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【2022高考必備】2012-2021十年全國高考數(shù)學真題分類匯編 導數(shù)小題(精解精析)

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1、 2012-2021十年全國卷高考數(shù)學真題分類精編 導數(shù)小題 (精解精析) 一、選擇題 1.(2021年高考全國乙卷理科)設,若為函數(shù)的極大值點,則 (  ) AB.C.D. 【答案】D 解析:若,則為單調(diào)函數(shù),無極值點,不符合題意,故. 有和兩個不同零點,且在左右附近是不變號,在左右附近是變號的.依題意,為函數(shù)的極大值點,在左右附近都是小于零的. 當時,由,,畫出的圖象如下圖所示: 由圖可知,,故. 當時,由時,,畫出的圖象如下圖所示: 由圖可知,,故. 綜上所述,成立. 故選:D 【點睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì),利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法

2、可以快速解答. 2.(2020年高考數(shù)學課標Ⅰ卷理科)函數(shù)的圖像在點處的切線方程為 (  ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】,,,, 因此,所求切線的方程為,即. 故選:B. 【點睛】本題考查利用導數(shù)求解函圖象的切線方程,考查計算能力,屬于基礎題 3.(2020年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切,則l的方程為 (  ) A.y=2x+1 B.y=2x+ C.y=x+1 D.y=x+ 【答案】D 解析:設直線在曲線上的切點為,則, 函數(shù)的導數(shù)為,則直線的斜率, 設直線的方程為,即, 由于直線與圓相切,則, 兩邊平方并整理得,

3、解得,(舍), 則直線的方程為,即. 故選:D. 【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義的應用以及直線與圓的位置的應用,屬于中檔題. 4.(2019年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)已知曲線在點處的切線方程為,則 (  ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由,根據(jù)導數(shù)的幾何意義易得,解得,從而得到切點坐標為,將其代入切線方程,得,解得,故選D. 【點評】準確求導是進一步計算的基礎,本題易因為導數(shù)的運算法則掌握不熟,二導致計算錯誤.求導要“慢”,計算要準,是解答此類問題的基本要求.另外對于導數(shù)的幾何意義要注意給定的點是否為切點,若為切點,牢記三條:①切點處的導數(shù)即為切線的斜率;②

4、切點在切線上;③切點在曲線上。 5.(2018年高考數(shù)學課標卷Ⅰ(理))設函數(shù),若為奇函數(shù),則曲線在點處的切線方程為 (  ) A. B. C. D. 【答案】D 解析:函數(shù),若為奇函數(shù),可得,所以函數(shù),可得,曲線在點處的切線的斜率為:1,則曲線在點處的切線方程為:,故選D. 6.(2017年高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科)若是函數(shù)的極值點,則的極小值為 (  ) A. B. C. D.1 【答案】A 【命題意圖】本題主要考查導數(shù)的極值概念及其極大值與極小值判定條件,意在考查考生的運 算求解能力. 【解析】解法一:常規(guī)解法 ∵ ∴ 導函數(shù) ∵ ∴ ∴ 導函數(shù) 令,∴

5、, 當變化時,,隨變化情況如下表: + 0 - 0 + 極大值 極小值 從上表可知:極小值為. 【知識拓展】導數(shù)是高考重點考查的對象,極值點的問題是非常重要考點之一,大題﹑小題都 會考查,屬于壓軸題,但難度在逐年降低. 【考點】 函數(shù)的極值;函數(shù)的單調(diào)性 【名師點睛】(1)可導函數(shù)y=f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)=0,且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號不同。 (2)若f(x)在(a,b)內(nèi)有極值,那么f(x)在(a,b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù),即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值。 7.(2015高考數(shù)學

6、新課標2理科)設函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù),,當時,,則使得成立的的取值范圍是 (  ) A. B. C. D. 【答案】A 解析:記函數(shù),則,因為當時,,故當時,,所以在單調(diào)遞減;又因為函數(shù)是奇函數(shù),故函數(shù)是偶函數(shù),所以在單調(diào)遞減,且.當時,,則;當時,,則,綜上所述,使得成立的的取值范圍是,故選A. 考點:導數(shù)的應用、函數(shù)的圖象與性質(zhì). 8.(2015高考數(shù)學新課標1理科)設函數(shù),其中,若存在唯一的整數(shù),使得0,則的取值范圍是 (  ) A.B.C.D. 【答案】D 解析:設=,,由題知存在唯一的整數(shù),使得在直線的下方. 因為,所以當時,<0,當時,>0,所以當時,=, 當

7、時,=-1,,直線恒過(1,0)斜率且,故,且,解得≤<1,故選D. 考點:本題主要通過利用導數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決不等式成立問題 9.(2014高考數(shù)學課標2理科)設曲線y=ax-ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x,則a= A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 解析:因為,所以切線的斜率為,解得,選D 考點:(1)導數(shù)的基本運算;(2)導數(shù)的幾何意義。 難度:B 備注:常考題 10.(2014高考數(shù)學課標1理科)已知函數(shù)=,若存在唯一的零點,且>0,則的取值范圍為 (  ) A.(2,+∞) B.(-∞,-2) C.(1,+∞) D.(-∞,

8、-1) 【答案】B 解析1:由已知,,令,得或, 當時,; 且,有小于零的零點,不符合題意. 當時, 要使有唯一的零點且>0,只需,即,.選B 解析2:由已知,=有唯一的正零點,等價于 有唯一的正零根,令,則問題又等價于有唯一的正零根,即與有唯一的交點且交點在在y軸右側(cè)記,,由,,, ,要使有唯一的正零根,只需,選B 考點:(1)利用導數(shù)的定義求函數(shù)的導數(shù)(2)導數(shù)與函數(shù)零點、方程的根 (3)分類討論思想 難度:C 備注:一題多解 11.(2013高考數(shù)學新課標2理科)已知函數(shù),下列結(jié)論中錯誤的是 (  ) A. B.函數(shù)的圖象是中心對

9、稱圖形 C.若是的極小值點,則在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.若是的極值點,則 【答案】C 解析:由三次函數(shù)的圖象可知,若是的極小值點,則極大值點在的左側(cè),所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減是錯誤的,選C. 考點:(1)3.2.3導數(shù)與函數(shù)極值;(2)3.2.2導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性 難度: B 備注:高頻考點 12.(2013高考數(shù)學新課標1理科)已知函數(shù)=,若||≥,則的取值范圍是 (  ) A. B. C.[-2,1] D.[-2,0] 【答案】D 解析:∵||=,∴由||≥得,且, 由可得,則≥-2,排除A,B, 當=1時,易證對恒成立,故=1不適合,排除C,故選D. 考點:(1)3

10、.3.1利用導數(shù)研究“恒能恰”成立及參數(shù)求解問題;(2)7.2.2一元二次不等式恒能恰成立問題. 難度:C 備注:高頻考點、易錯題 二、填空題 13.(2021年高考全國甲卷理科)曲線在點處的切線方程為__________. 【答案】 解析:由題,當時,,故點在曲線上. 求導得:,所以. 故切線方程為. 故答案為:. 14.(2019年高考數(shù)學課標全國Ⅰ卷理科)曲線在點處的切線方程為 . 【答案】 解析:, 所以曲線在點處的切線方程為. 15.(2018年高考數(shù)學課標Ⅲ卷(理))曲線在點處的切線的斜率為,則 . 【答案】

11、 解析:記,則 依題意有,即,解得. 16.(2018年高考數(shù)學課標Ⅱ卷(理))曲線在點處的切線方程為__________. 【答案】 解析:因為,所以,切線方程為,即. 17.(2018年高考數(shù)學課標卷Ⅰ(理))已知函數(shù),則的最小值是 . 【答案】 解法一:先求的最大值,設 , 即, 故根據(jù)奇函數(shù)知, 解法二:導數(shù)法+周期函數(shù) 當;; 解法三:均值不等式法 當且僅當時, 此時, 18.(2017年高考數(shù)學新課標Ⅰ卷理科)如圖,圓形紙片的圓心為,半徑為,該紙片上的等邊三角形的中心為為圓上的點,,,分別是以為底邊的等腰三角

12、形.沿虛線剪開后,分別以為折痕折起,,,使得重合,得到三棱錐.當?shù)倪呴L變化時,所得三棱錐體積(單位:)的最大值為__________. 【答案】 【解析】如下圖,設正三角形的邊長為x,則. , 三棱錐的體積 . 令,則, 令, ,, . 【考點】簡單幾何體的體積 【點評】對于三棱錐最值問題,肯定需要用到函數(shù)的思想進行解決,本題解決的關(guān)鍵是設好未知量,利用圖形特征表示出三棱錐體積.當體積中的變量最高次是2次時可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)進行解決,當變量是高次時需要用到求導得方式進行解決. 19.(2016高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)已知為偶函數(shù),當時,,,則曲線在點處的切線方程是_______________. 【答案】 【解析】當時,,則.又因為是偶函數(shù),所以,所以,則切線斜率為,所以切線方程為,即. 20.(2016高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科)若直線是曲線的切線,也是曲線的切線,則 . 【答案】 【解析】設直線與曲線的切點為 ,與曲線的切點為 則 ,所以 所以,所以,所以. 【點評】此題考查了導數(shù)的幾何意義,以及公切線的基本求法,本解法主要體現(xiàn)了通性通法,即設切點,表示切線方程,利用導數(shù)的幾何意義,切點與曲線、切線位置關(guān)系構(gòu)建方程組,利用消元,解方程的辦法獲解.

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