第七講 機(jī)械振動(dòng) 【知識(shí)要點(diǎn)】 一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 1．物體（或物體的一部分）在某個(gè)位置附近沿著直線或圓弧做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，叫做機(jī)械振動(dòng)．該位置稱(chēng)為平衡位置． 2．產(chǎn)生振動(dòng)的條件：有回復(fù)力作用且所受阻力足夠小． ①回復(fù)力：物體離開(kāi)平衡位置時(shí)所受到的指向平衡位置的力成為回復(fù)力． 每當(dāng)振動(dòng)物體離開(kāi)平衡位置時(shí)，就會(huì)受到將物體拉回平衡位置回復(fù)力作用，回復(fù)力是以力的效果命名的力，它是由振動(dòng)物體所受的各種性質(zhì)的力沿著振動(dòng)方向的合力來(lái)充當(dāng)．平衡位置就是回復(fù)力為零的位置． 　?、谀Σ亮ψ銐蛐。话阍跊](méi)有特殊說(shuō)明的情況下，我們研究的振動(dòng)系統(tǒng)是理想的，即沒(méi)有摩擦的情況． 　　振動(dòng)的最主要特點(diǎn)是振動(dòng)的物體在平衡位置附近來(lái)回往復(fù)運(yùn)動(dòng)，即它的運(yùn)動(dòng)具有周期重復(fù)性． 3．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)定義 物體受到與位移反向、大小與位移大小成正比的回復(fù)力作用維持的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 受力特征　　　　?。剑　? 或動(dòng)力學(xué)特征　　＝－ 4．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 位移用時(shí)間的正弦（或余弦）函數(shù)表示的振動(dòng) 　　　　　　　　　?。? 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度、加速度分別為 　　　　　　　　　?。剑? 　　　　　　　　　　＝－ 5．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征量 　　為振幅：物體振動(dòng)的最大位移值 　　為振動(dòng)的角速度（角頻率） 　　為相位，為初相位 　?。?＝，為振動(dòng)頻率，為振動(dòng)周期，＝ 6．振動(dòng)圖象 　　－圖　　?。瓐D　　－圖 7．參考圓 　　任何一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，都可以看作是某一個(gè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的參考點(diǎn)在某一直徑上的投影，參考點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡就是參考圓，參考點(diǎn)在直徑上投影的點(diǎn)的軌跡即表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)． 　　簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)顯然不是勻速運(yùn)動(dòng)，也不是勻加速運(yùn)動(dòng)，討論起來(lái)不是那么方便．為此，我們引入一個(gè)相關(guān)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．以平衡位置為中心而以振幅為半徑作圓，這圓就稱(chēng)為參考圓．設(shè)想有另一質(zhì)點(diǎn)在參考圓上以角速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它在開(kāi)始時(shí)與的連線跟軸夾角為．那么，在時(shí)刻，參考圓上的質(zhì)點(diǎn)與的連線跟軸夾角就成為＋，它在軸上的投影點(diǎn)的坐標(biāo)為 　　　?。健　。ǎ剑? 這正是簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程． 參考圓上的質(zhì)點(diǎn)的線速度＝，其方向與參考圓相切．這個(gè)線速度在軸上的投影是　 　　＝－ 這也就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度． 　　參考圓上的質(zhì)點(diǎn)的加速度是向 心加速度，它在軸上的投影是　 　　　?。剑? 這也就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度． 8．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期 　　利用參考圓得到的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的加速度＝－，又已知＝－，對(duì)比兩式有 ＝．因?yàn)椋剑杂校?，這就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期公式． 式中為回復(fù)力與位移的比值，為振子的質(zhì)量． 　　單擺的振動(dòng)周期 　?。健　閿[長(zhǎng)，為重力加速度． 9．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量 以彈簧振子為例，動(dòng)能、勢(shì)能分別為 　　　　?。剑? 　　　　?。剑? 因?yàn)椋剑杂? 　　　　?。? 機(jī)械能為 　　　　?。剑剑? 　　機(jī)械能守恒，動(dòng)能和勢(shì)能不停地相互轉(zhuǎn)化． 二、 阻尼振動(dòng)　受迫振動(dòng)和共振 1．阻尼振動(dòng) 振幅逐漸減小的振動(dòng)稱(chēng)為阻尼振動(dòng)，阻尼振動(dòng)不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)． 2．受迫振動(dòng)和共振 在周期性驅(qū)動(dòng)外力作用下的振動(dòng)．例如，揚(yáng)聲器的發(fā)音、機(jī)器及電機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)引起的振動(dòng)．由于外力對(duì)物體做功，使振動(dòng)系統(tǒng)在振動(dòng)中損失的能量得到補(bǔ)充．當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的頻率（周期）跟振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)頻率（周期）相等時(shí)，受迫振動(dòng)的振幅最大，這種現(xiàn)象叫共振．驅(qū)動(dòng)力的頻率與物體的固有頻率相差越大，振幅越小． 【典型例題】 例１．如圖所示，一個(gè)小彈丸水平射入一個(gè)原來(lái)靜止的單擺并留在里面，結(jié)果單擺的振動(dòng)圖象如圖所示，已知擺球的質(zhì)量為小彈丸質(zhì)量的5倍，試求小彈丸射入擺球前的速度． 【分析與解】 由圖可知＝0.1 m　　　?。?s 由＝得　?。剑?m 由＝＝得　　　＝ 設(shè)彈丸射入擺球后的速度為，根據(jù)系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒 和機(jī)械能守恒得 　　　?。? ＝ 解得　?。?.94m/s 例2．一個(gè)勁度系數(shù)為的彈簧一端固定在墻上，另一端連接一個(gè)質(zhì)量為的小球放在一光滑的水平面上，如圖所示．一質(zhì)量與球相等的自由小球從點(diǎn)（＝）以速度向球運(yùn)動(dòng)，兩球發(fā)生完全彈性碰撞． （1）碰撞后，球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，求其周期和振幅的大小， 并說(shuō)明振動(dòng)能維持多長(zhǎng)時(shí)間． （2）求小球從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)碰撞后再回到點(diǎn)所 歷的時(shí)間． 【分析與解】 　　 (1)與碰撞后，球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其周期為＝ 　　由于兩球質(zhì)量相等而且發(fā)生彈性碰撞，所以碰后的速度應(yīng)為，則有＝ 得振動(dòng)振幅為＝ 與碰撞后，保持靜止，經(jīng)過(guò)半個(gè)周期后又與碰撞，再次與交換速度，之后靜止不動(dòng)，接著運(yùn)動(dòng)返回到點(diǎn)． 所以球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)能維持的時(shí)間為＝ (2) 小球從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)碰撞后再回到點(diǎn)經(jīng)歷時(shí)間為＝＋ 例3．一架擺鐘在使用時(shí)發(fā)現(xiàn)，擺長(zhǎng)為時(shí)，在某段時(shí)間內(nèi)快秒；擺長(zhǎng)為時(shí)，在同樣時(shí)間內(nèi)慢秒．試分析計(jì)算擺長(zhǎng)應(yīng)為多大時(shí)，擺鐘才能走時(shí)準(zhǔn)確？ 【分析與解】 設(shè)擺鐘的擺錘擺動(dòng)一個(gè)周期時(shí)間為，標(biāo)準(zhǔn)擺鐘的周期為，某一段標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，則鐘面顯示時(shí)間為＝ ①若＝，則＝（走時(shí)準(zhǔn)確） ②若＜，則＞（走時(shí)偏快） ③若＞，則＜（走時(shí)偏慢） 擺長(zhǎng)為時(shí)，擺鐘的周期為，則顯示時(shí)間＝＋＝，得 ＝－ 擺長(zhǎng)為時(shí)，擺鐘的周期為，則顯示時(shí)間＝－＝，得 ＝－ 由于＝，＝，所以有 ＝＝＝ 整理解得　?。健　? 　　?。ó?dāng)＝時(shí)，＝） 例4．如圖所示，水平桌面上的木質(zhì)框架質(zhì)量為，懸掛在框架上的輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)為，小球質(zhì)量為．讓小球上下振動(dòng)起來(lái)．試分析計(jì)算：小球的振幅多大時(shí)，木質(zhì)框架才不會(huì)離開(kāi)桌面？ 【分析與解】 框架的重力為，小球在上下振動(dòng)，只有小球在最高位置且 彈簧被壓縮時(shí)，當(dāng)框架受到豎直向上的彈力等于，框架對(duì)桌面 的壓力恰好為零． 根據(jù)胡克定律知，彈簧此時(shí)的壓縮量為＝ 小球處于平衡位置時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量為＝ 可見(jiàn)，小球的振幅只要不大于＝＋＝，框架就不會(huì)離開(kāi)桌面． 本題也可以這樣分析求解： 小球上下做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，所受回復(fù)力由彈簧彈力和重力的合力提供，且大小滿(mǎn)足＝，當(dāng)小球離開(kāi)平衡位置最遠(yuǎn)即位移大小為振幅時(shí)，所受回復(fù)力最大．小球在平衡位置下方時(shí)，加速度豎直向上，小球處于超重狀態(tài)，彈簧被拉長(zhǎng)．只有小球在平衡位置上方時(shí)才有可能彈簧被壓縮，所以小球在最高點(diǎn)時(shí)，木質(zhì)框架才有可能離開(kāi)桌面，故要想框架不離開(kāi)桌面則必須滿(mǎn)足條件＝≤＋，即有 ≤ 例5．勁度系數(shù)＝600N/m的輕質(zhì)彈簧下端與質(zhì)量＝2kg的物塊相連，物塊與質(zhì)量＝1k的鐵球用細(xì)線相連（如圖所示），?。?0m/s2． 　　(1)若系統(tǒng)以振幅＝0.02m上下振動(dòng)，求振動(dòng)過(guò)程中細(xì)線上張力如何變化？ (2)要使物塊與鐵球在振動(dòng)過(guò)程中始終保持相對(duì)靜止，該系統(tǒng)振幅的最大值多大？ 【分析與解】 (1)設(shè)彈簧被拉長(zhǎng)時(shí)振動(dòng)系統(tǒng)處在平衡位置，即有 ＝ 由此可得　　?。剑?.05m 考察系統(tǒng)從最低點(diǎn)向上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中細(xì)線的張力如何變化． 當(dāng)系統(tǒng)相對(duì)平衡位置向下的位移為時(shí)，系統(tǒng)向上的加速度為 ＝＝4m/s2 這時(shí)細(xì)線中張力為＝＝14N 當(dāng)系統(tǒng)向上通過(guò)平衡位置時(shí)，加速度為零，這時(shí)細(xì)線中張力為 ＝＝10N 當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到最高點(diǎn)，即向上的位移為時(shí)，加速度向下，大小 ＝ 這時(shí)細(xì)線中張力為＝＝6N 根據(jù)上述分析與計(jì)算可知：對(duì)小球而言，它沿豎直方向上下做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的恢復(fù)力與位移大小關(guān)系是 ＝，且回復(fù)系數(shù)為＝600N/m． 另外對(duì)小球來(lái)說(shuō)，它做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是細(xì)線對(duì)它的拉力與重力的合力，取豎直向上為正方向，則 ＝－＝　　 由此可得　　　?。剑? （式中是鐵球相對(duì)于平衡位置的位移，小球在平衡位置下方時(shí)，為負(fù)值；小球在平衡位置上方時(shí)，為正值） (2)若要鐵球與物塊在振動(dòng)過(guò)程中能始終保持相對(duì)靜止（即細(xì)線始終能保持伸直狀態(tài)），則系統(tǒng)在振動(dòng)過(guò)程中的加速度值不能大于＝10m/s2．在最低位置時(shí)，彈簧的彈力最大， ＝＝60N 彈簧的最大拉長(zhǎng)量　　　＝＝0.1m 可知振幅的最大值為　?。剑?.05m 例6．如圖所示，質(zhì)量相等的物塊和粘貼在一起與勁度系數(shù)為的彈簧組成的彈性振子，在光滑的水平臺(tái)面上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)總能量為，周期為．若物塊、在從左向右通過(guò)平衡位置時(shí)突然分離．試求與分離后，跟彈簧組成的振動(dòng)系統(tǒng)總能量、周期多大？ 【分析與解】 物塊、在從左向右通過(guò)平衡位置時(shí)，系統(tǒng)的能量 全部轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，、質(zhì)量相等，分離時(shí)速度最大且相等， 所以與分離后振動(dòng)系統(tǒng)的能量＝．（以最大速 度向右做勻速運(yùn)動(dòng)） 　　設(shè)、的質(zhì)量均為．、粘貼在一起時(shí)，振動(dòng)周期 ＝ 與分離后，振子的周期為＝ 可見(jiàn)　?。剑?.71 、分離前　＝，即　＝ 　　、分離后　＝，即?。剑? 　　由此可知，＝＝0.71 例7．在兩個(gè)向相反方向轉(zhuǎn)動(dòng)的小軸上，水平地放一塊勻質(zhì)木板，木板質(zhì)量為，兩軸心相距（如圖所示）．木板與軸之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，如果使木板的重心偏離兩軸的中心位置，試分析木板的運(yùn)動(dòng)情況． 【分析與解】 設(shè)木板質(zhì)量為，由于木板在豎直方向無(wú)運(yùn)動(dòng)，所以有 ＋＝　　 因?yàn)槟景逶谒椒较驘o(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)，故所受合力矩為零．當(dāng)木板 重心從兩輪中間左移時(shí)，對(duì)點(diǎn)應(yīng)該有 　　　　 ＝ 解得　?。健　　。? 木板所受合力為 　　　 ＝－＝＝ 　　 （方向與位移方向相反） 可見(jiàn)木板沿水平方向做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．＝＝　　 由＝得　?。? 故運(yùn)動(dòng)周期為?。剑? 例8．如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為的槽放在光滑水平地面上，一個(gè)質(zhì)量為的單擺的擺球放在槽內(nèi)帶動(dòng)槽在水平面內(nèi)振動(dòng)（如圖所示，擺球在最低點(diǎn)也不和槽底接觸）．求這個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)周期． 【分析與解】 沒(méi)有槽時(shí)，將單擺拉至最大角后釋放，當(dāng)擺至偏角時(shí)的 角速度為，則有 　　 ＝ 有槽時(shí)，同樣的過(guò)程有 ＝ 解得　?。? 可以看出，在任何角度時(shí)上式都成立，所以有＝＝ 所以這個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)周期為　?。? 例9．如圖所示，由勁度系數(shù)為的彈簧和質(zhì)量為的振子組成的振動(dòng)系統(tǒng)，其振幅為，一塊質(zhì)量為的黏土由靜止?fàn)顟B(tài)黏到振子上，試問(wèn)在以下兩種情況下，振動(dòng)周期和振幅的變化： (1)當(dāng)振子通過(guò)其平衡位置時(shí)與黏土相黏； (2) 當(dāng)振子在最大位移處時(shí)與黏土相黏． 【分析與解】 不加黏土?xí)r，原振動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期為 ＝ 加上黏土后，振子質(zhì)量增為，新振動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期在上述兩種情況下均變?yōu)? ＝ 新振動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅由加上黏土?xí)r的初始條件決定． 在情況(1)中，原振子通過(guò)平衡位置具有最大速度，其數(shù)值為　　 　　　　　?。剑健　∈街袨樵駝?dòng)系統(tǒng)的振幅． 若此時(shí)加上黏土，由動(dòng)量守恒知，新振子的速度變?yōu)? ＝＝ 新振動(dòng)系統(tǒng)的平衡位置不因加上黏土而改變，故就是新振動(dòng)系統(tǒng)的最大速度，它與新振動(dòng)系統(tǒng)的振幅之間應(yīng)滿(mǎn)足?。? 所以?。剑剑梢?jiàn)振幅小于原振幅． 在情況(2)中，原振子在最大位移處的速度為零，與平衡位置的距離即為原振幅，此時(shí)加上黏土后，新振子的速度仍為零，即仍位于最大位移處，與平衡位置的距離仍為，即振幅仍為． 例10．如圖所示裝置中定滑輪質(zhì)量都不計(jì)，兩物體大小不計(jì)，質(zhì)量分別為、．下端通過(guò)勁度系數(shù)為的輕質(zhì)彈簧與地面相連，讓偏離平衡位置一小段距離后放手，求系統(tǒng)的振動(dòng)周期． 【分析與解】 系統(tǒng)平衡時(shí)彈簧伸長(zhǎng)， 對(duì)：　　?。? 對(duì)；　　?。? 則有　　　　?。剑? 設(shè)系統(tǒng)由平衡位置又伸長(zhǎng)了．分別對(duì)、分別應(yīng)用牛頓第二定律 　　對(duì)：　　?。? 對(duì)；　　?。? 消去得　　　　＋－＝ 整理得　　?。? 所以　　　　＝＝ 說(shuō)明對(duì)彈簧來(lái)講，系統(tǒng)的等效質(zhì)量為＝，所以系統(tǒng)的振動(dòng)周期為 ＝＝ 例11．如圖所示的系統(tǒng)中，動(dòng)滑輪、細(xì)繩及兩彈簧的質(zhì)量均可忽略，其余各量在圖中標(biāo)出，試求懸掛物體上、下振動(dòng)的周期． 【分析與解】 當(dāng)懸掛物向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩彈簧的伸長(zhǎng)量分別設(shè)為和，則懸掛物下移距離為 ＝ 兩根彈簧的彈力大小相等，設(shè)為，則有 　　　?。剑? 因此有　?。剑剑健〖? 　　　　?。健　　⊥砜傻谩。健　　? 　　懸掛物所受向上的合力為　?。剑剑? 此彈簧組可以用等效勁度系數(shù)為＝的一根彈簧代替．故所求懸掛物體上、下振動(dòng)的周期為 　　　　?。剑? 例12．如圖所示，質(zhì)量為的小球可看成質(zhì)點(diǎn)，與勁度系數(shù)分別為和、原長(zhǎng)分別為和的兩個(gè)輕彈簧相連，兩彈簧的另一端固定于相距為的兩支柱、上，整個(gè)裝置水平放置，忽略一切摩擦力．試求： (1)小球的平衡位置 　　(2)小球的振動(dòng)周期 【分析與解】 (1)設(shè)平衡時(shí)小球與端的距離為．平衡時(shí)兩彈簧可能處于拉伸狀態(tài)，也可能處于壓縮狀態(tài)，著由兩彈簧的原長(zhǎng)和、之間的距離決定． 我們假定彈簧處于拉伸狀態(tài)，左側(cè)彈簧的伸長(zhǎng)量為，右側(cè)彈簧的伸長(zhǎng)量為－－，則當(dāng)小球平衡時(shí)，左右兩彈簧拉力應(yīng)平衡，即有 ＝ 解得?。剑? 可見(jiàn)，當(dāng)＞＋時(shí)，＞，平衡時(shí)兩彈簧處于拉伸狀態(tài)；當(dāng)當(dāng)＜＋時(shí)，＜，平衡時(shí)兩彈簧處于壓縮狀態(tài)． (2)如圖，取小球的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)小球位于 任意位置時(shí)，受到向左的拉力為，受到向 右的拉力為，故小球所受的合力為 ＝－ ＝－[－] 由于＝，所以有　?。? 可見(jiàn)合力為線性回復(fù)力，等效勁度系數(shù)為＝＋，因此小球的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)周期為 　　?。? 9