必修（4）第三章 三角恒等變換 第三節(jié)二倍角的三角函數(shù) 九江實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一數(shù)學(xué)備課組 王紹山 一、課題：二倍角的三角函數(shù)（1）（北師大版新教材） 二、教學(xué)目標(biāo)：1.通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生自己能由和角公式而導(dǎo)出倍角公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；學(xué)會(huì)利用倍角公式進(jìn)行求值運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算和邏輯推理能力； 2.領(lǐng)會(huì)從一般化歸為特殊的數(shù)學(xué)思想，體會(huì)公式所蘊(yùn)涵的和諧美，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣。 三、教學(xué)重、難點(diǎn)：倍角公式的形成，及公式的變形形式的運(yùn)用。 四、教學(xué)過程： （一）復(fù)習(xí)： 1．復(fù)習(xí)兩角和與差的公式. 2．提出問題：若，則得二倍角的正弦、余弦、正切公式。 （二）新課講解： 1．二倍角公式的推導(dǎo)：讓學(xué)生板演得下述二倍角公式， 說明：（1）每個(gè)公式的特點(diǎn)，囑記：“倍角”的意義是相對的，如：是的二倍角； （2）觀察公式特征：“倍角”與“二次”的關(guān)系； （3）利用三角函數(shù)關(guān)系式， 可將余弦的倍角公式變形為：， ，，統(tǒng)稱為升 冪公式。 類似地也有公式（降冪公式）： ， 這兩個(gè)形式今后常用； （4）注意公式成立的條件，特別是二倍角的正切公式成立的條件： 2．例題分析： 例1：已知，求的值。 解：（略，見課本p122頁） 例2：設(shè)是第二象限角，已知,求和的值。 解：（略，見課本p122頁） 注：開平方求三角函數(shù)值時(shí)，一定要根據(jù)角所在的象限，確定三角函數(shù)值的符號。 例3：在中，已知(如圖3—3)，求角的正弦值。 解法一：（略，見課本p123頁） 解法二：作于，, A B D C 而: 注：讓學(xué)生自己比較兩種方法，啟發(fā)學(xué)生一題多解，從各種不同角度去思考解決問題。 例4：要把半徑為R的半圓形木料截成長方形（如圖3—4），應(yīng)怎樣截取，才能使長方形的面積最大？ 解法一：（略，見課本p123頁） 解法二： 注：比較兩種解法后，讓學(xué)生感受到用三角函數(shù)解最值問題，可以減少變量，過程也簡便的多。 【課堂練習(xí)1】 p123頁 1.（1）（3）（5），2, 3， 補(bǔ)充： .化簡 ①． ②． ③． ④． 五、小結(jié)：1．二倍角公式是和角公式的特例，體現(xiàn)了一般化歸為特殊的基本的數(shù)學(xué)思想方法； 2．解題的關(guān)鍵是公式的靈活運(yùn)用，特別是二倍角余弦公式形式多樣，在解題中應(yīng)予以重視； 六、作業(yè)： P126 習(xí)題3—3 A組 1.（1）（3）（5）（7）。2，3，4，5. B 組 1，2，3 . 補(bǔ)充：C組 1．化簡； 2．已知為第三象限角，且，求的值。 必修（4） 第三章 三角恒等變換 第三節(jié) 二倍角的三角函數(shù) 九江實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一數(shù)學(xué)備課組 王紹山 一、課題：二倍角的三角函數(shù)（2）（北師大版新教材） 二、教學(xué)目標(biāo)：1.根據(jù)二倍角的余弦公式導(dǎo)出半角的正弦、余弦、正切公式，讓學(xué)生了解公式之間的內(nèi)在聯(lián)系并學(xué)會(huì)運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡單的半角三角函數(shù)的計(jì)算；2. 通過對半角公式的推導(dǎo)，加強(qiáng)對學(xué)生進(jìn)行三角恒等變換的基本訓(xùn)練。 三、教學(xué)重、難點(diǎn)：掌握三個(gè)公式的推導(dǎo)方法，使學(xué)生體會(huì)到角的三角函數(shù)與的三角函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，，角的三角函數(shù)與角的三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系； 四、教學(xué)過程： （一）復(fù)習(xí)： 1．二倍角公式 變形：； 2.、二倍角公式及規(guī)律 常見變形 （二）新課講解： 1．半角公式： ，，． 說明：（1）只要知道角終邊所在象限，就可以確定符號； （2）公式的“本質(zhì)”是用a角的余弦表示角的正弦、余弦、正切； （3）還有一個(gè)有用的公式：（下面給出證明）。 2．例題分析：p123頁 例5：利用二倍角公式證明：， ， 證明：在二倍角公式中，用代替得 1°在 中，以代 即得： ∴ 2°在 中，以代 即得： ∴ 3°以上結(jié)果相除得： 由此得 4°還有一個(gè)有用的公式：． 因?yàn)? 所以 ， 同理． 注意：1°左邊是平方形式，只要知道角終邊所在象限，就可以開平方。 2°公式的“本質(zhì)”是用角的余弦表示角的正弦、余弦、正切 3°上述五個(gè)有關(guān)半角三角函數(shù)的公式，稱之謂半角公式（課標(biāo)規(guī)定這套公式不必記憶） 例6.已知，求的值. 解：（略，見課本p125頁） 例7：已知, ,求. 解法一：（略，見課本p125頁） 解法二： ，， 因此， 例8：已知, 求, , 的值。 解：（略）, 注：求解此類問題時(shí)，首先確定角的終邊所在像限，再套相應(yīng)的半角公式求解。 【課堂練習(xí)2】 p126頁 1，2, 3. 補(bǔ)充：已知，且，求的值。 （解法1）原式． （解法2）原式． 五、小結(jié)：1．鞏固倍角公式，會(huì)推導(dǎo)并熟練運(yùn)用半角公式、了解積化和差公式。 2．求三角函數(shù)值時(shí)，要觀察題中給出條件及所求結(jié)論的特征，特別是角的特征，尋找恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ缜谢?將式子化為一個(gè)角的三角函數(shù)式等），解決問題； 3．證明三角恒等式時(shí)，首先觀察等式兩邊的角之間的關(guān)系，再選用恰當(dāng)?shù)墓郊右宰C明。 六、作業(yè)： P126 習(xí)題3—3 A組 6，7，8，9.. （2）（4），10 ，11. B 組 4，5，6，7， 補(bǔ)充：C組：1．化簡． 2．已知，且是銳角，求的值。 3．已知，且，求的值。 6