第三章 三角恒等變換----3.1兩角和與差的三角函數(shù) 3.1.1兩角和與差的余弦 學(xué)習(xí)目標(biāo):1.經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過程，體驗(yàn)和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，體會向量和三角函數(shù)間的聯(lián)系； 2.用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化歸思想在三角變換中的作用； 3.能用余弦的和差角公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值及恒等式證明. 學(xué)習(xí)重點(diǎn):余弦的差角公式的推導(dǎo). 學(xué)習(xí)難點(diǎn):余弦的差角公式的推導(dǎo). 自主學(xué)習(xí)： 1.已知,,則 (1)利用可得到什么? (2)利用可得到什么? 〖思考〗由(1)(2)得到的式子有何關(guān)系? 2.能否用的三角函數(shù)與的三角函數(shù)來表示?如何表示? 在直角坐標(biāo)系中,以軸為始邊分別作角,其終邊分別與單位圓交于,,則 , 設(shè)向量 ; , 則 = ; = . 學(xué)習(xí)探究： 1.兩角差的余弦公式 〖思考〗在直角坐標(biāo)系中,單位圓與軸交于,以為 始邊分別作出角,其終邊分別和單位圓交于 ,由,你能否導(dǎo)出兩角差的余弦公式? 2.兩角和的余弦公式 〖思考〗”用代替”的換元方法體現(xiàn)在圖形上具有什么幾何意義?你能直接利用向量的數(shù)量積推出兩角和的余弦公式嗎? 說明:(1)兩角和(差)的余弦公式體現(xiàn)的是角與角之間的關(guān)系; (2)公式中的角具有任意性; 1.利用兩角和(差)的余弦公式證明下列誘導(dǎo)公式: (1) (2) 課堂練習(xí)： 1.利用兩角和(差)的余弦公式,求. 2.已知,求的值. 自主練習(xí) 1. 已知 2. 3. 自我總結(jié)： 3.1.2兩角和與差的正弦(一) 學(xué)習(xí)目標(biāo):1.能用余弦的和差角公式推導(dǎo)出正弦的和差角公式,并從推導(dǎo)的過程中體會到化歸思想的作用; 2.能用正弦的和差角公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)式的求值. 學(xué)習(xí)過程: 自主學(xué)習(xí) 1.兩角和(差)的余弦公式 2.(1)化簡:= ; (2)化簡:= ; (3)求值:= ; (4)求值:= . 3.對于上題(4)中的求值,能否不將其轉(zhuǎn)化成兩角和的余弦公式來計(jì)算?有沒有兩角和(差)的正弦公式? 4.兩角和正弦公式的推導(dǎo): 學(xué)習(xí)探究： 1.已知,求的值. 2.已知均為銳角,求的值. 3.求函數(shù)的最大值. 練習(xí): 1.函數(shù)的最小值為 ;此時的集合為 ; 2.函數(shù)的周期為 ;最大值為 ;單調(diào)減區(qū)間為 ; 3.函數(shù)的最大值為 ;最小值 ; 4.函數(shù)(均為正數(shù))的最小值為 . 5.化簡 選作 .已知 ，求 的值． 自我總結(jié) 3.1.2兩角和與差的正弦(二) 學(xué)習(xí)目標(biāo):1.能用正弦的和差角公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)式的化簡,求值,及恒等式證明; 2.進(jìn)一步體會轉(zhuǎn)化與變換的數(shù)學(xué)思想. 學(xué)習(xí)過程: 自主學(xué)習(xí)： 1.兩角和(差)的余弦公式 2.兩角和(差)的正弦公式 學(xué)習(xí)探究 1.求證: 2.求值: 3.已知求的值 4.已知都為銳角,,,求和的值 5.已知,求的值 兩角和與差的正切（1） 學(xué)習(xí)目標(biāo)：會由正余弦的和差角公式推導(dǎo)出正切的和差角公式，并從推導(dǎo)的過程中體會到化歸思想的作用。 能用正切的和差角公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值及恒等式證明。 學(xué)習(xí)過程： 自主學(xué)習(xí)： 回顧課本95頁例2中求tan15o的過程，我們先分別求出sin15o和cos15o，再由同角三角函數(shù)的關(guān)系求出tan15o。問：能否由tan45o和tan30o直接求出tan15o？ 1 回答上述問題 2 利用S(α+β)和C(α+β)，推導(dǎo)兩角和與差的正切公式tan(α+β)和tan(α-β)。 tan(α+β)= ，（T(α+β)）； tan(α-β)= ，（T(α-β)）。 兩角和與差的正切公式在結(jié)構(gòu)上有什么特點(diǎn)？ 學(xué)習(xí)探究： 例1 已知tanα,tanβ是方程x2+5x-6=0的兩根，求tan(α+β)的值。 例2 求證： 例3 如圖：三個相同的正方形相接，求證：α+β=。 例4 在斜三角形ABC中，求證：tanA + tanB + tanC= tanA tanB tanC 思考：一般的，當(dāng)角A，B，C滿足什么條件時，能使等式tanA + tanB + tanC= tanA tanB tanC 成立？ 五 練習(xí) 1．已知 ， ，則 的值是（ ） 　　A． 　　B． 　　C． 　　D． 2. 練習(xí)：求證 3.已知 求 的值． 4已知 求 的值． 如圖，兩座建筑物AB，CD的高度分別是9m和15m，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的張角∠CAD=45o，求建筑物AB和CD的底部之間的距離BD。 二倍角的三角函數(shù)（1） 學(xué)習(xí)目標(biāo)：能從和角公式推導(dǎo)出倍角公式，理解化歸思想在公式推導(dǎo)中的作用。 學(xué)習(xí)過程： 自主學(xué)習(xí)： 1 函數(shù)y=sinx與y=sin2x圖象之間的位置關(guān)系。 2 角α的三角函數(shù)與角2α的三角函數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？ 二 學(xué)生活動： 由S(α+β)，C(α+β)，T(α+β)公式中，令β=α可以得到的結(jié)果： sin2α= ;cos2α= ;tan2α= 三 數(shù)學(xué)建構(gòu)： 倍角公式： sin2α= （S2α）； cos2α= = = （C2α）； tan2α= （T2α）。 學(xué)習(xí)探究： 例1 已知sinα=，α∈，求sin2α，cos2α，tan2α的值。 例2 求證： 例3 化簡 cos20ocos40ocos60ocos80o; 練習(xí)： 1. ________. 2. ________. 3. ________. 4. =________. 5. =_________ 6. =________. 7. =________. 8. =________. 9. 1－2sin2735°=________. 10. =________. 11. =________. 12. =________. 二、 計(jì)算： 1. 已知sinα=，且，求sin2α、cos2α、tan2α 2. 已知cosα=，且,求sin2α、cos2α、tan2α 已知tanα=-2，求tan2α,cot2α 4已知求的值． 二倍角的三角函數(shù)（2） 學(xué)習(xí)目標(biāo)：靈活運(yùn)用二倍角公式進(jìn)行三角恒等變換。 學(xué)習(xí)過程： 一 回顧： 二倍角公式 學(xué)習(xí)探究 例1 化簡 例2 求證： 例3 在半圓形鋼板上截取一塊矩形材料，怎樣截取能使這個矩形的面積最大？ 自主練習(xí)： 1、已知，，則 A、 B、 C、 D、 2、若，則= A、3 B、 C、–3 D、– 3、已知，化簡： A、 B、 C、- D、- 4、不用計(jì)算器求值： 。 5、化簡： 幾個三角恒等式 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1.通過和差化積公式和積化和差公式的推導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)探索和發(fā)現(xiàn)過程，激發(fā)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的欲望和信心 2．提高三角變換的能 3．了解積化和差、和差化積公式，以及萬能公式、半角公式 自主學(xué)習(xí) 問題1：在引入對數(shù)概念以后，我們還研究了它的運(yùn)算，并得到了一些重要的結(jié)論，如 ＋ = 同樣，在定義了三角函數(shù)以后，我們也應(yīng)該考慮它的運(yùn)算，如 你能探索出來么？ 思考并解決上述問題 注意證明過程中的代換與轉(zhuǎn)化思想 問題2：你還能發(fā)現(xiàn)其他類似的恒等式么 ？ 這組公式我們稱為和差化積公式 問題3：你能證明它們么？（可以選擇其中的2個證明） 問題4：前面我們探索并證明了和差化積公式，那么由它們你能發(fā)現(xiàn)并證明另外一組與之相對應(yīng)的公式么？如還有其他的么？（可以選擇其中的2個證明） 和差化積公式：（1） （2） （3） （4） 積化和差公式：（1） （2） （3） （4） 學(xué)習(xí)探究 例1．（1）化簡 例2．已知函數(shù)y=，x∈R （1） 求函數(shù)的最小正周期 （2） 求函數(shù)的最大值 例3.探求 例4．如圖，在半徑為R、圓心角為的扇形AB弧上任取一點(diǎn)P，作扇形的內(nèi)接矩形PNMQ，使點(diǎn)Q在OA上，點(diǎn)M，N在OB上，求這個矩形面積的最大值及相應(yīng)的∠AOP的值. 課堂練習(xí)： 1. 2.已知，且， 求 3.證明： 4.在△ABC中， 求證： 已知，求C的度數(shù)。 5.求值： 自我總結(jié) 第三章 《三角恒等變換》綜合練習(xí) 班級　　 　　姓名　　 　　　學(xué)號　　　 　得分　 　　 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．已知sin=,cos=,則角θ所在的的象限是 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知tan(α+β)=,tan(β-)=，則tan(α+)等于 　　　　　 ?。ā　。? A．　 B．　 　 C．　　 D． 3．已知sinα=,則cos4α的值是 （ ） A． B． C． D． 4．已知sin(α-β)=,sin(α+β)=，且α-β∈(,π), α+β∈(,2π),則cos2β的值是 （　?。? A．　 B．　 　 C．1　　 D．-1 5．△ABC三內(nèi)角滿足2cosBsinA=sinC，則△ABC的形狀為 （ ） A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 6．的值是 （ ） A．1 B．2 C．4 D． 7．函數(shù)y=sinx+cosx(0≤x≤)的值域是 ( ) A．[] B．[] C．[] D．[] 8． 的值是 （ ） A．2 B．-2 C． D．- 9． sin150sin300sin750的值等于 （ ） A． B． C． D． 10．tan700+tan500-tan700tan500的等于 （ ） A． B． C．- D．- 11．函數(shù)y=sin2(ωx)-cos2(ωx)的周期T=4π，那么常數(shù)ω等于 （ ） A． B．2 C． D．4 12．函數(shù)y=cos()-sin()的單調(diào)遞增區(qū)間是 （ ） A．[4kπ-, 4kπ-] (k∈Z) B．[4kπ-, 4kπ+] (k∈Z) C．[2kπ-, 2kπ+] (k∈Z) D．[2kπ, 2kπ+π] (k∈Z) 二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中的橫線上) 13．已知sin120=a,則sin660= . 14．已知，cos(α-β)=,sin(α+β)= ,那么sin2α= . 15．化簡：cos(-α)cos(+α)= . 16．設(shè)f(x)=2cos2x+sin2x+a(a∈R),當(dāng)x∈[0, ]時, f(x)的最大值是4，則a= . 三、解答題(本大題共6小題，17-21題每小題12分，22題14分，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．已知tanθ=2,求的值. 18．求y=sinxcosx-cos2x的最大值. 19．已知sin(2α+β)=3sinβ，求的值. 20．已知sin(-θ)= -,<θ<，求cos2θ的值。 21．若A、B、C是△ABC的內(nèi)角，cosB＝, sinC＝,求cosA的值. 22．已知向量=(cosα,sinα), =(-sin(α+),cos(α+)),其中O為原點(diǎn)，實(shí)數(shù)λ滿足|λ-|≥||，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍. 數(shù)學(xué)必修（4）綜合練習(xí) 班級　　 　　姓名　　 　　　學(xué)號　　　 　得分　 　　 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．若sinθ·tanθ>0,則θ所在的的象限是 ( ) A．二、四 B．一、二 C．一、四 D．二、三 2．如果cosα=有意義，那么m的取值范圍是 　　　　　 ?。ā　。? A．m<4　 B．m=4　 　 C．m>4　　 D．m≠4 3．函數(shù)y=2-sin2x是 （ ） A．周期為π的奇函數(shù) B．周期為π的偶函數(shù) C．周期為2π的奇函數(shù) D．周期為2π的偶函數(shù) 4．函數(shù)y=3sinx +2cosx的最小值是 （　　） A．0　 B．-3　 　 C．-5　　 D．- 5．設(shè)k∈Z，函數(shù)y=sin(+)sin(-)的單調(diào)遞增區(qū)間為 （ ） A．[(2k+1)π,2(k+1)π] B．[(k+)π,(k+1)π] C．[kπ,(k+) π] D．[2kπ, (2k+1)π] 6．已知tanα,tanβ是方程x2+3x+4=0的兩根,且<α<,<β<,則α+β等于 （ ） A． B． C．或 D．-或 7．要得到函數(shù)y=sin（2x-)的圖象，只需將函數(shù)y=sin2x的圖象 ( ) A．向右平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向左平移 8．已知|a|=,|b|=1, a·b=-9,則a與b的夾角是 （ ） A．300 B．600 C．1200 D．1500 9． 設(shè)a,b是兩個非零向量，則下列說法中正確的是 （ ） A B O D C A．a(chǎn)⊥b與 a·b=0 是一致的 B．a(chǎn)·b=|a|·|b| C．|a|>|b|與 a>b=0 是一致的 D．a(chǎn)·b= -|a|·|b| 10．如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，則等于( ) A． B．- C． D． 11．設(shè)i=(1,0),j=(0,1),a=2i+3j,b=ki-4j,若a⊥b，則實(shí)數(shù)k的值為 （ ） A．-6 B．-3 C．3 D．6 12.已知△ABC的頂點(diǎn)A(2,3)和重心G的坐標(biāo)為(2,-1),則BC 邊上的中點(diǎn)坐標(biāo)為 （ ） A．(2,-9) B．(2,-5) C．(2,-3) D．(2,0) 二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中的橫線上) 13．函數(shù)y=的定義域?yàn)? . 14．已知sinα=,2π<α<3π,那么sin+cos= . 15．已知|a|=3,|b|=5, 且向量a在向量b方向上的投影為，則a·b= . 16．將函數(shù)y=cosx的圖象按向量b=(2kπ+,1)( k∈Z)平移, 得到函數(shù) 的圖象. 三、解答題(本大題共6小題，17-21題每小題12分，22題14分，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．證明： . 18．已知cos(α-)=,sin()=,且α∈(,π),β∈(0,),求cos的值. 19．已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+C(A>0, C >0,| φ|<)在同一周期中最高點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2)，最底點(diǎn)的坐標(biāo)為(8,-4). （1）求A，C，ω，φ的值； （2）作出函數(shù)的一個周期的簡圖，并由圖象指出這個函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間. 20．設(shè)e1,e2是兩個不共線的非零向量. （1）若= e1+e2，=2 e1+8e2，=3(e1-e2)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線； （2）試求實(shí)數(shù)k的值，使向量ke1+e2和e1+ke2共線. 21．在△ABC中，設(shè)=a, =b, =c. （1）若△ABC為正三角形，求證：a·b=b·c=c·a； （2）若a·b=b·c=c·a成立，△ABC是否為正三角形？ 22．設(shè)函數(shù)f(x)=a·b,其中a=(2cosx,1), b=(cosx,sin2x), x∈R. （1）若f(x)=1-,且x∈[,],求x； （2）若函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量c=(m,n)(|m|<)平移后得到函數(shù)y= f(x)的圖象,求實(shí)數(shù)m、n的值. 第三章 《三角恒等變換》綜合練習(xí) 一、CCBDA；CBBCD；CA 二、13．1-2a2; 14．; 15．cos2α; 16．1 三、17． 18．y=sin(2x-)-，ymax= 19．2α+β=(α+β)+ α, β=(α+β)- α，答案為2 20．sinθ=sin[-(-θ)]=，故cos2θ= 21．cosA = .(提示：若cos C＝,則sinA<0) 22．∵λ-=(λcosα+ sin(α+),λsinα- cos(α+)) ∴|λ-|= = ==. 由已知得：||=1，又∵|λ-|≥||，∴λ2+λ-2≥0，∴λ≥1或λ≤ -2. 數(shù)學(xué)必修（4）綜合練習(xí) 一、CBBDA；ABDAB；DC 二、13．x∈R且x≠, x≠(k∈Z); 14．; 15．12; 16．y=sinx+1. 三、17．提示：切化弦. 18．.提示：=(α-)-(). A B O D C a b c 19．（1）A=3，C=-1，ω=，φ=；（2）圖略.增區(qū)間[12k-4,12k+2] (k∈Z) 20．(1)提示：=+=5(e1+e2);(2)k=±1. 21．(1)提示：a、b、c模相等，兩兩夾角均為1200； (2)若a·b=b·c=c·a，則由a·b=b·cb(a-c)=0 ∴b⊥(a-c),又a-c=+，以BA、BC為鄰邊作 平行四邊形ABCD，則+=，因而b⊥. ∴四邊形ABCD為菱形。即||=||，同理可證 ||=||，從而證得△ABC為正三角形. 22．(1) f(x)=a·b=1+2sin(2x+),由1+2sin(2x+)=1-,得sin(2x+)=-， ∵x∈[,]，∴≤2x+≤.∴2x+=，即x=. (2)函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量c=(m,n) 平移后得到函數(shù)y=2sin2(x-m)+n的圖象,即函數(shù)y= f(x)的圖象.由(1)得f(x)= 2sin2(x+)+ 1, ∵|m|<,∴m= -,n=1. 31