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高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計案例 23 直線方程的幾種形式

上傳人:一*** 文檔編號:75115228 上傳時間:2022-04-15 格式:DOC 頁數(shù):6 大?。?2.50KB
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1、23 直線方程的幾種形式 教材分析 這節(jié)內(nèi)容介紹了直線方程的幾種主要形式:點斜式、兩點式和一般式,并簡單介紹了斜截式和截距式.直線方程的點斜式是其他直線方程形式的基礎(chǔ),因此它是本節(jié)學(xué)習(xí)的重點.在推導(dǎo)直線方程的點斜式時,要使學(xué)生理解:(1)建立點斜式的主要依據(jù)是,經(jīng)過直線上一個定點與這條直線上任意一點的直線是唯一的,其斜率等于k.(2)在得出方程后,要把它變成方程y-y1=k(x-x1).因為前者表示的直線缺少一個點P1(x1,y1),而后者才是這條直線的方程.(3)當(dāng)直線的斜率不存在時,不能用點斜式求它的方程,這時的直線方程為x=x1.在學(xué)習(xí)了點斜式的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步介紹直線方程的其他幾種形

2、式:斜截式、兩點式、截距式和一般式,并探索它們的適用范圍和相互聯(lián)系與區(qū)別.通過研究直線方程的幾種形式,指出它們都是關(guān)于x,y的二元一次方程,然后從兩個方面進(jìn)一步研究直線和二元一次方程的關(guān)系,使學(xué)生明確一個重要事實:在平面直角坐標(biāo)系中,任何一條直線的方程,都可以寫成關(guān)于x,y的一次方程;反過來,任何一個關(guān)于x,y的一次方程都表示一條直線,為以后繼續(xù)學(xué)習(xí)“曲線和方程”打下基礎(chǔ).因為這部分內(nèi)容較為抽象,所以它是本節(jié)學(xué)習(xí)的難點. 教學(xué)目標(biāo) 1. 在“直線與方程”和直線的斜率基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生探索由一個點和斜率推導(dǎo)出直線方程,初步體會直線方程建立的方法. 2. 理解和掌握直線方程的點斜式,并在此基礎(chǔ)

3、上研究直線方程的其他幾種形式,掌握它們之間的聯(lián)系與區(qū)別,并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程. 3. 理解直線和二元一次方程的關(guān)系,并能用直線方程解決和研究有關(guān)問題. 4. 通過直線方程幾種形式的學(xué)習(xí),初步體會知識發(fā)生、發(fā)展和運用的過程,培養(yǎng)學(xué)生多向思維的能力. 任務(wù)分析 這節(jié)內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了直線方程的概念與直線的斜率基礎(chǔ)上,具體地研究直線方程的幾種形式,而這幾種形式的關(guān)鍵是推導(dǎo)點斜式方程.因此,在推導(dǎo)點斜式方程時,要使學(xué)生理解:已知直線的斜率和直線上的一個點,這條直線就確定了,進(jìn)而直線方程也就確定了.求直線方程就是把直線上任一點用斜率和直線上已知點來表示,這樣由兩點的斜率公式即可推出直線的點

4、斜式方程.在直線的點斜式方程基礎(chǔ)上,由學(xué)生推出直線方程的其他幾種形式,并使學(xué)生明確直線方程各種形式的使用范圍,以及它們之間的聯(lián)系與區(qū)別.對于直線和方程的一一對應(yīng)關(guān)系是本節(jié)課的難點,在論證直線和方程的關(guān)系時,一方面分斜率存在與斜率不存在兩類,另一方面又分B≠0與B=0兩類.這種“兩分法”的分類,科學(xué)嚴(yán)密,可培養(yǎng)學(xué)生全面系統(tǒng)和周密地討論問題的能力. 教學(xué)設(shè)計 一、問題情境 飛逝的流星形成了一條美麗的弧線,這條弧線可以看作滿足某種條件的點的集合.在平面直角坐標(biāo)系中,直線也可以看作滿足某種條件的點的集合.為研究直線問題,須要建立直線的方程.直線可由兩點唯一確定,也可由一個點和一個方向來確定.如果

5、已知直線上一個點的坐標(biāo)和斜率,那么如何建立這條直線的方程呢? 二、建立模型 1. 教師提出一個具體的問題若直線l經(jīng)過點A(-1,3),斜率為-2,點P在直線l上運動,那么點P的坐標(biāo)滿足什么條件? 設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),那么當(dāng)P在直線l上運動時(除點A外),點P與定點A確定的直線就是l,它的斜率恒為-2,所以=-2,即2x+y-1=0. 顯然,點A(-1,3)滿足此方程,因此,當(dāng)點P在直線l上運動時,其坐標(biāo)(x,y)滿足方程2x+y-1=0. 2. 教師明晰一般地,設(shè)直線l經(jīng)過點P1(x1,y1),且斜率為k,對于直線l上任意一點P(x,y)(不同于點P1),當(dāng)點P在直線l上運動時

6、,PP1的斜率始終為k,則,即y-y1=k(x-x1). 可以驗證:直線l上的每個點(包括點P1)的坐標(biāo)都是這個方程的解;反過來,以這個方程的解為坐標(biāo)的點都在直線l上,這個方程就是過點P1、斜率為k的方程,我們把這個方程叫作直線的點斜式方程. 當(dāng)直線l與x軸垂直時,斜率不存在,其方程不能用點斜式表示,但因為直線l上每一點的橫坐標(biāo)都等于x1,所以它的方程是x=x1. 思考:(1)方程與方程y-y1=k(x-x1)表示同一圖形嗎? (2)每一條直線都可用點斜式方程表示嗎? [例 題] 求滿足下列條件的直線方程. (1)直線l1:過點(2,5),k=-1. (2)直線l2:過點(0,

7、1),k=-. (3)直線l3:過點(2,1)和點(3,4). (4)直線l4:過點(2,3)平行于y軸. (5)直線l5:過點(2,3)平行于x軸. 參考答案:(1)x+y-7=0.(2)y=-x+1.(3)3x-y-5=0.(4)x=2.(5)y=3. [練 習(xí)] 求下列直線方程. (1)已知直線l的斜率為k,與y軸的交點P(0,b). (如果直線l的方程為y=kx+b,則稱b是直線l在y軸上的截距,這個方程叫直線的斜截式方程) (2)已知直線l經(jīng)過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2). (如果直線l的方程為y-y1=(x-x1),(x1≠x2),則這個方程叫直線

8、的兩點式方程) (3)已知直線l經(jīng)過兩點A(a,0),B(0,b),其中ab≠0. (如果直線l的方程為,(ab≠0),則a,b分別稱為直線l在x軸、y軸上的截距,這個方程叫直線的截距式方程) 進(jìn)一步思考討論:前面所學(xué)的直線方程的幾種形式都是關(guān)于x,y的二元一次方程,那么任何一條直線的方程是否為關(guān)于x,y的二元一次方程?反過來,關(guān)于x,y的二元一次方程都表示一條直線嗎? 通過學(xué)生討論后,師生共同明晰: 在平面直角坐標(biāo)系中,每一條直線的方程都是關(guān)于x,y的二元一次方程. 事實上,當(dāng)直線斜率存在時,它的方程可寫成y=kx+b,它可變形為kx-y+b=0,若設(shè)A=k,B=-1,C=b,它

9、的方程可化為Ax+By+C=0;當(dāng)直線斜率不存在時,它的方程可寫成x=x1,即x-x1=0,設(shè)A=1,B=0,C=-x1,它的方程可化為Ax+By+C=0.即任何一條直線的方程都可以表示為Ax+By+C=0;反過來,關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0,(A,B不全為0)的圖像是一條直線. 事實上,對于方程Ax+By+C=0,(A,B不全為0),當(dāng)B≠0時,方程可化為y=-x-,它表示斜率為-,在y軸上截距為-的直線;當(dāng)B=0時,A≠0,方程可化為x=-,它表示一條與y軸平行或重合的直線. 綜上可知:在平面直角坐標(biāo)系中,直線與關(guān)于x,y的二元一次方程是一一對應(yīng)的.我們把方程Ax+By

10、+C=0,(A,B不全為0)叫作直線的一般式方程. 三、解釋應(yīng)用 [例 題] 1. 已知直線l通過點(-2,5),且斜率為-. (1)求直線的一般式方程. (2)求直線在x軸、y軸上的截距. (3)試畫出直線l.解答過程由學(xué)生討論回答,教師適時點撥. 2. 求直線l:2x-3y+6=0的斜率及在x軸與y軸上的截距. 解:已知直線方程可化為y=x+2,所以直線l的斜率為,在y軸上的截距為2.在方程2x-3y+6=0中,令y=0,得x=-3,即直線在x軸上的截距為-3. [練 習(xí)] 1. 求滿足下列條件的直線方程,并畫出圖形. (1)過原點,斜率為-2. (2)過點(0,3

11、),(2,1). (3)過點(-2,1),平行于x軸. (4)斜率為-1,在y軸上的截距為5. (5)在x軸、y軸上的截距分別為3,-5. 2. 求過點(3,-4),且在兩條坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程. 3. 設(shè)直線l的方程為(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根據(jù)下列條件確定m的值. (1)直線l在x軸上的截距為-3. (2)直線l的斜率為1. (3)直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為10. 四、拓展延伸 1. 在直線方程y-1=k(x-1)中,k取所有實數(shù),可得到無數(shù)條直線,這無數(shù)條直線具有什么共同特點? 2. 在直線方程Ax+By+C=0中,當(dāng)

12、A,B,C分別滿足什么條件時,直線有如下性質(zhì): (1)過坐標(biāo)原點.    (2)與兩坐標(biāo)軸都相交. (3)只與x軸相交.    (4)只與y軸相交. (5)與x軸重合.     (6)與y軸重合. 3. 直線方程的一般式與幾種特殊形式有什么區(qū)別與聯(lián)系?你能說明它們的適用范圍以及相互轉(zhuǎn)化的條件嗎? 參考答案: 1. 直線過點(1,1),它不包括直線x=1. 2. (1)C=0.A,B不全為0;     (2)A,B都不為0. (3)A≠0,B=0,C≠0.       (4)A=0,B≠0,C≠0. (5)A=0,B≠0,C=0.       (6)A≠0,B=0,C=0.

13、3. 略. 點 評 這篇案例在直線與方程和直線的斜率基礎(chǔ)上,通過實例探索出過一點且斜率已知的直線的方程,然后按照由特殊到一般的方程建立了直線的點斜式方程,在點斜式方程的基礎(chǔ)上由學(xué)生自主的探究出直線方程的其他形式,并研究了幾種直線方程的聯(lián)系與區(qū)別以及它們的適用范圍.在案例的設(shè)計上注意了知識的發(fā)生、發(fā)展和適用的過程.在例題與練習(xí)的設(shè)計上,注意了層次性和知識的完整性的結(jié)合,在培養(yǎng)學(xué)生的能力上,注意了數(shù)學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維過程的教學(xué),體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、化歸、轉(zhuǎn)化、抽象、概括以及函數(shù)與方程的思想.在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識、探索研究、分析解決問題的能力等方面,做了一些嘗試,體現(xiàn)了新課程的教學(xué)理念,能夠較好地完成本節(jié)的教育教學(xué)任務(wù).

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