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高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 第4課時(shí) 函數(shù)的奇偶性和周期性課件 理

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1、第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)第第4課時(shí)函數(shù)的奇偶性和周期性課時(shí)函數(shù)的奇偶性和周期性 1了解奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義,并能運(yùn)用奇偶性的定義判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的奇偶性 2掌握奇函數(shù)與偶函數(shù)的圖像對(duì)稱關(guān)系,并能熟練地利用對(duì)稱性解決函數(shù)的綜合問(wèn)題 請(qǐng)注意 函數(shù)的奇偶性在高考中占有重要的地位,在命題時(shí)主要是與函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)綜合在一起考查而近幾年的高考中加大了對(duì)非三角函數(shù)的周期性和抽象函數(shù)的奇偶性、周期性的考查力度 1奇函數(shù)、偶函數(shù)、奇偶性 對(duì)于函數(shù)f(x),其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱: (1)如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有 ,那么函數(shù)f(x)就是奇函數(shù); (2)如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)

2、任意一個(gè)x,都有 ,那么函數(shù)f(x)就是偶函數(shù); (3)如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)(或偶函數(shù)),那么稱這個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)具有奇偶性f(x)f(x)f(x)f(x) 2證明函數(shù)奇偶性的方法步驟 (1)確定函數(shù)定義域關(guān)于對(duì)稱; (2)判定f(x)f(x)(或f(x)f(x),從而證得函數(shù)是奇(偶)函數(shù)原點(diǎn) 3奇偶函數(shù)的性質(zhì) (1)奇函數(shù)圖像關(guān)于 對(duì)稱,偶函數(shù)圖像關(guān)于 對(duì)稱; (2)若奇函數(shù)f(x)在x0處有意義,則f(0); (3)若奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上分別單調(diào),則其單調(diào)性 ; 若偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上分別單調(diào),則其單調(diào)性 (4)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),則f(x)f(|x|),反

3、之也成立y軸0一致相反原點(diǎn) 4一些重要類型的奇偶函數(shù) (1)函數(shù)f(x)axax為函數(shù),函數(shù)f(x)axax為函數(shù);偶奇奇 奇 奇 5周期函數(shù) 若f(x)對(duì)于定義域中任意x均有 (T為不等于0的常數(shù)),則f(x)為周期函數(shù) 6函數(shù)的對(duì)稱性 若f(x)對(duì)于定義域中任意x,均有f(x)f(2ax),或f(ax)f(ax),則函數(shù)f(x)關(guān)于對(duì)稱f(xT)f(x)xa 1判斷下列說(shuō)法是否正確(打“”或“”) (1)偶函數(shù)圖像不一定過(guò)原點(diǎn),奇函數(shù)的圖像一定過(guò)原點(diǎn) (2)函數(shù)f(x)0,x(0,)即是奇函數(shù)又是偶函數(shù) (3)若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù),則函數(shù)yf(x)關(guān)于直線xa對(duì)稱 (4)若函數(shù)yf(

4、xb)是奇函數(shù),則函數(shù)yf(x)關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱 (6)若函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(xa)f(x),則f(x)是周期為2a(a0)的周期函數(shù) 答案(1)(2)(3)(4)(5)(6) 答案D 3(2014新課標(biāo)全國(guó))設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是() Af(x)g(x)是偶函數(shù) B|f(x)|g(x)是奇函數(shù) Cf(x)|g(x)|是奇函數(shù) D|f(x)g(x)|是奇函數(shù) 答案C 解析利用函數(shù)奇偶性的定義求解A項(xiàng),令h(x)f(x)g(x),則h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x),h(x)是奇函數(shù),A錯(cuò)

5、 B項(xiàng),令h(x)|f(x)|g(x),則h(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)h(x),h(x)是偶函數(shù),B錯(cuò) C項(xiàng),令h(x)f(x)|g(x)|,則h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|h(x),h(x)是奇函數(shù),C正確D項(xiàng),令h(x)|f(x)g(x)|,則h(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|h(x),h(x)是偶函數(shù),D錯(cuò) 4若函數(shù)yf(x)(xR)是奇函數(shù),則下列坐標(biāo)表示的點(diǎn)一定在函數(shù)yf(x)圖像上的是() A(a,f(a) B(a,f(a) C(a,f(a) D(a,f(a) 答案B 解析函數(shù)yf(x)為奇函數(shù)

6、,f(a)f(a) 即點(diǎn)(a,f(a)一定在函數(shù)yf(x)的圖像上 答案3 例1判斷下列函數(shù)的奇偶性,并證明 (1)f(x)x3x; (2)f(x)x3x1; (3)f(x)x2|x|1,x1,4; (4)f(x)|x1|x1|;題型一題型一 判斷函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的奇偶性 【解析】(3)由于f(x)x2|x|1,x1,4的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間,因此,f(x)是非奇非偶函數(shù) (4)函數(shù)的定義域x(,),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x), f(x)|x1|x1|是奇函數(shù) 【答案】(1)奇函數(shù)(2)非奇非偶函數(shù)(3)非奇非偶(4)奇函數(shù)(5)奇函

7、數(shù)(6)偶函數(shù) 探究1判斷函數(shù)的奇偶性,一般有以下幾種方法: (1)定義法:若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間,則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù);若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間,再判斷f(x)是否等于f(x) (2)圖像法:奇(偶)函數(shù)的充要條件是它的圖像關(guān)于原點(diǎn)(或y軸)對(duì)稱 (3)性質(zhì)法:偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù);奇(偶)數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù);一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積為奇函數(shù)(注:利用上述結(jié)論時(shí)要注意各函數(shù)的定義域)判斷下列函數(shù)的奇偶性思考題思考題1 (3)方法一:f(x)的定義域?yàn)镽, 當(dāng)x0時(shí),

8、x0, f(x)(x)22(x)x22xf(x) 當(dāng)x0時(shí),f(0)0f(0) 當(dāng)x0時(shí),x0, f(x)(x)22(x)x22xf(x) 對(duì)于xR總有f(x)f(x) f(x)為偶函數(shù) 方法二:當(dāng)x0時(shí),f(x)x22xx22|x|. 當(dāng)x0時(shí),f(x)x22xx22|x|. f(x)x22|x|. f(x)(x)22|x|x22|x|f(x) f(x)為偶函數(shù) 【答案】(1)奇函數(shù)(2)奇函數(shù)(3)偶函數(shù) 例2(1)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且定義域?yàn)镽,x0時(shí),f(x)x1,f(x)的解析式為_ (3)若函數(shù)f(x1)為偶函數(shù),則函數(shù)f(x)的圖像的對(duì)稱軸方程為_題型二題型二 奇偶性的應(yīng)用

9、奇偶性的應(yīng)用 【解析】(1)f(x)為奇函數(shù),f(x)f(x) 當(dāng)x0時(shí),有f(0)f(0),f(0)0. 當(dāng)x0時(shí),x0. f(x)f(x)(x1)x1. (3)f(x1)為偶函數(shù), 函數(shù)g(x)f(x1)的圖像關(guān)于直線x0對(duì)稱 又函數(shù)f(x)的圖像是由函數(shù)g(x)f(x1)的圖像向右平移一個(gè)單位而得到, 函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x1對(duì)稱 探究2奇偶函數(shù)的性質(zhì)主要體現(xiàn)在: (1)若f(x)為奇函數(shù),則f(x)f(x); 若f(x)為偶函數(shù),則f(x)f(x) (2)奇偶函數(shù)的對(duì)稱性 (3)奇偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性(1)若函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),且在0,)上是減函數(shù),則滿足

10、f()f(a)的實(shí)數(shù)a的取值范圍是_ 【解析】若a0,f(x)在0,)上是減函數(shù), 且f()f(a),得a,0a. 若a0,f()f(),則由f(x)在0,)上是減函數(shù),得知f(x)在(,0上是增函數(shù) 由于f().即a0. 由上述兩種情況知a(,) 【答案】(,)思考題思考題2 (2)若函數(shù)yf(x2)為奇函數(shù),則函數(shù)yf(x)的圖像的對(duì)稱中心為_ 【解析】f(x2)為奇函數(shù), f(x2)的圖像的對(duì)稱中心為(0,0) 又f(x)的圖像可由函數(shù)f(x2)的圖像向左平移兩個(gè)單位而得, f(x)的圖像的對(duì)稱中心為(2,0) 【答案】(2,0) 例3設(shè)函數(shù)f(x)在(,)上滿足f(2x)f(2x),f

11、(7x)f(7x),且在閉區(qū)間0,7上,只有f(1)f(3)0. (1)證明:函數(shù)f(x)為周期函數(shù); (2)試求方程f(x)0在閉區(qū)間2 005,2 005上的根的個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論 【思路】用周期函數(shù)的定義證明題型三題型三 函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性 (2)f(3)f(1)0, f(11)f(13)f(7)f(9)0,故f(x)在0,10和10,0上均有兩個(gè)解 從而可知函數(shù)yf(x)在0,2 005上有402個(gè)解, 在2 005,0上有400個(gè)解, 所以函數(shù)yf(x)在2 005,2 005上有802個(gè)解 【答案】(1)略(2)802個(gè) 探究3(1)證明函數(shù)是周期函數(shù)應(yīng)緊扣周期函數(shù)的定義

12、(2)若函數(shù)f(x)對(duì)任意x滿足f(xa)f(xb),則f(x)為周期函數(shù)若函數(shù)f(x)對(duì)任意x滿足f(xa)f(bx),則函數(shù)圖像為軸對(duì)稱圖形思考題思考題3 f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5) 22.53,由題意,得f(2.5)2.5. f(105.5)2.5. 【答案】2.5 (2)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意xR,都有f(x8)f(x)f(4),且x0,4時(shí),f(x)4x,則f(2 015)的值為_ 【解析】f(4)0,f(x8)f(x),T8. f(2 015)f(7)f(1)f(1)3. 【答案】3 例4已知f(x)為偶函數(shù),且f(1x)f(1x),當(dāng)

13、x0,1時(shí),f(x)x1,求x5,7時(shí),f(x)的解析式 【解析】方法一:f(1x)f(1x), f(x)f(2x),f(x)為周期函數(shù),T2. f(x)為偶函數(shù), x1,0時(shí),x0,1 f(x)f(x)x1. x5,6時(shí),x61,0 f(x)f(x6)(x6)1x5. x6,7時(shí),x60,1 f(x)f(x6)(x6)1x7. 方法二:f(1x)f(1x), T2.又f(x)是偶函數(shù), f(x)在R上的圖像如圖: 探究4高考中對(duì)函數(shù)周期性的考查,主要涉及函數(shù)周期性的判斷,利用函數(shù)周期性求值,以及解決與周期有關(guān)的函數(shù)綜合問(wèn)題解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是充分利用題目提供的信息,找到函數(shù)的周期,利用周期在

14、有定義的范圍上進(jìn)行求解設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x2)f(x)當(dāng)x0,2時(shí),f(x)2xx2. (1)求證:f(x)是周期函數(shù); (2)當(dāng)x2,4時(shí),求f(x)的解析式; (3)計(jì)算f(0)f(1)f(2)f(2 015) 【解析】(1)f(x2)f(x), f(x4)f(x2)f(x) f(x)是周期為4的周期函數(shù)思考題思考題4 (2)當(dāng)x2,0時(shí),x0,2,由已知得 f(x)2(x)(x)22xx2. 又f(x)是奇函數(shù),f(x)f(x)2xx2. f(x)x22x. 又當(dāng)x2,4時(shí),x42,0, f(x4)(x4)22(x4) 又f(x)是周期為4的周期函數(shù)

15、, f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8. 從而求得x2,4時(shí),f(x)x26x8. (3)f(0)0,f(2)0,f(1)1,f(3)1. 又f(x)是周期為4的周期函數(shù), f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(2 015)0. f(0)f(1)f(2)f(2 015)0. 【答案】(1)略(2)f(x)x26x8,x2,4(3)0 常用結(jié)論記心中,快速解題特輕松: 1(1)若f(x)定義域不對(duì)稱,則f(x)不具有奇偶性 (2)若f(x)為奇函數(shù),且在x0處有定義,則f(0)0. (3)若f(x)為偶函

16、數(shù),則f(|x|)f(x) (2)若函數(shù)yf(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則f(x)f(x)為偶函數(shù),f(x)f(x)為奇函數(shù),f(x)f(x)為偶函數(shù) 3函數(shù)f(x)關(guān)于xa對(duì)稱f(ax)f(ax)f(2ax)f(x)f(2ax)f(x) 4(1)若函數(shù)f(x)滿足f(xa)f(x),則f(x)周期T2a. 5(1)若f(x)關(guān)于xa,xb都對(duì)稱,且ab,則f(x)是周期函數(shù)且T2(ba) (2)若f(x)關(guān)于(a,0),(b,0)都對(duì)稱,且ab,則f(x)是周期函數(shù),且T2(ba) (3)若f(x)關(guān)于(a,0)及xb都對(duì)稱,且a0Bf(x)f(x)0 Cf(x)f(x)0 Df(x)f(x

17、)0 答案D 解析f(x)f(x),f(x)f(x)f2(x)0. 2下列函數(shù)中,不具有奇偶性的函數(shù)是() 答案D 3(2015衡水調(diào)研卷)函數(shù)f(x)在定義域R上不是常數(shù)函數(shù),且f(x)滿足:對(duì)任意xR,都有f(2x)f(2x),f(1x)f(x),則f(x)是() A奇函數(shù)但非偶函數(shù) B偶函數(shù)但非奇函數(shù) C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D非奇非偶函數(shù) 答案B 解析依題意,得f(x2)f(x1)f(x),即函數(shù)f(x)是以2為周期的函數(shù),所以f(x2)f(x)又f(2x)f(2x),因此有f(x)f(x),即f(x)是偶函數(shù);若f(x)是奇函數(shù),則有f(x)f(x)f(x),得f(x)0,這與“f(x)不是常數(shù)函數(shù)”相矛盾,因此f(x)是偶函數(shù)但不是奇函數(shù),選B. 答案C 答案 6(2014新課標(biāo)全國(guó))已知偶函數(shù)f(x)在0,)上單調(diào)遞減,f(2)0.若f(x1)0,則x的取值范圍是_ 答案(1,3) 解析由題可知,當(dāng)2x0.f(x1)的圖像是由f(x)的圖像向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的,若f(x1)0,則1x3.

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