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1、 2012-2021十年全國高考數(shù)學真題分類匯編 計數(shù)原理（精解精析） 一、選擇題 1．(2021年高考全國乙卷理科)將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有 (　　) A．60種 B．120種 C．240種 D．480種 【答案】C 解析：根據(jù)題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，

2、根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案， 故選：C． 【點睛】本題考查排列組合的應用問題，屬基礎題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解． 2．(2020年高考數(shù)學課標Ⅰ卷理科)的展開式中x3y3的系數(shù)為 (　　) A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【解析】展開式的通項公式為（且） 所以的各項與展開式的通項的乘積可表示為： 和 在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為， 在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為 所以的系數(shù)為 故選：C 【點睛】本題主要考查了二項式定理及其展開式的通項公式，還考查了賦值法、轉(zhuǎn)化能力及分析能力，屬于中檔題． 3

3、．(2019年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)的展開式中的系數(shù)為 (　　) A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【解析】因為，所以的系數(shù)為，故選A． 【點評】本題主要考查二項式定理，利用展開式通項公式求展開式指定項的系數(shù)，是常規(guī)考法。 4．(2018年高考數(shù)學課標Ⅲ卷（理）)的展開式中的系數(shù)為 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 解析：展開式的通項公式為，令，解得，故含的系數(shù)為，故選C． 5．(2017年高考數(shù)學新課標Ⅰ卷理科)展開式中的系數(shù)為 (　　) A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】因為,則展開式中含的項為,展開式中含的項為,故前系

4、數(shù)為,選C． 【考點】二項式定理 【點評】對于兩個二項式乘積的問題,第一個二項式中的每項乘以第二個二項式的每項,分析好的項共有幾項,進行加和．這類問題的易錯點主要是未能分析清楚構(gòu)成這一項的具體情況,尤其是兩個二項式展開式中的不同． 6．(2017年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)的展開式中的系數(shù)為 (　　) A． B． C．40 D．80 【答案】 C 【解析】, 由 展開式的通項公式: 可得: 當 時, 展開式中 的系數(shù)為 , 當 時, 展開式中 的系數(shù)為 , 則 的系數(shù)為． 故選C． 【考點】二項式展開式的通項公式 【點評】(1)二項式定理的核心是

5、通項公式,求解此類問題可以分兩步完成:第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式,建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件,即n,r均為非負整數(shù),且n≥r,如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等);第二步是根據(jù)所求的指數(shù),再求所求解的項． (2)求兩個多項式的積的特定項,可先化簡或利用分類加法計數(shù)原理討論求解． 7．(2017年高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有 (　　) A．12種 B．18種 C．24種 D．36種 【答案】 D 【命題意圖】本題主要考查基本計數(shù)原理的應用，以考查考生

6、的邏輯分析能力和運算求解能力 為主． 【解析】解法一：分組分配之分人 首先 分組 將三人分成兩組，一組為三個人，有種可能，另外一組從三人在選調(diào)一人，有種可 能； 其次 排序 兩組前后在排序，在對位找工作即可，有種可能；共計有36種可能． 解法二：分組分配之分工作 工作分成三份有種可能，在把三組工作分給3個人有可能，共計有36種可能． 解法三：分組分配之人與工作互動 先讓先個人個完成一項工作，有種可能，剩下的一項工作在有3人中一人完成有 種可能，但由兩項工作人數(shù)相同，所以要除以，共計有36種可能． 解法四：占位法 其中必有一個完成兩項工作，選出此人，讓其先占位，即有中

7、可能；剩下的兩項工作 由剩下的兩個人去完成，即有種可能，按分步計數(shù)原理求得結(jié)果為36種可能． 解法五：隔板法和環(huán)桌排列 首先讓其環(huán)桌排列，在插兩個隔板，有種可能，在分配給3人工作有種可能，按分 步計數(shù)原理求得結(jié)果為36種可能． 【知識拓展】計數(shù)原理屬于必考考點，?？碱}型有1．排列組合；2．二項式定理，幾乎二者是隔一年或隔兩年交互出題，排列組合這種排序問題?？?，已經(jīng)屬于高考常態(tài)，利用二項式定理求某一項的系數(shù)或求奇偶項和也已經(jīng)屬于高考常態(tài)，尤其是利用二項式定理求某一項的系數(shù)更為突出． 8．(2016高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科)如圖，小明從街道的處出發(fā)，先到處與小紅會合，再一起到位于處的老年公

8、寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為 (　　) (　　) A．24 B．18 C．12 D．9 【答案】B 【解析】有種走法，有種走法，由乘法原理知，共種走法 故選B． 9．(2015高考數(shù)學新課標1理科)的展開式中，的系數(shù)為 (　　) A．10 B．20 C．30 D．60 【答案】C 解析：在的5個因式中，2個取因式中剩余的3個因式中1個取，其余因式取y,故的系數(shù)為=30，故選 C． 考點：本題主要考查利用排列組合知識計算二項式展開式某一項的系數(shù)． 【名師點睛】本題利用排列組合求多項展開式式某一項的系數(shù)，試題形式新穎，是中檔題，求多項展開式式某

9、一項的系數(shù)問題，先分析該項的構(gòu)成，結(jié)合所給多項式，分析如何得到該項，再利用排列組知識求解． 10．(2013高考數(shù)學新課標2理科)已知的展開式中的系數(shù)為5，則等于 (　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 【答案】D 解析：中含的項為：，即 考點：（1）10．7．1求二項展開式的指定項或指定項系數(shù)； 難度：B 備注：高頻考點 11．(2013高考數(shù)學新課標1理科)設m為正整數(shù)，展開式的二項式系數(shù)的最大值為，展開式的二項式系數(shù)的最大值為，若13=7，則＝ (　　) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】Ｂ 解析：由題知=，=，∴13=7，即=， 解得=6，故

10、選B． 考點: （1）10．7．2求最大系數(shù)或系數(shù)最大的項；（2）13．1．1函數(shù)與方程思想． 難度：Ａ 備注：高頻考點 12．(2012高考數(shù)學新課標理科)將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組 由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有 (　　) A．12種 B．10種 C．9種 D．8種 【答案】A 解析：第一步，為甲地選一名老師和兩個學生，，有=12種選法； 第二步，為乙地選1名教師和2名學生，有1種選法 故不同的安排方案共有2×6×1=12種 考點：（1）10．6．2分步乘法計數(shù)原理的應用；（2）10．6．5組合問題

11、． 難度：A 備注：高頻考點 二、填空題 13．(2020年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)的展開式中常數(shù)項是__________(用數(shù)字作答)． 【答案】 解析： 其二項式展開通項： 當，解得 的展開式中常數(shù)項是：． 故答案為：． 【點睛】本題考查二項式定理，利用通項公式求二項展開式中的指定項，解題關(guān)鍵是掌握的展開通項公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題． 14．(2018年高考數(shù)學課標卷Ⅰ（理）)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有 種．。(用數(shù)字填寫答案) 【答案】16 解析：方法一：直接法，1女2

12、男，有，2女1男，有 根據(jù)分類計數(shù)原理可得，共有12+4=16種， 方法二，間接法：種． 15．(2016高考數(shù)學課標Ⅰ卷理科)的展開式中，的系數(shù)是 ．(用數(shù)字填寫答案) 【答案】10 【解析】設展開式的第項為，∴． 當時，，即．故答案為10． 16．(2015高考數(shù)學新課標2理科)的展開式中的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則__________． 【答案】 分析：由已知得，故的展開式中x的奇數(shù)次冪項分別為，，，，，其系數(shù)之和為，解得． 考點：二項式定理． 17．(2014高考數(shù)學課標2理科)的展開式中，的系數(shù)為15，則=________．(用數(shù)字填寫答案) 【答案】 解析：故 考點：（1）求二項展開式的指定項或指定項系數(shù)；（2）組合數(shù)的運算。 難度：B 備注：?？碱} 18．(2014高考數(shù)學課標1理科)的展開式中的系數(shù)為________．(用數(shù)字填寫答案) 【答案】 20 解析:展開式的通項為, ∴, ∴的展開式中的項為,故系數(shù)為20． 考點:(1)求二項式展開式的指定項系數(shù)(2)二項式的通項公式(3)函數(shù)與方程的思想 難度:B