SAOC= - 33=3；例例2題解圖題解圖121215215212解：如解圖解：如解圖，連接，連接OD，（5）在直線）在直線AC的上方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)的上方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)M,使使M

23、AC的面積最大？若存在，請求出點(diǎn)的面積最大？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并求出的坐標(biāo)，并求出MAC面積的最大值；若不存在，請說明理由；面積的最大值；若不存在，請說明理由；例例2題圖題圖【思維教練【思維教練】要求圖形面積最值問題，若求三角形面積最要求圖形面積最值問題，若求三角形面積最值，根據(jù)題意用未知數(shù)設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，并利用所設(shè)點(diǎn)值，根據(jù)題意用未知數(shù)設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，并利用所設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)表示出三角形的底和高，用面積公式求解；若求四邊坐標(biāo)表示出三角形的底和高，用面積公式求解；若求四邊形面積最值時(shí)，常用到的方法是利用割補(bǔ)方法將四邊形分形面積最值時(shí)，常用到的方法是利用割補(bǔ)方法將四邊形分成兩個(gè)三角形，從而利

24、用求三角形面積的方法求得用含未成兩個(gè)三角形，從而利用求三角形面積的方法求得用含未知數(shù)的代數(shù)式表示的線段（常用到相似三角形性質(zhì)、勾股知數(shù)的代數(shù)式表示的線段（常用到相似三角形性質(zhì)、勾股定理）定理）.分別計(jì)算出每個(gè)三角形的面積，再進(jìn)行和差計(jì)算分別計(jì)算出每個(gè)三角形的面積，再進(jìn)行和差計(jì)算求解求解.如此問，要使如此問，要使MAC的面積最大，可先用含字母的的面積最大，可先用含字母的式子表示出式子表示出SMAC，再利用二次函數(shù)性質(zhì)討論其最值，進(jìn)，再利用二次函數(shù)性質(zhì)討論其最值，進(jìn)而求得而求得M點(diǎn)坐標(biāo)；點(diǎn)坐標(biāo)；設(shè)設(shè)M（x，-x2-2x+3），則），則N（x，x+3），），MN=-x2-2x+3-（x+3）=-x2

25、-3x，SMAC =SAMN +SCMN = MN3= (-x2-3x)= - (x+ )2+ ，- 0，當(dāng)當(dāng)x=- 時(shí)，時(shí)，SMAC的值最大為的值最大為 ，當(dāng)當(dāng)x=- 時(shí)，時(shí)，y=-(- )2-2(- )+3= ，點(diǎn)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（- ， ）；）；例例2題解圖題解圖12323232278323227832323215432154解：存在點(diǎn)解：存在點(diǎn)M，使得，使得MAC的面積最大的面積最大.如解圖如解圖，過點(diǎn)，過點(diǎn)M作作MNy軸，交軸，交AC于點(diǎn)于點(diǎn)N，NM【思維教練【思維教練】要確定要確定H點(diǎn)的位置，根據(jù)點(diǎn)的位置，根據(jù)HGA被分成面積被分成面積為為1 2的兩部分，的兩部分，HAI和和

26、AIG高相等，對稱軸在高相等，對稱軸在y軸左軸左側(cè)，可分側(cè)，可分HI與與IG為為1 2或或2 1兩種情況，列方程即可求解；兩種情況，列方程即可求解；（6）點(diǎn)）點(diǎn)H是拋物線第二象限內(nèi)一點(diǎn)，作是拋物線第二象限內(nèi)一點(diǎn)，作HGx軸，試確軸，試確定定H點(diǎn)的位置，使點(diǎn)的位置，使HGA的面積被直線的面積被直線AC分為分為1 2的兩的兩部分；部分；例例2題圖題圖解：如解圖解：如解圖，由（，由（5）可知，可分兩種情況討論：）可知，可分兩種情況討論：若若HI=2IG，則有，則有-x2-3x=2(x+3) （-3x0），），整理得整理得x2+5x+6=0，解得解得x1=-2，x2=-3（不合題意，舍去），（不合題意

27、，舍去），H（-2，3）；）；若若2HI=IG，則有，則有2(-x2-3x)=x+3（-3x0），整理得），整理得2x2+7x+3=0，解得解得 x1= - ，x2=-3（不合題意，舍去），（不合題意，舍去），H（- ， ）.綜上所述，有兩種情況：綜上所述，有兩種情況：H（-2，3）或）或H（- ， ）；）；例例2題解圖題解圖121541215412H1G2G1OH2I1I2（7）在拋物線上是否存在一點(diǎn)）在拋物線上是否存在一點(diǎn)R，且位于對稱軸的左側(cè)，使，且位于對稱軸的左側(cè)，使SRBC = ，若存在，求出此時(shí)點(diǎn)，若存在，求出此時(shí)點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由說明理由.92【

28、思維教練【思維教練】先假設(shè)存在點(diǎn)先假設(shè)存在點(diǎn)R，使得，使得SRBC = .過點(diǎn)過點(diǎn)R作作BC的垂線交的垂線交BC的延長線于點(diǎn)的延長線于點(diǎn)K，可得，可得 BCRK= ，此時(shí)點(diǎn)此時(shí)點(diǎn)R，K坐標(biāo)不易計(jì)算，可考慮作坐標(biāo)不易計(jì)算，可考慮作RHy軸與軸與BC的延長線交于點(diǎn)的延長線交于點(diǎn)F，利，利用用RKF與與BOC相似，相似，RFBOBCRK9，設(shè)出，設(shè)出R點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)利用此關(guān)系式列方程即可求解坐標(biāo)利用此關(guān)系式列方程即可求解.929212例例2題圖題圖例例2題解圖題解圖解：存在點(diǎn)解：存在點(diǎn)R，使得，使得SRBC ，且位于對稱軸的左側(cè)，且位于對稱軸的左側(cè).如解如解圖圖，過點(diǎn)，過點(diǎn)R作作RKBC，交，交BC的延長

29、線于點(diǎn)的延長線于點(diǎn)K，作，作RHy軸，軸，交交x軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)H，交，交BC的延長線于點(diǎn)的延長線于點(diǎn)F，92則則F=BCO，RKF=BOC=90，RKFBOC， ，RFBO=BCRK，又又SRBC = ，BO=1， BCRK= BORF= ，RF=9.RKRFBOBC92921212FRKH由由B（1，0），），C（0，3）可求出直線）可求出直線BC的解析式為的解析式為y=-3x+3，設(shè)設(shè)R（x，-x2-2x+3），則），則F（x，-3x+3），），RF=-3x+3-（-x2-2x+3）=x2-x，x2-x=9，解得解得x1= ，x2= （不合題意，舍去），（不合題意，舍去），R（ ， ）.13

30、72137213721372FKHR例例2題解圖題解圖拓展三拓展三 二次函數(shù)與特殊四邊形判定問題二次函數(shù)與特殊四邊形判定問題例例 3 如圖如圖，拋物線經(jīng)過，拋物線經(jīng)過A（-5，0），），B（-1，0），），C（0，5）三點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為）三點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為M，連接，連接AC. 拋物線的對拋物線的對稱軸為稱軸為l，l與與x軸交點(diǎn)為軸交點(diǎn)為D，與，與AC交點(diǎn)為交點(diǎn)為E.(1)分別求出拋物線的解析式，頂點(diǎn)分別求出拋物線的解析式，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，對稱軸的坐標(biāo)，對稱軸l的解析式；的解析式；例例3題圖題圖 典例精講【思維教練【思維教練】要確定拋物線的解析式，頂點(diǎn)要確定拋物線的解析式，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)和的坐標(biāo)和對稱軸

31、對稱軸l的解析式，由于的解析式，由于A、B、C的坐標(biāo)已知，設(shè)拋物線的坐標(biāo)已知，設(shè)拋物線解析式為一般式，將點(diǎn)解析式為一般式，將點(diǎn)A、B、C代入求出拋物線解析式，代入求出拋物線解析式，將解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，頂點(diǎn)將解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，對稱軸的坐標(biāo)，對稱軸l的解析的解析式即可求解；式即可求解；例例3題圖題圖解解：設(shè)拋物線解析式為：設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，將點(diǎn)將點(diǎn)A（-5，0），），B（-1，0），），C（0，5）代入，得）代入，得 ，解得，解得 ，拋物線解析式為拋物線解析式為y=x2+6x+5， =(x+3)2-4，25a-5b+c=0a-b+c=0c=5a=1b=6c=5

32、頂點(diǎn)頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（-3，-4），對稱軸），對稱軸l的解析式為：的解析式為：x=-3;例例3題圖題圖【思維教練【思維教練】由點(diǎn)由點(diǎn)P在對稱軸上結(jié)合拋物線的解析式，設(shè)在對稱軸上結(jié)合拋物線的解析式，設(shè)P（-3，p），根據(jù)），根據(jù)PMCO，分，分P在在M點(diǎn)上方和點(diǎn)上方和P在在M點(diǎn)下點(diǎn)下方兩種情況進(jìn)行討論，求出點(diǎn)方兩種情況進(jìn)行討論，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；坐標(biāo)；（2）設(shè)）設(shè)P是直線是直線l上一點(diǎn)，且上一點(diǎn)，且PM=CO，求點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；例例3題圖題圖解：解：點(diǎn)點(diǎn)C（0，5），），CO=5，設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（-3，p），如解圖），如解圖，當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P在在M點(diǎn)上方時(shí)點(diǎn)上方時(shí)，即為，即

33、為P1點(diǎn)，點(diǎn)，則則P1M=p-（-4）=5，解得，解得p=1，此時(shí)點(diǎn)此時(shí)點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（-3，1）；）；當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P在在M點(diǎn)下方點(diǎn)下方，即為，即為P2點(diǎn)，點(diǎn)，則則P2M=-4-p=5，解得，解得p=-9，此時(shí)點(diǎn)此時(shí)點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（-3，-9），），綜上，這樣的點(diǎn)綜上，這樣的點(diǎn)P有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為P1（-3，1），），P2（-3，-9）；）；例例3題解圖題解圖P1P2（3）在線段）在線段CO上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)F,使得使得CF=DE,求點(diǎn)求點(diǎn)F的坐標(biāo)的坐標(biāo),并并判定四邊形判定四邊形DECF的形狀的形狀;例例3題圖題圖【思維教練【思維教練】要求點(diǎn)要求點(diǎn)F的坐標(biāo)，可根

34、據(jù)的坐標(biāo)，可根據(jù)CF=DE，結(jié)合，結(jié)合C點(diǎn)坐標(biāo)求解，點(diǎn)坐標(biāo)求解，C點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)已知，故只需求解已知，故只需求解DE的長度，由點(diǎn)的長度，由點(diǎn)E為為l與與AC的交點(diǎn)可知點(diǎn)的交點(diǎn)可知點(diǎn)E在在AC上，先求上，先求直線直線AC的解析式，從而確定點(diǎn)的解析式，從而確定點(diǎn)E的坐標(biāo)，的坐標(biāo)，然后確定然后確定DE的長，再結(jié)合的長，再結(jié)合DE確定確定CF，從而得到點(diǎn)從而得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用的坐標(biāo)，利用DECF，DE=CF，即可判定，即可判定四邊形四邊形DECF的形狀；的形狀；解：設(shè)直線解：設(shè)直線AC的解析式為的解析式為 ，將點(diǎn)將點(diǎn)A（-5,0），），C（0,5）代入得）代入得 ，解得，解得 ，直線直線AC的解析式為

35、的解析式為y=x+5.令令x=-3得得y=-3+5=2，點(diǎn)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（-3,2），易得點(diǎn)），易得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（-3,0），），DE=2.y = kx+ b-505k + b =b =15k =b =例例3題圖題圖如解圖如解圖，連接，連接DFDECF，DE=CF，四邊形四邊形DECF是平行四邊形；是平行四邊形；例例3題解圖題解圖CF=DE=2，點(diǎn)，點(diǎn)F在線段在線段CO上，點(diǎn)上，點(diǎn)C坐標(biāo)為（坐標(biāo)為（0,5），），點(diǎn)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（0,3）.F（4）設(shè)）設(shè)G是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)G作作GHx軸交軸交l于點(diǎn)于點(diǎn)H，點(diǎn)點(diǎn)G坐標(biāo)為何值時(shí)，以坐標(biāo)為何值時(shí)，以A

36、、B、G、H為頂點(diǎn)的四邊形是平為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？行四邊形？【思維教練【思維教練】由于由于GHx軸，軸，AB在在x軸上可知軸上可知GHAB，要使以，要使以A、B、G、H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則需證則需證GH=AB即可；即可；例例3題圖題圖解：解：點(diǎn)點(diǎn)G在拋物線上，則設(shè)點(diǎn)在拋物線上，則設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(g,g2+6g+5)，GH x軸，點(diǎn)軸，點(diǎn)H在在l：x=-3上，上，點(diǎn)點(diǎn)H(-3,g2+6g+5).GHAB，要得到以，要得到以A、B、G、H為頂點(diǎn)的四邊形是為頂點(diǎn)的四邊形是平平行四邊形，則必須行四邊形，則必須GH=AB=4，如解圖如解圖，即，即|g

37、+3|=4，解得解得g=1或或g=-7，當(dāng)當(dāng)g=1時(shí)時(shí)，g2+6g+5=12，此時(shí)點(diǎn)此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（1,12）；）；當(dāng)當(dāng)g=-7時(shí)時(shí)，g2+6g+5=12，此時(shí)點(diǎn)此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（-7,12），），綜上，這樣的點(diǎn)綜上，這樣的點(diǎn)G有兩個(gè)，坐標(biāo)有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為（分別為（1,12），（），（-7,12）；）；例例3題解圖題解圖EH1（H2）G1G2【思維教練【思維教練】由折疊的性質(zhì)得到由折疊的性質(zhì)得到M、M關(guān)于關(guān)于x軸對稱，再軸對稱，再由拋物線性質(zhì)得到由拋物線性質(zhì)得到A、B關(guān)于關(guān)于MM對稱，從而利用菱形性對稱，從而利用菱形性質(zhì)得出結(jié)論；質(zhì)得出結(jié)論；（5）如圖）如圖，沿，沿x軸

38、將拋物線在軸將拋物線在x軸下方的部分翻折到軸下方的部分翻折到x軸上方，點(diǎn)軸上方，點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)為的對應(yīng)點(diǎn)為M，判斷四邊形，判斷四邊形AMBM的形狀，的形狀，并說明理由；并說明理由；例例3題圖題圖由折疊性質(zhì)可得由折疊性質(zhì)可得點(diǎn)點(diǎn)M與與M關(guān)于關(guān)于x軸對稱，軸對稱，MD=MD，MMAB.由拋物線性質(zhì)得點(diǎn)由拋物線性質(zhì)得點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)B關(guān)于關(guān)于l對稱，對稱，AD=BD，ABMM，四邊形四邊形AMBM是菱形是菱形;例例3題解圖題解圖解：解：四邊形四邊形AMBM是菱形是菱形.理由如下：如解圖理由如下：如解圖，（6）設(shè)點(diǎn)）設(shè)點(diǎn)Q是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)R是平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)Q的的坐標(biāo)為何值

39、時(shí)，四邊形坐標(biāo)為何值時(shí)，四邊形AQCR是菱形？是菱形？例例3題圖題圖【思維教練【思維教練】由四邊形由四邊形AQCR是菱形可是菱形可知知AC是對角線，結(jié)合是對角線，結(jié)合OC=OA，從而過，從而過點(diǎn)點(diǎn)O作作OPAC，且，且OP平分平分AC，從而，從而可得點(diǎn)可得點(diǎn)Q在在OP上，只需求出上，只需求出QP所在直所在直線的解析式，與拋物線聯(lián)立解方程組線的解析式，與拋物線聯(lián)立解方程組即可求得點(diǎn)即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)的坐標(biāo).例例4題解圖題解圖解：存在解：存在.如解圖如解圖，過點(diǎn)，過點(diǎn)O作作OPAC于點(diǎn)于點(diǎn)P.PQ1Q2P52 5252521212OA=OC=5，AP=CP，OP是是AC的垂直平分線的垂直平分線.四

40、邊形四邊形AQCR是菱形，是菱形，點(diǎn)點(diǎn)Q、R在在AC的垂直平分線上，的垂直平分線上，點(diǎn)點(diǎn)Q是直線是直線OP與拋物線的交點(diǎn)，與拋物線的交點(diǎn)，過點(diǎn)過點(diǎn)P作作PPx軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)P，則，則PP是是AOC的中位線，的中位線，PP= OC= ，PO= AO= ，點(diǎn)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（ , ），），設(shè)直線設(shè)直線QP的解析式為的解析式為y=kx，將點(diǎn)，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入，可得的坐標(biāo)代入，可得k=-1,直線直線QP的解析式為的解析式為y=-x,與拋物線聯(lián)立得與拋物線聯(lián)立得解得解得 ， ，y=x2+6x+5y=-x，x2=y2= x1=y1= 7292 7292 7292 7292 例例3題解圖題解圖PQ2PQ1這樣的這樣的Q點(diǎn)有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為（點(diǎn)有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為（ , ），），（ , ）.7292 7292 7292 7292