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9 11 2橢圓的幾何性質(zhì) 1 紫金縣職業(yè)技術(shù)學(xué)校數(shù)學(xué)科組 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1 通過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程理解橢圓的幾何性質(zhì) 結(jié)合圖形進(jìn)行理解 2 根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)作出橢圓的圖形 一 課前練習(xí) 5分鐘內(nèi)完成 1 已知橢圓的焦點(diǎn)F1 F2 點(diǎn)A在橢圓上 則 AF1F2的周長(zhǎng)是 2 已知橢圓的焦點(diǎn)F1 F2 過焦點(diǎn)F1作直線L與橢圓將于A B兩點(diǎn) 則 ABF2的周長(zhǎng)是 3 已知點(diǎn)A x y 那么與點(diǎn)A關(guān)于X軸對(duì)稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)是 與點(diǎn)A關(guān)于Y軸對(duì)稱的點(diǎn)C的坐標(biāo)是 與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)D的坐標(biāo)是 4 設(shè)P x y 是橢圓上任意一點(diǎn) 那么點(diǎn)p1 x y p2 x y p3 x y 與橢圓的關(guān)系是 說明橢圓關(guān)于 和原點(diǎn)都是對(duì)稱的 5 橢圓x2 4y2 16與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 16 20 x y x y x y 都在橢圓上 X軸 y軸 二 新課教學(xué) 根據(jù)橢圓的定義 我們得出了它的標(biāo)準(zhǔn)方程 1 范圍 函數(shù)圖象上的點(diǎn) x y 的取值范圍 則 x a y b 所以橢圓的范圍是 a x a b y b 其幾何意義是 橢圓的圖形在由直線x a y b圍成的矩形里 如上圖 或 下面以焦點(diǎn)在X軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為例 研究橢圓的幾何性質(zhì) 2 對(duì)稱性 由課前練習(xí)第4題可知 橢圓關(guān)于X軸 Y軸和原點(diǎn)都對(duì)稱 一般描點(diǎn)作橢圓 只要先列表作第一象限的圖象 其余便可用對(duì)稱方法作出 3 頂點(diǎn) 橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn) 橢圓與X軸的交點(diǎn) 由 令y 0得 A1 a 0 A2 a 0 橢圓與Y軸的交點(diǎn) 由 令X 0得 B1 0 b B2 0 b 橢圓的頂點(diǎn)有四個(gè) 線段A1A2叫做橢圓的長(zhǎng)軸 長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a 其中a叫長(zhǎng)半軸長(zhǎng) 線段B1B2叫做橢圓的短軸 短軸長(zhǎng)為2b 其中b叫短半軸長(zhǎng) 當(dāng)e越趨于1 則b越趨于0 此時(shí)橢圓越扁 當(dāng)e越趨于0 則b越趨于a 此時(shí)橢圓趨于圓 如果a b 則c 0 兩個(gè)焦點(diǎn)重合 此時(shí)橢圓就變成了圓 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就變成了圓的方程 至此 我們研究了橢圓的幾何性質(zhì) 范圍 對(duì)稱性 頂點(diǎn) 離心率 只要求出了它們就可以把橢圓畫出來 4 離心率 橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比叫做橢圓的離心率 因?yàn)閍 c 0 則0 e 1 這是判斷圓錐曲線是否是橢圓的標(biāo)志 由知 三 師生互動(dòng) 1 求橢圓4x2 5y2 40 0的范圍 焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率 分析 先把橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式 找出a和b 就可以確定橢圓上的點(diǎn) x y 的范圍 即圖象范圍 再通過關(guān)系式 a2 b2 c2 可以得出c 就可以寫出焦點(diǎn)坐標(biāo) 注意焦點(diǎn)所在何軸 也可算出橢圓的離心率e 解 原方程經(jīng)移項(xiàng) 整理 得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 橢圓的范圍是 c2 a2 b2 c 橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 F1 F2 橢圓的離心率是 2 2 ABC的一邊的兩個(gè)頂點(diǎn)B 0 3 和C 0 3 另兩邊的斜率的乘積為 9 4 求頂點(diǎn)A的軌跡方程 并畫出它的草圖 分析 求軌跡方程 首先要設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn) x y 其次找出滿足條件的關(guān)系式 把動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo) x y 代入化簡(jiǎn)整理 即可得到所求的軌跡方程 再根據(jù)方程可以判斷其圖象是何曲線 解 設(shè)頂點(diǎn)A x y 依題意得 KAB KAC 9 4 整理得 9x2 4y2 36 即 所以 點(diǎn)A的軌跡方程是焦點(diǎn)在Y軸上的橢圓 1 橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 長(zhǎng)軸的長(zhǎng) 短軸的長(zhǎng) 離心率e 2 橢圓x2 4y2 16的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 長(zhǎng)半軸的長(zhǎng) 短半軸的長(zhǎng) 離心率e 并畫出其草圖 3 橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12 離心率e 1 3 焦點(diǎn)在x軸上 它的標(biāo)準(zhǔn)方程是 4 橢圓的離心率e 1 2 焦距為 那么它的標(biāo)準(zhǔn)方程是 四 課堂練習(xí) 提示 對(duì)比一下第3 4題有何差異 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 要考慮焦點(diǎn)在何軸和找出a2 b2 代入即可 五 課堂小結(jié) 1 我們研究了橢圓的幾何性質(zhì) 范圍 對(duì)稱性 頂點(diǎn) 離心率 只要求出了它們就可以把橢圓畫出來 2 求橢圓的幾何性質(zhì)時(shí) 把橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式 找出a和b 就可以確定橢圓上的點(diǎn) x y 的范圍 可寫出頂點(diǎn)坐標(biāo) 再通過關(guān)系式 a2 b2 c2 可以得出c 就可以寫出焦點(diǎn)坐標(biāo) 注意焦點(diǎn)所在何軸 也可算出橢圓的離心率e 3 要結(jié)合圖象來記性質(zhì) 六 課后作業(yè) 1 課本P62習(xí)題9 4A第4 5題 2 課本P62習(xí)題9 4B第3題 3 預(yù)習(xí)例1 例2