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第三節(jié)能觀測性及其判據(jù) 狀態(tài)能控性反映輸入u t 對狀態(tài)x t 的控制能力 如果狀態(tài)變量x t 由任意初始時刻的任意初始狀態(tài)引起的運動都能由輸入 控制項 來影響 并能在有限時間內(nèi)控制到空間原點 那么稱系統(tǒng)是能控的 或者更確切地說 是狀態(tài)能控的 否則 就稱系統(tǒng)為不完全能控的 復(fù)習(xí) 能控性定義 系統(tǒng)的能控性實質(zhì)就是系統(tǒng)的輸入對系統(tǒng)狀態(tài)的作用 系統(tǒng)的能控性實質(zhì)就是系統(tǒng)的輸入對系統(tǒng)狀態(tài)的作用 輸入 狀態(tài) 輸出 關(guān)系 能控性 能觀測性 本節(jié)主要討論線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性問題 關(guān)鍵問題 1 基本概念 狀態(tài)能觀性2 基本方法 狀態(tài)能觀性的判別方法 重點 本節(jié)首先從物理直觀性來討論狀態(tài)能觀性的基本含義 然后再引出狀態(tài)能觀性的定義 下面將看到 這種從直觀到抽象的討論 對于理解能觀性嚴格定義的確切含義是有益的 本節(jié)講授順序為 能觀性的直觀討論狀態(tài)能觀性的定義線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性判據(jù) 能觀性的直觀討論狀態(tài)能觀性反映系統(tǒng)外部可直接或間接測量的輸出y t 和輸入u t 來確定或識別系統(tǒng)狀態(tài)的能力 如果系統(tǒng)的任何內(nèi)部運動狀態(tài)變化都可由系統(tǒng)的外部輸出和輸入唯一地確定 那么稱系統(tǒng)是能觀的 或者更確切地說 是狀態(tài)能觀的 否則 就稱系統(tǒng)為狀態(tài)不完全能觀的 下面通過例子來說明能觀性的意義 例考慮右圖所示的電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)由輸出變量的值確定狀態(tài)變量值的能力問題 當(dāng)電阻R1 R2 電感L1 L2 輸入電壓u t 0 以及兩個狀態(tài)變量的初始狀態(tài)x1 t0 x2 t0 且為任意值時 必定有i3 t 0 即輸出變量y t 恒為零 因此 由恒為零的輸出y t 顯然不能確定通過兩個電感的電流值i1 t 和i2 t 即由輸出y t 不能確定狀態(tài)變量x1 t 和x2 t 的值 該電網(wǎng)絡(luò)模型中 u t 為輸入電壓 y t i3 t 為輸出變量 通過兩電感的電流i1 t 和i2 t 分別為狀態(tài)變量x1 t 和x2 t 圖1電網(wǎng)絡(luò) 但當(dāng)電阻R1 R2或電感L1 L2時 則上述由輸出y t 不能確定狀態(tài)變量x1 t 和x2 t 的值的特性可能不成立 這種能由輸出變量值確定狀態(tài)變 量值的特性稱為狀態(tài)能觀 若由輸出變量值不能唯一確定出狀態(tài)變量值的特性則稱為狀態(tài)不能觀 從狀態(tài)空間模型上看 當(dāng)選擇兩電感的電流i1 t 和i2 t 分別為狀態(tài)變量x1 t 和x2 t 時 狀態(tài)空間模型為 當(dāng)電路中電阻值R1 R2 R 電感值L1 L2 L時 若輸入電壓u t 突然短路 即u t 0 則狀態(tài)方程為顯然 當(dāng)狀態(tài)變量的初始狀態(tài)為x1 t0 x2 t0 且為任意值時 上述狀態(tài)方程的解必有x1 t x2 t 故有y t i3 t 0 即輸出變量y t 恒為零 因此 由觀測到的恒為零的輸出變量y t 不能確定狀態(tài)變量x1 t 和x2 t 的值 即由輸出i3 t 不能確定通過兩個電感的電流值i1 t 和i2 t 但當(dāng)電路中電阻值R1 R2或電感值L1 L2時 則上述由輸出y t 不能確定狀態(tài)變量x1 t 和x2 t 的值的特性可能不成立 這種由可測量的輸出變量的值能惟一確定狀態(tài)變量的值的特性稱為狀態(tài)能觀 若不能惟一確定則稱為狀態(tài)不能觀 定義若線性連續(xù)系統(tǒng) 對初始時刻t0 t0 T T為時間定義域 和初始狀態(tài)x t0 存在另一有限時刻t1 t1 t0 t1 T 根據(jù)在有限時間區(qū)間 t0 t1 內(nèi)量測到的輸出y t 能夠唯一地確定系統(tǒng)在t0時刻的初始狀態(tài)x t0 則稱在t0時刻的狀態(tài)x t0 能觀 若對t0時刻的狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都能觀 則稱系統(tǒng)在t0時刻狀態(tài)完全能觀 能觀性的定義 若系統(tǒng)在所有時刻狀態(tài)完全能觀 則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀 簡稱為系統(tǒng)能觀 若存在某個狀態(tài)x t0 不滿足上述條件 稱此系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能觀的 簡稱系統(tǒng)為狀態(tài)不能觀 根據(jù)能觀測的定義做如下說明 1 一旦確定了初始狀態(tài) 可以根據(jù)給定輸入 利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程 求出各個瞬時時刻的狀態(tài) 2 能觀測性表示的是反映狀態(tài)向量的能力 與控制作用沒有直接的關(guān)系 因此在能觀測問題時 不妨令U 0 3 推出 二 能觀測性判據(jù) 1先把系統(tǒng)進行狀態(tài)變換 把狀態(tài)方程化為約當(dāng)標準型 再根據(jù)約當(dāng)化后的矩陣C來判別其能觀測性 2直接根據(jù)狀態(tài)方程的矩陣A和C 確定其能觀測性 約當(dāng)標準型判據(jù) 1具有約當(dāng)標準型的系統(tǒng) 1 系統(tǒng)特征根為單根時 系統(tǒng)完全能觀測的充要條件 是矩陣C不包含元素全為零的列 例題 判定下面系統(tǒng)是否能觀測 2 系統(tǒng)特征根有重根時 系統(tǒng)完全能觀測的充要條件 是矩陣的第一列構(gòu)成的矩陣是列線性無關(guān)的 例題 判定下面系統(tǒng)是否能觀測 約當(dāng)標準型判據(jù) 2具有一般形式的系統(tǒng) 系統(tǒng)的非奇異變換不改變系統(tǒng)的能觀測性 1 代數(shù)判據(jù) 秩的判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng) A C 狀態(tài)完全能觀的充要條件為下述條件之一成立 1 矩陣函數(shù)CeAt的各列函數(shù)線性獨立 即不存在非零常數(shù)向量f Rn 使得CeAtf 02 如下定義的能觀性矩陣 滿秩 即 比較一下能控性矩陣 1 代數(shù)判據(jù)定理4 7 線性定常離散系統(tǒng)能控性秩判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng) A C 狀態(tài)完全能觀的充要條件為下述條件之一成立 1 矩陣函數(shù)CeAt的各列函數(shù)線性獨立 即不存在非零常數(shù)向量f Rn 使得CeAtf 02 如下定義的能觀性矩陣 滿秩 即 比較一下能控性矩陣 rankQo n 證明對于線性定常系統(tǒng) 由能觀性定義可知 其狀態(tài)能觀性與初始時刻無關(guān) 因此 不失一般性 可設(shè)初始時刻t0為0 根據(jù)第3章中輸出方程解的表達式 有y t CeAtx 0 由能觀性的定義可知 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)是否完全能觀 等價于上述方程是否有x 0 的唯一解問題 下面將利用上述方程分別證明判別狀態(tài)能觀性的上述兩個充要條件 1 證明條件1 先證充分性 條件 結(jié)論 即證明 若CeAt的各列函數(shù)線性獨立 則系統(tǒng)狀態(tài)能觀 用反證法證明 設(shè)狀態(tài)不能觀 但CeAt的各列函數(shù)線性獨立 充分性反證法證明的思路 狀態(tài)不能觀 存在兩個不同的初始狀態(tài)x1 0 和x2 0 所對應(yīng)的輸出完全一致 由輸出的解的表達可得 CeAt的各列函數(shù)線性相關(guān) 與假設(shè)矛盾 充分性得證 證明過程 狀態(tài)不能觀 則意味著存在某一初始狀態(tài)x 0 由有限時間區(qū)間 t0 t1 內(nèi)觀測到的輸出y t 由方程y t CeAtx 0 得不到x 0 的唯一解 設(shè)x1 0 和x2 0 分別是由方程y t CeAtx 0 確定出的兩個不同初始狀態(tài) 即x1 0 和x2 0 分別滿足y t CeAtx1 0 t 0y t CeAtx2 0 t 0將上述兩式相減 可得0 CeAt x1 0 x2 0 t 0而x1 0 x2 0 為非零向量 因此上式恒成立的條件為CeAt的各列函數(shù)線性相關(guān) 這與前面的推論產(chǎn)生矛盾 故原假定系統(tǒng)狀態(tài)不能觀 但CeAt的各列函數(shù)線性獨立是不成立的 因此 充分性得證 再證必要性 結(jié)論 條件 即證明 若系統(tǒng)狀態(tài)能觀 則CeAt的各列函數(shù)線性獨立 用反證法證明 設(shè)CeAt的各列函數(shù)線性相關(guān) 但狀態(tài)能觀 必要性的反證法證明思路 CeAt的各列函數(shù)線性相關(guān) 存在某非零初始狀態(tài)f與零初始狀態(tài)的輸出均為0 由0輸出不能確定初始狀態(tài)是為零或者為f 狀態(tài)不完全能觀 與假設(shè)矛盾 必要性得證 證明過程 CeAt的各列函數(shù)線性相關(guān) 即存在非零向量f Rn 使得CeAtf 0因此 若x 0 f 則有y t CeAtx 0 0 t 0而當(dāng)x 0 0時 系統(tǒng)輸出亦恒為零 因此 當(dāng)系統(tǒng)輸出恒為零時 由方程y t CeAtx 0 不能確定出初始狀態(tài)x 0 f或0 即有部分狀態(tài)不能觀 這與前面的假設(shè)矛盾 故原假定CeAt的各列函數(shù)線性相關(guān) 但狀態(tài)能觀是不成立的 因此 必要性得證 代數(shù)判據(jù) 7 13 2 下面通過證明CeAt的各列函數(shù)線性相關(guān)等價于能觀性矩陣Qo非滿秩來證明定理中的條件 2 即證明 結(jié)論A 若CeAt的各列函數(shù)線性相關(guān) 則能觀性矩陣Qo非滿秩 以及 結(jié)論B 若能觀性矩陣Qo非滿秩 則CeAt的各列函數(shù)線性相關(guān) 下面分別加以證明 先證結(jié)論A 即需證明 若CeAt的各列函數(shù)線性相關(guān) 則能觀性矩陣Qo非滿秩 若CeAt的各列函數(shù)線性相關(guān) 則存在非零向量f使得CeAtf 0由于CeAt連續(xù)并有無窮階導(dǎo)數(shù) 因此 若上式對任意時間t恒成立 則對該方程的兩邊求任意階導(dǎo)數(shù)方程依然成立 即CAeAtf 0CA2eAtf 0 CAn 1eAtf 0 令上述兩式的t 0 則有 因此 若CeAt的各列函數(shù)線性相關(guān) 則能觀性矩陣Qo非滿秩 即結(jié)論A成立 例 判斷系統(tǒng)的觀測性 例 求證下面系統(tǒng)一定是能觀測的 小節(jié) 能觀測性的定義能觀測性的判別方法 標準型的判定秩判據(jù) 第四節(jié)離散系統(tǒng)的能控性與能觀測性 本節(jié)的關(guān)鍵問題為 基本概念 線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性 能觀性基本方法 線性離散系統(tǒng)狀態(tài)能控性 能觀性的判別方法離散化系統(tǒng)的能控性 能觀性本節(jié)的主要內(nèi)容為 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性與能達性線性定常離散系統(tǒng)的能觀性離散化線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性 重點 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性與能達性狀態(tài)能控性討論的是系統(tǒng)輸入對狀態(tài)空間中任意初始狀態(tài)控制到坐標原點 平衡態(tài) 的能力 而狀態(tài)能達性討論的是系統(tǒng)輸入對坐標原點 平衡態(tài) 的初始狀態(tài)控制到狀態(tài)空間中任意狀態(tài)的能力 對線性定常連續(xù)系統(tǒng)來說 狀態(tài)能控性與能達性雖然定義不同 兩者的判據(jù)卻是等價的 但對于線性定常離散系統(tǒng)來說 這兩者無論定義還是判據(jù)有所不同 與線性連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性問題一樣 對線性離散系統(tǒng)的能控性與能達性問題也可只考慮系統(tǒng)狀態(tài)方程 與輸出方程和輸出變量y k 無關(guān) 對線性定常離散系統(tǒng) 我們有如下狀態(tài)能控性與能達性定義線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性判據(jù) 一離散系統(tǒng)的能控性定義 對于n階線性定常離散系統(tǒng) 若系統(tǒng)所有的狀態(tài)都是能控的 則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的 若存在一控制作用序列 能將某個任意的初始狀態(tài)在第步上到達零狀態(tài) 即 則稱系統(tǒng)在第步上是能控的 定義 線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)能達性定義 對線性定常離散系統(tǒng) G H 若對某個最終狀態(tài)x1 存在控制作用序列 u 0 u 1 u n 1 使得系統(tǒng)狀態(tài)從零狀態(tài)在第n步上到達最終狀態(tài)x1 即x n x1 則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)x1是能達的 若系統(tǒng)對狀態(tài)空間中所有狀態(tài)都能達 則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能達 簡稱為系統(tǒng)能達 若系統(tǒng)存在某個狀態(tài)x1不滿足上述條件 則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能達的 簡稱系統(tǒng)為狀態(tài)不能達 從能控性與能達性兩者的定義可知 在系統(tǒng)控制問題中 系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題多與能控性有關(guān) 而跟蹤 伺服問題多與能達性有關(guān) 對于線性定常系統(tǒng)如果存在一個分段連續(xù)的輸入 能在有限時間區(qū)間內(nèi) 使系統(tǒng)由某一個初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到指定的任意終端狀態(tài) 則稱狀態(tài)是能控的 連續(xù)系統(tǒng)的能控性定義 對于n階線性定常離散系統(tǒng) 為完全能控的充分必要條件是其能控性判別矩陣 的秩為n 也就是 一離散系統(tǒng)的能控性判據(jù) 證明由第3章的線性定常離散系統(tǒng)的解理論 可得狀態(tài)方程的解如下 設(shè)在第n步上能使初始狀態(tài)x 0 轉(zhuǎn)移到零狀態(tài) 于是上式可記為 即 上式寫成矩陣形式即為 這是一個非齊次線性代數(shù)方程 由線性方程解的存在性理論可知 上式存在控制序列 u 0 u 1 u n 1 的充要條件為rank HGH Gn 1H n 試判別下面系統(tǒng)的能控性 2線性定常離散系統(tǒng)的能觀性與線性連續(xù)系統(tǒng)一樣 線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性只與系統(tǒng)輸出y t 以及系統(tǒng)矩陣G和輸出矩陣C有關(guān) 即只需考慮齊次狀態(tài)方程和輸出方程即可 下面我們先引入線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)能觀性的定義 對初始狀態(tài)x 0 根據(jù)在n個采樣周期內(nèi)采樣到的輸出向量y k 的序列 y 0 y 1 y n 1 能唯一地確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x 0 則稱狀態(tài)x 0 能觀 若對狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都能觀 則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀 簡稱為系統(tǒng)能觀 定義若線性定常離散系統(tǒng) 若存在某個狀態(tài)x 0 不滿足上述條件 稱此系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能觀的 簡稱系統(tǒng)為狀態(tài)不能觀 對于n階線性定常離散系統(tǒng) 為完全能觀測的充分必要條件是其能觀測性判別矩陣 的秩為n 也就是 離散系統(tǒng)的能觀測性判據(jù) 證明本定理的證明可直接由線性代數(shù)方程組的解唯一性理論給出 由第3章中線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的求解公式 可得y 0 Cx 0 y 1 Cx 1 CGx 0 y n 1 Cx n 1 CGn 1x 0 將上述n個方程寫成矩陣的形式 有 因此 由線性方程的解存在性理論可知 無論輸出向量的維數(shù)是否大于1 上述方程有x 0 的唯一解的充分必要條件為rankQo n由能觀性的定義可知 上式亦為線性定常離散系統(tǒng) G C 狀態(tài)完全能觀的充要條件 于是定理得證 例題 設(shè)離散系統(tǒng)的 G C 矩陣如下 試判別其能觀性 連續(xù)系統(tǒng)離散化后的能控性與能觀測性 線性定常系統(tǒng)方程為 1 定理如果線性定常系統(tǒng) 1 不能控 不能觀測 則離散化后的系統(tǒng) 2 必是不能控 不能觀測 其逆定理一般不成立 定理如果線性離散化后系統(tǒng) 2 能控 能觀測 則離散化前的連續(xù)系統(tǒng) 1 必是能控 能觀測 其逆定理一般不成立 定理如果連續(xù)系統(tǒng) 1 能控 能觀測 A的全部特征值互異 并且對的特征值 如果與采樣周期的關(guān)系滿足條件 3 則離散化后的系統(tǒng)仍是能控 能觀測 的 3 5能控性與能觀測性的對偶原理 卡爾曼提出了 一個系統(tǒng)的能控性等價于對偶系統(tǒng)的能觀測性 重點 要理解 對偶性原理本節(jié)主要討論狀態(tài)空間模型中存在的特殊結(jié)構(gòu)性問題 對偶性問題 以及對偶性原理在系統(tǒng)分析中的應(yīng)用 討論的主要問題 1 基本概念 對偶性的定義2 對偶系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征3 對偶性與能控性和能觀性的關(guān)系4 對偶性的意義 能控性 能觀性 意義 代數(shù)判據(jù) rank BAB An 1B n rank C A C A n 1C n 模態(tài)判據(jù)1 同一特征值的約旦塊對應(yīng)B的分塊的最后一行是否相關(guān) 同一特征值的約旦塊對應(yīng)C的分塊的第一列是否相關(guān) 從前三節(jié)的討論中可以看出 系統(tǒng)狀態(tài)能控性和能觀性 無論是從定義或判據(jù)方面來看 在形式和結(jié)構(gòu)上都極為相似 這種相似關(guān)系可以總結(jié)成下表 對偶性原理 3 8 對偶性定義 滿足下列關(guān)系 則稱系統(tǒng) A B C 和互為對偶 顯然 若系統(tǒng) A B C 是一個r維輸入 m維輸出的n階系統(tǒng) 則其對偶系統(tǒng)是一個m維輸入 r維輸出的n階系統(tǒng) 這種相似關(guān)系決非偶然的巧合 而是系統(tǒng)內(nèi)在的結(jié)構(gòu)上的必然聯(lián)系 這種必然聯(lián)系稱為對偶性原理 下面給出對偶系統(tǒng)的定義 定義若給定的兩個線性定常連續(xù)系統(tǒng) 式中 x為n維狀態(tài)向量 u為r維輸入向量 y為m維輸出向量 兩對偶系統(tǒng)的特征方程相同 互為對偶系統(tǒng)的關(guān)系如圖 3 5 2對偶原理 二 對偶原理 能觀測性 能控性 能觀測性 能控性 等價 等價 例3 15線性定常系統(tǒng)如下 判斷其能觀測性 該對偶系統(tǒng)的能控性矩陣 對偶系統(tǒng)能控 根據(jù)對偶原理 原系統(tǒng)能觀測