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1、
2012-2021十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 數(shù)列大題 (精解精析)
1.(2021年高考全國乙卷理科)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和,為數(shù)列的前n項(xiàng)積,已知.
(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)求的通項(xiàng)公式.
【答案】(1)證明見解析;(2).
解析:(1)由已知得,且,,
取,由得,
由于為數(shù)列的前n項(xiàng)積,
所以,
所以,
所以,
由于
所以,即,其中
所以數(shù)列是以為首項(xiàng),以為公差等差數(shù)列;
(2)由(1)可得,數(shù)列是以為首項(xiàng),以為公差的等差數(shù)列,
,
,
當(dāng)n=1時,,
當(dāng)n≥2時,,顯然對于n=1不成立,
∴.
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的證明,考
2、查數(shù)列的前n項(xiàng)和與項(xiàng)的關(guān)系,數(shù)列的前n項(xiàng)積與項(xiàng)的關(guān)系,其中由,得到,進(jìn)而得到是關(guān)鍵一步;要熟練掌握前n項(xiàng)和,積與數(shù)列的項(xiàng)的關(guān)系,消和(積)得到項(xiàng)(或項(xiàng)的遞推關(guān)系),或者消項(xiàng)得到和(積)的遞推關(guān)系是常用的重要的思想方法.
2.(2021年高考全國甲卷理科)已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),記為的前n項(xiàng)和,從下面①②③中選取兩個作為條件,證明另外一個成立.
①數(shù)列是等差數(shù)列:②數(shù)列是等差數(shù)列;③.
注:若選擇不同的組合分別解答,則按第一個解答計(jì)分.
【答案】答案見解析
解析:選①②作條件證明③:
設(shè),則,
當(dāng)時,;
當(dāng)時,;
因?yàn)橐彩堑炔顢?shù)列,所以,解得;
所以,所以.
選①③作條件證
3、明②:
因?yàn)?,是等差?shù)列,
所以公差,
所以,即,
因?yàn)椋?
所以是等差數(shù)列.
選②③作條件證明①:
設(shè),則,
當(dāng)時,;
當(dāng)時,;
因?yàn)?,所以,解得或?
當(dāng)時,,當(dāng)時,滿足等差數(shù)列的定義,此時為等差數(shù)列;
當(dāng)時,,不合題意,舍去.
綜上可知為等差數(shù)列.
【點(diǎn)睛】這類題型在解答題中較為罕見,求解的關(guān)鍵是牢牢抓住已知條件,結(jié)合相關(guān)公式,逐步推演,等差數(shù)列的證明通常采用定義法或者等差中項(xiàng)法.
3.(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列,為,的等差中項(xiàng).
(1)求的公比;
(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)設(shè)的公
4、比為,為的等差中項(xiàng),
,
;
(2)設(shè)前項(xiàng)和為,,
,①
,②
①②得,
,
.
【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算、等差中項(xiàng)的性質(zhì),以及錯位相減法求和,考查計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.
4.(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3,.
(1)計(jì)算a2,a3,猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明;
(2)求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn.
【答案】(1),,,證明見解析;(2).
解析:(1)由題意可得,,
由數(shù)列的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列是以為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,即,
證明如下:
當(dāng)時,成立;
假設(shè)時,成立.
那么時,也成立.
則
5、對任意的,都有成立;
(2)由(1)可知,
,①
,②
由①②得:
,
即.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及利用錯位相減法求數(shù)列的和,屬于中檔題.
5.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅱ卷理科)已知數(shù)列和滿足,,,.
證明:是等比數(shù)列,是等差數(shù)列;
求和的通項(xiàng)公式.
【答案】見解析;,.
【官方解析】
由題設(shè)得,即.
又因?yàn)?,所以是首?xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.
由題設(shè)得,即.
又因?yàn)?,所以是首?xiàng)為,公差為的等差數(shù)列.
由知,,.
所以,
.
【分析】可通過題意中的以及對兩式進(jìn)行相加和相減即可推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列以及數(shù)列是等差數(shù)列;
可通過中的
6、結(jié)果推導(dǎo)出數(shù)列以及數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后利用數(shù)列以及數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出結(jié)果.
【解析】由題意可知,,,,
所以,即,
所以數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列,,
因?yàn)椋?
所以,數(shù)列是首項(xiàng)、公差為等差數(shù)列,.
由可知,,,
所以,.
【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)列的相關(guān)性質(zhì),主要考查了等差數(shù)列以及等比數(shù)列的相關(guān)證明,證明數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列一定要結(jié)合等差數(shù)列或者等比數(shù)列的定義,考查推理能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.
6.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷(理))(12分)等比數(shù)列中,,
(1)求的通項(xiàng)公式;
(2)記為的前項(xiàng)和,若,求.
(1)或;(2)
【答案】【官方解析
7、】(1)設(shè)的公比為,由題設(shè)得
由已知得,解得(舍去),或
故或
(2)若,則,由,得,此方和沒有正整數(shù)解
若,則,由,得,解得
綜上,.
【民間解析】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為,由,可得,所以
所以
當(dāng)時,;當(dāng)時,
(2)由(1)可知
當(dāng)時,由即,即,所以;
當(dāng)時,由即,即,無解
綜上可知.
7.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷(理))(12分)記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,已知,.
(1)求的通項(xiàng)公式;
(2)求,并求的最小值.
【答案】解析:(1)設(shè)的公差為,由題意得.
由得,所以的通項(xiàng)公式為.
(2)由(1)得.
所以當(dāng)時,取得最小值,最小值為.
8.(2016
8、高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知數(shù)列的前項(xiàng)和,其中.
(Ⅰ)證明是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若,求.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)由題意得,故,,.
由,得,即.
由,得,所以.
因此是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,于是.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,由得,即,解得.
9.(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)(本題滿分12分)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,且記,其中表示不超過的最大整數(shù),如.
(I)求;(II)求數(shù)列的前1 000項(xiàng)和.
【答案】(1),,;(2).
【解析】(1)設(shè)的公差為,據(jù)已知有,解得.
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
,,.
(2)因?yàn)?
所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.
9、
10.(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)(本小題滿分12分)為數(shù)列的前項(xiàng)和.已知
(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式:
(Ⅱ)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
分析:(Ⅰ)先用數(shù)列第項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系求出數(shù)列{}的遞推公式,可以判斷數(shù)列{}是等差數(shù)列,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可寫出數(shù)列{}的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)數(shù)列{}的通項(xiàng)公式,再用拆項(xiàng)消去法求其前項(xiàng)和.
解析:(Ⅰ)當(dāng)時,,因?yàn)椋?3,
當(dāng)時,==,即,因?yàn)?,所?2,
所以數(shù)列{}是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列,
所以=;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,=,
所以數(shù)列{}前n項(xiàng)和為= =.
考點(diǎn):數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系;等差
10、數(shù)列定義與通項(xiàng)公式;拆項(xiàng)消去法
11.(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科)(本小題滿分12分)
已知數(shù)列滿足=1,.
(Ⅰ)證明是等比數(shù)列,并求的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)證明:
【答案】解析:(Ⅰ)由,得,且
所以是首相為,公比為的等比數(shù)列。
因此,所以的通項(xiàng)公式為.
(Ⅱ)由(1)知
當(dāng)時,,所以
于是
所以
考點(diǎn):(1)等比數(shù)列的證明及通項(xiàng)公式的求法;(2)等比數(shù)列的前項(xiàng)的和
(3)放縮法證明不等式
難度:C
備注:一題多解
12.(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,,其中為常數(shù).
(1)證明:;
(2)是否存在,使得為等差數(shù)列?并說明理由.
【答案】解析:(1)由題設(shè),,兩式相減
,由于,所以.
(2)由題設(shè),,可得,由(1)知
假設(shè)為等差數(shù)列,則成等差數(shù)列,∴,解得;
證明時,為等差數(shù)列:由知
數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列
令則,∴
數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列
令則,∴
∴(),
因此,存在存在,使得為等差數(shù)列.
考點(diǎn):(1)等差數(shù)列的證明;(2)等差數(shù)列的前項(xiàng)和及綜合應(yīng)用(3)分類討論思想
難度:C
備注:高頻考點(diǎn)