專(zhuān)題12相似三角形探究 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問(wèn)題 常常出現(xiàn)在綜合題中 一是以幾何圖形為載體 賦予動(dòng)點(diǎn) 動(dòng)線(xiàn)和動(dòng)面 來(lái)探究相似三角形問(wèn)題 進(jìn)而研究面積 函數(shù)最值等問(wèn)題 二是以動(dòng)態(tài)問(wèn)題為背景或與函數(shù)圖象 圓結(jié)合探究相似三角形的存在性問(wèn)題 三是以相似三角形為背景 經(jīng)歷 問(wèn)題情境 建立模型 求解 應(yīng)用 的基本過(guò)程 設(shè)置探究性問(wèn)題 問(wèn)題設(shè)置常常具有開(kāi)放性 相似三角形由于對(duì)應(yīng)邊 對(duì)應(yīng)角的不確定 或者是圖形的不確定 常常需要進(jìn)行分類(lèi)討論 解題時(shí)根據(jù)對(duì)應(yīng)角或?qū)?yīng)邊來(lái)分類(lèi) 要注意確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn) 按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi) 做到 不重復(fù) 不遺漏 1 如圖 邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中 點(diǎn)E在CB延長(zhǎng)線(xiàn)上 連結(jié)ED交AB于點(diǎn)F AF x 0 2 x 0 8 EC y 則在下面函數(shù)圖象中 大致能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是 C 2 如圖 已知矩形ABCD的長(zhǎng)AB為5 寬BC為4 E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) AE EF EF交CD于點(diǎn)F 設(shè)BE x FC y 則點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí) 能表示y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是 A 利用相似三角形 得出比例式 代入函數(shù)關(guān)系式 結(jié)合圖象進(jìn)行判斷 D 5 2017 預(yù)測(cè) 如圖 在Rt ABC中 C 90 翻折 C 使點(diǎn)C落在斜邊AB上某一點(diǎn)D處 折痕為EF 點(diǎn)E F分別在邊AC BC上 1 若 CEF與 ABC相似 當(dāng)AC BC 2時(shí) 求AD的長(zhǎng) 當(dāng)AC 3 BC 4時(shí) 求AD的長(zhǎng) 2 當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí) CEF與 ABC相似嗎 請(qǐng)說(shuō)明理由 6 如圖 點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱(chēng)中心 AB 10cm BC 12cm 點(diǎn)E F G分別從A B C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā) 沿矩形的邊按逆時(shí)針?lè)较騽蛩龠\(yùn)動(dòng) 點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度為1cm s 點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為3cm s 點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為1 5cm s 當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C 即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合 時(shí) 三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng) 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中 EBF關(guān)于直線(xiàn)EF的對(duì)稱(chēng)圖形是 EB F 設(shè)點(diǎn)E F G運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t 單位 s 1 當(dāng)t s時(shí) 四邊形EBFB 為正方形 2 若以點(diǎn)E B F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F C G為頂點(diǎn)的三角形相似 求t的值 2 5 兩個(gè)三角形相似 根據(jù)不同的對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角 進(jìn)行分類(lèi)討論 8 2017 預(yù)測(cè) 如圖 直線(xiàn)y x 3與x軸 y軸分別相交于點(diǎn)B C 經(jīng)過(guò)B C兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)y ax2 bx c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A 頂點(diǎn)為P 且對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x 2 1 求該拋物線(xiàn)的解析式 2 連結(jié)AC 在x軸上是否存在一點(diǎn)Q 使得以點(diǎn)P B Q為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似 若存在 求出點(diǎn)Q的坐標(biāo) 若不存在 請(qǐng)說(shuō)明理由 二 拋物線(xiàn)上取點(diǎn)10 原創(chuàng)題 如圖1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 拋物線(xiàn)y ax2 1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A 4 3 頂點(diǎn)為點(diǎn)B 點(diǎn)P為拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) l是過(guò)點(diǎn) 0 2 且垂直于y軸的直線(xiàn) 過(guò)P作PH l 垂足為H 連結(jié)PO 1 求拋物線(xiàn)的解析式 并寫(xiě)出其頂點(diǎn)B的坐標(biāo) 2 求證 PO PH 3 如圖2 設(shè)點(diǎn)C 1 2 問(wèn)是否存在點(diǎn)P 使得以P O H為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似 若存在 求出P點(diǎn)的坐標(biāo) 若不存在 請(qǐng)說(shuō)明理由 11 2017 預(yù)測(cè) 如圖 已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O 頂點(diǎn)為A 1 1 且與直線(xiàn)y x 2交于B C兩點(diǎn) 1 求拋物線(xiàn)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo) 2 若點(diǎn)N為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 過(guò)點(diǎn)N作MN x軸與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)M 則是否存在以O(shè) M N為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似 若存在 請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo) 若不存在 請(qǐng)說(shuō)明理由 三 圓周上取點(diǎn)12 已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中 O是坐標(biāo)原點(diǎn) 以P 1 1 為圓心的 P與x軸 y軸分別相切于點(diǎn)M和點(diǎn)N 點(diǎn)F從點(diǎn)M出發(fā) 沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng) 連結(jié)PF 過(guò)點(diǎn)P作PE PF交y軸于點(diǎn)E 設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒 t 0 1 若點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上 如圖所示 求證 PE PF 2 在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中 設(shè)OE a OF b 試用含a的代數(shù)式表示b 3 作點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F 經(jīng)過(guò)M E和F 三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)Q 連結(jié)QE 在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中 是否存在某一時(shí)刻 使得以點(diǎn)Q O E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)P M F為頂點(diǎn)的三角形相似 若存在 請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值 若不存在 請(qǐng)說(shuō)明理由 解析 1 連結(jié)PM PN 運(yùn)用 PMF PNE證明 3 分三種情況 當(dāng)0 t 1時(shí) 當(dāng)1 t 2時(shí) 當(dāng)t 2時(shí) 三角形相似時(shí)還要分類(lèi)討論 根據(jù)比例式求出時(shí)間t 解題方法 一是求相似三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)時(shí) 先分析已知三角形的邊和角的特點(diǎn) 進(jìn)而得出已知三角形是否為特殊三角形 根據(jù)未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對(duì)應(yīng)邊分類(lèi)討論 二是利用已知三角形中的對(duì)應(yīng)角 在未知三角形中利用勾股定理 三角函數(shù) 對(duì)稱(chēng) 旋轉(zhuǎn)等知識(shí)來(lái)推導(dǎo)邊的大小 三是若兩個(gè)三角形的各邊均未給出 則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo) 進(jìn)而用函數(shù)解析式來(lái)表示各邊的長(zhǎng)度 之后利用相似來(lái)列方程求解