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【2022高考必備】2012-2021十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 概率(精解精析)

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1、 2012-2021十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 概率(精解精析) 一、選擇題 1.(2021年高考全國甲卷理科)將4個1和2個0隨機(jī)排成一行,則2個0不相鄰的概率為 (  ) A. B. C. D. 【答案】C 解析:將4個1和2個0隨機(jī)排成一行,可利用插空法,4個1產(chǎn)生5個空, 若2個0相鄰,則有種排法,若2個0不相鄰,則有種排法, 所以2個0不相鄰的概率為. 故選:C. 2.(2021年高考全國乙卷理科)在區(qū)間與中各隨機(jī)取1個數(shù),則兩數(shù)之和大于的概率為 (  ) A. B. C. D. 【答案】B 解析:如圖所示: 設(shè)從區(qū)間中隨機(jī)取出的數(shù)分別為,則實(shí)驗(yàn)的所有

2、結(jié)果構(gòu)成區(qū)域?yàn)?,其面積為. 設(shè)事件表示兩數(shù)之和大于,則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?,即圖中的陰影部分,其面積為,所以. 故選:B. 【點(diǎn)睛】本題主要考查利用線性規(guī)劃解決幾何概型中的面積問題,解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出事件對應(yīng)的區(qū)域面積,即可順利解出. 3.(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)在一組樣本數(shù)據(jù)中,1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為,且,則下面四種情形中,對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是 (  ) A. B. C. D. 【答案】B 解析:對于A選項(xiàng),該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為, 方差為; 對于B選項(xiàng),該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為, 方差為; 對于C選項(xiàng),該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為, 方差為; 對于D選項(xiàng),該組數(shù)據(jù)

3、的平均數(shù)為, 方差為. 因此,B選項(xiàng)這一組標(biāo)準(zhǔn)差最大. 故選:B. 【點(diǎn)睛】本題考查標(biāo)準(zhǔn)差的大小比較,考查方差公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題. 4.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅰ卷理科)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個 爻組成,爻分為陽爻“”和陰爻“——”,右圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī) 取一重卦,則該重卦恰有3個陽爻的概率是 (  ) A. B. C. D. 【答案】答案:A 解析:所有的重卦共有個,而恰有3個陽爻的重卦有個,所以所求概率為. 5.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷(理))某群體中的每位成員使用移動

4、支付的概率都為,各成員的支付方式相互獨(dú)立,設(shè)為該群體的位成員中使用移動支付的人數(shù),,,則 (  ) A. B. C. D. 【答案】B 解析:依題意可知,則,解得或 又,所以即,即 所以,故選B. 6.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷(理))我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素?cái)?shù)的和”,如.在不超過30的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取兩個不同的數(shù),其和等于30的概率是 (  ) A. B. C. D. 【答案】C 解析:不超過30的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10個,隨機(jī)選取兩個不同的數(shù),共

5、有種方法,因?yàn)椋噪S機(jī)選取兩個不同的數(shù),其和等于30的有3種選法,故概率,故選C. 7.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ(理))下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形。此圖由三個半圓構(gòu)成,三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊,直角邊,.的三邊所圍成的區(qū)域記為I,黑色部分記為II.其余部分記為III.在整個圖形中隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自1,II,III的概率分別記為則 (  ) A. B. C. D. 【答案】A 解析:如圖:設(shè),∴,∴, ∴,∴,故選A. 8.(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)如圖,正方形內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部

6、分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是 (  ) (  ) A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】設(shè)正方形邊長為,則圓的半徑為,則正方形的面積為,圓的面積為.由圖形的對稱性可知,太極圖中黑白部分面積相等,即各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計(jì)算公式得,此點(diǎn)取自黑色部分的概率是,選B. 秒殺解析:由題意可知,此點(diǎn)取自黑色部分的概率即為黑色部分面積占整個面積的比例,由圖可知其概率,故選B. 【考點(diǎn)】幾何概型 【點(diǎn)評】對于幾何概型的計(jì)算,首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域(長度、面積、體積或時間),其次計(jì)算基本事件區(qū)域

7、的幾何度量和事件A區(qū)域的幾何度量,最后計(jì)算. 9.(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)從區(qū)間隨機(jī)抽取個數(shù),,…,,,,…,,構(gòu)成個數(shù)對,,…,,其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有個,則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為 (  ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】幾何概型問題:樣本空間 其面積為: 事件“兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對”對應(yīng)的集合為: 其對應(yīng)區(qū)域面積為:,所以 所以,故選C. 10.(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)某公司的班車在,,發(fā)車,小明在至之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車,且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機(jī)的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是 (  ) (A)(

8、B)(C)(D) 【答案】B 【解析】如圖所示,畫出時間軸: 小明到達(dá)的時間會隨機(jī)的落在圖中線段中,而當(dāng)他的到達(dá)時間落在線段或時,才能保證他等車的時間不超過10分鐘 根據(jù)幾何概型,所求概率.故選B. 11.(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨(dú)立,則該同學(xué)通過測試的概率為 (  ) A.0.648 B.432 C.0.36 D.0.312 【答案】A 解析:根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得,該同學(xué)通過測試的概率為=0.648,故選A. 考點(diǎn):本題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式與

9、互斥事件和概率公式 12.(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是 (  ) A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 【答案】A 解析:設(shè)A=“某一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”,B=“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”,則,故選A. 考點(diǎn):(1)條件概率的求法;。 難度:B 備注:易錯題 13.(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科)4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動,則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率 (  ) A. B. C

10、. D. 【答案】 D 解析:4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動共有種, 周六、周日都有同學(xué)參加公益活動有兩種情況:①一天一人一天三人有種;②每天2人有種,則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為;或間接解法:4位同學(xué)都在周六或周日參加公益活動有2種,則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為;選D. 考點(diǎn):(1)古典概型的概率(2)分類討論思想 難度:B 備注:高頻考點(diǎn) 二、填空題 14.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅰ卷理科)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽,采取七場四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場勝利時,該隊(duì)獲勝,決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績,甲隊(duì)的主客場安排依次

11、為“主主客客主客主” .設(shè)甲隊(duì)主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立,則甲隊(duì)以4:1獲勝的概率是 . 【答案】答案: 解析:因?yàn)榧钻?duì)以4:1獲勝,故一共進(jìn)行5場比賽,且第5場為甲勝,前面4場比賽甲輸一場, 若第1場或第2場輸1場,則, 若第3場或第4場輸1場,則, 所以甲以4:1獲勝的概率是. 15.(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)一批產(chǎn)品的二等品率為,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件,有放回地抽取次,表示抽到的二等品件數(shù),則 . 【答案】 【命題意圖】本題考查二項(xiàng)分布概念及其數(shù)字特征,意在考查學(xué)生的運(yùn)算求

12、解能力. 【解析】隨機(jī)變量, 【知識拓展】離散型隨機(jī)變量是高考考點(diǎn)之一,隨機(jī)變量分布是熱點(diǎn)話題,正態(tài)分布和二項(xiàng)分 布都以小題出現(xiàn),且在基礎(chǔ)題位置,難度較低,在平時復(fù)習(xí)時不宜研究難題. 【考點(diǎn)】二項(xiàng)分布的期望與方差 【點(diǎn)評】判斷一個隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布,要看兩點(diǎn): (1)一是是否為 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).在每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率是否均為P. 二是隨機(jī)變量是否為在這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù),且表示在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件恰好發(fā)生次的概率. 16.(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)從個正整數(shù)中任意取出兩個不同的數(shù),若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為,則=________. 【答案】

13、8 解析:由題意,取出的兩個數(shù)只可能是1與4,2與3這兩種情況,∴在n個數(shù)中任意取出兩個不同的數(shù)的總情況應(yīng)該是,. 考點(diǎn):(1)10.5.2古典概型的概率問題; 難度: B 備注:高頻考點(diǎn) 17.(2012高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)理科)某個部件由三個電子元件按如圖所示方式連接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,則部件正常工作,設(shè)三個電子元件的使用壽命(單位:小時)均服從正態(tài)分布,且各個元件能否正常工作相互獨(dú)立,那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為 【答案】 解析: 三個電子元件的使用壽命均服從正態(tài)分布 得:三個電子元件的使用壽命超過1000小

14、時的概率為 設(shè)A={超過1000小時時,元件1、元件2至少有一個正常},B={超過1000小時時,元件3正常},C={該部件的使用壽命超過1000小時}則 超過1000小時時元件1或元件2正常工作的概率, 而. 那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為P(C)=P(AB)=P(A)P(B)= 考點(diǎn):(1)10.4.3互斥事件、對立事件的概率;(2)10.9.2相互獨(dú)立事件的概率;(3)10.9.7服從正態(tài)分布的概率計(jì)算 難度:B 備注:高頻考點(diǎn) 三、解答題 18.(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽,約定賽制如下:累計(jì)負(fù)兩場者被淘汰;比賽前抽

15、簽決定首先比賽的兩人,另一人輪空;每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽,負(fù)者下一場輪空,直至有一人被淘汰;當(dāng)一人被淘汰后,剩余的兩人繼續(xù)比賽,直至其中一人被淘汰,另一人最終獲勝,比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽,甲、乙首先比賽,丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為, (1)求甲連勝四場的概率; (2)求需要進(jìn)行第五場比賽的概率; (3)求丙最終獲勝的概率. 【答案】(1);(2);(3). 【解析】(1)記事件甲連勝四場,則; (2)記事件為甲輸,事件為乙輸,事件為丙輸, 則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為 , 所以,需要進(jìn)行第五場比賽的概率為; (3)記事件為甲輸,事件為乙輸,事件為丙輸, 記事

16、件甲贏,記事件丙贏, 則甲贏的基本事件包括:、、、 、、、、, 所以,甲贏概率為. 由對稱性可知,乙贏的概率和甲贏的概率相等, 所以丙贏的概率為. 【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件概率的計(jì)算,解答的關(guān)鍵就是列舉出符合條件的基本事件,考查計(jì)算能力,屬于中等題. 19.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅱ卷理科)分制乒乓球比賽,每贏一球得分,當(dāng)某局打成平后,每球交換發(fā)球權(quán),先多得分的一方獲勝,該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽,假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為,乙發(fā)球時甲得分的概率為,各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方平后,甲先發(fā)球,兩人又打了個球該局比賽結(jié)束. 求; 求事件“且甲獲勝”的概率.

17、 【答案】;. 【官方解析】 就是平后,兩人又打了個球該局比賽結(jié)束,則這個球均由甲得分,或者均由乙得分.因此. 且甲獲勝,就是平后,兩人又打了個球該局比賽結(jié)束,且這個球的得分情況為:前兩球是甲、乙各得分,后兩球均為甲得分. 因此所求概率為 . 【分析】 本題首先可以通過題意推導(dǎo)出所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”,然后計(jì)算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果; 本題首先可以通過題意推導(dǎo)出所包含的事件為“前兩球甲乙各得分,后兩球均為甲得分”,然后計(jì)算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果. 【解析】由題意可知,所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”, 所以. 由題意可知,

18、包含的事件為“前兩球甲乙各得分,后兩球均為甲得分” 所以. 【點(diǎn)評】本題考查古典概型的相關(guān)性質(zhì),能否通過題意得出以及所包含的事件是解決本題的關(guān)鍵,考查推理能力,考查學(xué)生從題目中獲取所需信息的能力,是中檔題. 20.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅰ卷理科)為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進(jìn)行動物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn).對于兩只白鼠,隨機(jī)選一只施以甲藥,另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時,就停止試驗(yàn),并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題,約定,對于

19、每輪試驗(yàn),若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X. (1)求X的分布列; (2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時都賦予4分,表示“甲藥的累計(jì)得分為時,最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率,則(), 其中,,.假設(shè),. (i)證明:為等比數(shù)列; (ii)求,并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性. 【答案】(1)解:X的所有可能取值為, . 所以的分布列為 X 0 1 P (

20、2)(i)由(1)得. 因此,故,即. 又因?yàn)?,所以為公比?,首項(xiàng)為的等比數(shù)列. (ii)由(i)可得 . 由于,故,所以. 表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率,由計(jì)算結(jié)果可以看出,在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為0.8時,認(rèn)為甲藥更有效的概率為,此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小,說明這種試驗(yàn)方案合理. 21.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷(理))(12分)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額(單位:億元)的折線圖. 為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了與時間變量的兩個線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量的值依次為)建立模型①:;

21、根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量的值依次為)建立模型②:. (1)分別利用這兩個模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值; (2)你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠?并說明理由. 【答案】解析:(1)利用模型①,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為 (億元). 利用模型②,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為 (億元). (2)利用模型②得到的預(yù)測值更可靠. 理由如下: (i)從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線上下,這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投

22、資額,的變化趨勢.2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近,這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢,,利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢,因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠. (ii)從計(jì)算結(jié)果看,相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型①得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理,說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠. 以上給出了2種理由,考生答出其中一種或其他合理理由均可得分. 22.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ(理))(12分)

23、某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn),如檢驗(yàn)出不合格品,則更換為合格品.檢驗(yàn)時,先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn),再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn),設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為,且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立. (1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為,求的最大值點(diǎn). (2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件,結(jié)果恰有2件不合格品,以(1)中確定的作為的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元,若有不合格品進(jìn)入用戶手中,則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用. (i)若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為,求;

24、(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù),是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)? 【答案】解析:(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為. 因此. 令,得.當(dāng)時,;當(dāng)時,. 所以的最大值點(diǎn)為. (2)由(1)知,. (i)令表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù),依題意知,,即. 所以. (ii)如果對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元. 由于,故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn). 23.(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)(12分)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件,并測量其尺寸(單位:).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可

25、以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布. (1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數(shù),求及的數(shù)學(xué)期望; (2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查. (ⅰ)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性; (ⅱ)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸: 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95

26、 經(jīng)計(jì)算得,,其中為抽取的第個零件的尺寸,. 用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值,利用估計(jì)值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查?剔除之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和(精確到0.01). 附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,,. 【答案】(1),;(2)詳見解析. 【分析】(1)根據(jù)題設(shè)條件知一個零件尺寸在之內(nèi)的概率為,則零件的尺寸在之外的概率為,而,進(jìn)而可以求出的數(shù)學(xué)期望.(2)(i)判斷監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法的合理性,重點(diǎn)是考慮一天內(nèi)抽取的個零件中,出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率大還是小,若小即合理;(ii)根據(jù)題設(shè)條件題出的估計(jì)值和的估計(jì)值,剔除之外的數(shù)據(jù),算出剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)

27、,即為的估計(jì)值,剔除之外的數(shù)據(jù),剩下數(shù)據(jù)的樣本方法,即為的估計(jì)值. 【解析】(1)抽取的一個零件的尺寸在之內(nèi)的概率為0.9974,從而零件的尺寸在之外的概率為0.0026 故.因此. 的數(shù)學(xué)期望為. (2)(i)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個零件尺寸在之外的概率只有,一天內(nèi)抽取的16個零件中,出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率只有0.0408,發(fā)生的概率很?。虼艘坏┌l(fā)生這種情況,就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的. (ii)由,得的估計(jì)值為,的估計(jì)值為,由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在之外,因此需

28、對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查. 剔除之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 因此的估計(jì)值為 剔除之外的數(shù)據(jù),剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為,因此的估計(jì)值為. 【考點(diǎn)】正態(tài)分布,隨機(jī)變量的期望和方差. 【點(diǎn)評】數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量中重要的數(shù)學(xué)概念,反應(yīng)隨機(jī)變量取值的平均水平,求解離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望時,首先要分清事件的構(gòu)成與性質(zhì),確定離散型隨機(jī)變量的所有取值,然后根據(jù)概率類型選擇公式,計(jì)算每個變量取每個值的概率,列出對應(yīng)的分布列,最后求出數(shù)學(xué)期望.正態(tài)分布是一種重要的分布,之前考過一次,尤其是正態(tài)分布的原則. 24.(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)某超市計(jì)劃按月

29、訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表: 最高氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替

30、最高氣溫位于該區(qū)間的概率. (Ⅰ)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列; (Ⅱ)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元).當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位:瓶)為多少時,Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值? 【答案】(Ⅰ)分布列略;(Ⅱ)n=300時,Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值,最大值為520元. 【解析】(1)依題意可知的所有可能取值為 其中,, 所以的分布列為 (2)①當(dāng)時:,此時,當(dāng)時取到. ②當(dāng)時: 若,則, 若時,則 若時,則 的分布列為 ∴ 此時,當(dāng)時取到. ③

31、當(dāng)時,若,則 若時,則 若時,則 的分布列為 ∴(元) ④當(dāng)時,易知一定小于③的情況. 綜上,當(dāng)為瓶時,的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值. 【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的分布列;數(shù)學(xué)期望; 【點(diǎn)評】離散型隨機(jī)變量的分布列指出了隨機(jī)變量X的取值范圍以及取各值的概率;要理解兩種特殊的概率分布——兩點(diǎn)分布與超幾何分布;并善于靈活運(yùn)用兩性質(zhì):一是 (i=1,2,);二是檢驗(yàn)分布列的正誤. 25.(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)(本題滿分12分)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為(單位:元),繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人的本年度的保費(fèi)與其上年度的出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如

32、下: 上年度出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 保費(fèi) 設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下: 一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05 (I)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率; (II)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi),求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出的概率; (III)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值. 【答案】(1);(2);(3) 【解析】(I)設(shè)表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”,則事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于,故

33、. (II)設(shè)表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出”,則事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于,故, 又 因此所求概率為. (III)記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為,則的分布列為 因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為:. 26.(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)(本小題滿分12分)某公司計(jì)劃購買2臺機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購進(jìn)機(jī)器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了

34、100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖: 以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),表示購買2臺機(jī)器的同時購買的易損零件數(shù). (I)求的分布列; (II)若要求,確定的最小值; (III)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),在與之中選其一,應(yīng)選用哪個? 【答案】 (I) 16 17 18 19 20 21 22 (II) 19 (III) 【官方解答】(I)由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺機(jī)器三年內(nèi)

35、需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2.從而 ,, , , 所以的分布列為 16 17 18 19 20 21 22 (II) 由(I)得,,故的最小值為19 (III)記Y表示2臺機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位:元) 當(dāng)時, 當(dāng)時, . 要令,, 則的最小值為19 可知當(dāng)時所需要的費(fèi)用的期望小于當(dāng)時所需要的費(fèi)用的期望∴故應(yīng)選. 【民間解答】⑴ 每臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11 記事件為第一臺機(jī)器3年內(nèi)換掉個零件 記事件為第二臺機(jī)器3年內(nèi)換掉個零件

36、 由題知, 設(shè)2臺機(jī)器共需更換的易損零件數(shù)的隨機(jī)變量為 則的可能的取值為16,17,18,19,20,21,22 16 17 18 19 20 21 22 ⑵要令,, 則的最小值為19. ⑶購買零件所需費(fèi)用含兩部分: 一部分為購買機(jī)器時購買零件的費(fèi)用,另一部分為備件不足時額外購買的費(fèi)用 當(dāng)時,費(fèi)用的期望為 當(dāng)時,費(fèi)用的期望為 所以應(yīng)選用. 27.(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)(本題滿分12分)某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度,從,兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個用戶,得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如

37、下: 地區(qū):62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 地區(qū):73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖,并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值,得出結(jié)論即可); (Ⅱ)根據(jù)用戶滿意度評分,將用戶的滿意度從低到高分為三個等級: 滿意度評分

38、低于70分 70分到89分 不低于90分 滿意度等級 不滿意 滿意 非常滿意 記事件:“地區(qū)用戶的滿意度等級高于地區(qū)用戶的滿意度等級”.假設(shè)兩地區(qū)用戶的評價結(jié)果相互獨(dú)立.根據(jù)所給數(shù)據(jù),以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率,求的概率. 【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ). 解析:(Ⅰ)兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖如下 通過莖葉圖可以看出,A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值;A地區(qū)用戶滿意度評分比較集中,B地區(qū)用戶滿意度評分比較分散. (Ⅱ)記表示事件:“A地區(qū)用戶滿意度等級為滿意或非常滿意”; 表示事件:“A地區(qū)用戶滿意度等級為非常滿意”;

39、表示事件:“B地區(qū)用戶滿意度等級為不滿意”; 表示事件:“B地區(qū)用戶滿意度等級為滿意”. 則與獨(dú)立,與獨(dú)立,與互斥,. . 由所給數(shù)據(jù)得,,,發(fā)生的概率分別為,,,.故, ,,,故. 考點(diǎn):1、莖葉圖和特征數(shù);2、互斥事件和獨(dú)立事件. 28.(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科)從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖: (1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表); (2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差. (i)

40、利用該正態(tài)分布,求; (ii)某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品,記表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值為于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù),利用(i)的結(jié)果,求. 附:. 若~,則. 【答案】解析:(1)抽取產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為 (2)(ⅰ)由(1)知~,從而 . (ⅱ)由(ⅰ)知,一件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值為于區(qū)間的概率為 依題意知,所以. 考點(diǎn):(1)頻率分布直方圖的繪制及應(yīng)用;(2)離散型隨機(jī)變量的均值及方差;(3)正態(tài)分布的應(yīng)用;(4)數(shù)形結(jié)合思想 難度:C 備注:高頻考點(diǎn) 29.(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)

41、經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品,在一個銷售季度內(nèi),每售出1 t該產(chǎn)品獲利潤500元,未售出的產(chǎn)品,每1 t虧損300元.根據(jù)歷史資料,得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進(jìn)了130 t該農(nóng)產(chǎn)品.以X(單位: t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量,T(單位:元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤. (1)將T表示為X的函數(shù); (2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤T不少于57 000元的概率; (3)在直方圖的需求量分組中,以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個值,需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如:若x∈[100,110),則

42、取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的T的數(shù)學(xué)期望. 【答案】(1); (2)0.7 ;(3)59 400 解析:(1)當(dāng)X∈[100,130)時,T=500X-300(130-X)=800X-39 000. 當(dāng)X∈[130,150]時,T=500×130=65 000. 所以 (2)由(1)知利潤T不少于57 000元當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150. 由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7,所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57 000元的概率的估計(jì)值為0.7. (3)依題意可得T的分布列為 T 45 000 53 000 61 0

43、00 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以E(T)=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000×0.3+65 000×0.4=59 400. 考點(diǎn):(1)10.2.1頻率分布直方圖的繪制與應(yīng)用;(2)10.9.4離散型隨機(jī)變量的均值、方差; 難度: B 備注:典型題 30.(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn),檢驗(yàn)方案是:先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn),這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n。如果n=3,再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn),若都為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn);如果n=4,再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn),若為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品

44、通過檢驗(yàn);其他情況下,這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn)。 假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%,即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為0.5,且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立 (1)求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率; (2)已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為100元,凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn),對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位:元),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望。 【答案】(1) ?。?)見解析 解析:設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A,第一次取出的4件產(chǎn)品中全為優(yōu)質(zhì)品為事件B,第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件C,第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件D,這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為事件E,根據(jù)題意有E=(AB)∪(CD)

45、,且AB與CD互斥, ∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=+=6分 (Ⅱ)X的可能取值為400,500,800,并且 P(X=400)=1-=,P(X=500)=,P(X=800)==, ∴X的分布列為 X 400 500 800 P ……10分 EX=400×+500×+800×=506.25 ……12分 考點(diǎn):(1)10.4.3互斥事件、對立事件的概率;(2)10.9.1

46、條件概率;(3)10.9.3獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布;(4)10.9.4離散型隨機(jī)變量的均值、方差. 難度:B 備注:高頻考點(diǎn)、易錯題 31.(2012高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)理科)某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價格出售, 如果當(dāng)天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理. (1)若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量 (單位:枝,)的函數(shù)解析式. (2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表: 日需求量 14 15 16 17 18 19 20 頻數(shù) 10 20 16 16 15 13

47、 10 以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率. (i)若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花,表示當(dāng)天的利潤(單位:元),求的分布列、 數(shù)學(xué)期望及方差. (ii)若花店計(jì)劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花,你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝? 請說明理由. 【答案】(1)  ?。ǎ玻?yīng)購進(jìn)17枝 解析:當(dāng)時, 當(dāng)時, 得: (2)(i)可取,, 的分布列為 (ii)購進(jìn)17枝時,當(dāng)天的利潤為    得:應(yīng)購進(jìn)17枝 考點(diǎn):(1)2.1.7求函數(shù)的解析式;(2)10.4.2隨機(jī)事件的頻率與概率(3)10.8.2離散型隨機(jī)變量的分布列的求法及應(yīng)用;(4)10.9.4離散型隨機(jī)變量的均值、方差. 難度:B 備注:高頻考點(diǎn)

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