1.面積最值問(wèn)題面積最值問(wèn)題滿滿 分分 技技 法法背景背景作圖作圖求法求法有一條邊在坐標(biāo)軸上：以在坐標(biāo)有一條邊在坐標(biāo)軸上：以在坐標(biāo)軸上的邊為底邊，過(guò)頂點(diǎn)作垂線軸上的邊為底邊，過(guò)頂點(diǎn)作垂線 SABC AB|yC|沒(méi)有邊在坐標(biāo)軸上：過(guò)動(dòng)點(diǎn)作平?jīng)]有邊在坐標(biāo)軸上：過(guò)動(dòng)點(diǎn)作平行于坐標(biāo)軸的直線行于坐標(biāo)軸的直線 SPAC PP|xCxA|四邊形有兩邊在坐標(biāo)軸上：過(guò)動(dòng)四邊形有兩邊在坐標(biāo)軸上：過(guò)動(dòng)點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線 S四邊形四邊形COBPS梯形梯形EOBPSCEP12122.面積倍數(shù)關(guān)系：面積倍數(shù)關(guān)系：背景背景問(wèn)題問(wèn)題作圖作圖求法求法 如圖，平面直角坐如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線標(biāo)系中，拋物線l交交x軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)A、B，與，與y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)，點(diǎn)C在在x軸下方的圖象上軸下方的圖象上，AC交交y軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)M在拋物線在拋物線上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)P，使得，使得SACPSACB將將AC平移至直線平移至直線a和和b的的位置，位置， a、b交交y軸于軸于E、F，過(guò)，過(guò)M作作MGa于于G，MHb 于于H，由，由MGMH可知可知MEMF，于是，于是a、b與與l的交點(diǎn)均為點(diǎn)的交點(diǎn)均為點(diǎn)P求直線求直線AC的的解析式，再解析式，再求直線求直線a的解的解析式，由析式，由MEMF確定直確定直線線b的解析式，的解析式，再分別求直再分別求直線線a、b與與l的的交點(diǎn)坐標(biāo)交點(diǎn)坐標(biāo)P背景背景問(wèn)題問(wèn)題作圖作圖求法求法如圖，平面直角坐標(biāo)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線系中，拋物線l交交x軸軸于點(diǎn)于點(diǎn)A、B，與，與y軸交軸交于點(diǎn)于點(diǎn)D，點(diǎn)，點(diǎn)C在在x軸下軸下方的圖象上，方的圖象上，AC交交y軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)M在拋物線在拋物線上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)P，使得，使得SACPSBCP過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)C作作AB的平行線的平行線與與l的交點(diǎn)即為點(diǎn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)P；取取AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)E，直線，直線CE與與l的交點(diǎn)即為點(diǎn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)P由由AEBE可證可證AGEBHE，于是高于是高AGBH背景背景問(wèn)題問(wèn)題作圖作圖求法求法如圖，平面直角坐標(biāo)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線系中，拋物線l交交x軸軸于點(diǎn)于點(diǎn)A、B，與，與y軸交軸交于點(diǎn)于點(diǎn)D，點(diǎn)，點(diǎn)C在在x軸下軸下方的圖象上，方的圖象上，AC交交y軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)M在拋物線在拋物線上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)P，使得，使得SACPk(k為定為定值，值，k0)計(jì)算出計(jì)算出AC的長(zhǎng)度及的長(zhǎng)度及AC邊邊的高的高h(yuǎn)，將，將AC向上或向向上或向下平移得到與下平移得到與AC相距相距h個(gè)單位的直線，此直線個(gè)單位的直線，此直線與與l的交點(diǎn)即為點(diǎn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)P由由AC邊上的邊上的高高h(yuǎn)及及AOMMGE，可求，可求得得ME的長(zhǎng)，的長(zhǎng)，于是便可求于是便可求得平移后的得平移后的直線解析式直線解析式及與及與l的交點(diǎn)的交點(diǎn)坐標(biāo)坐標(biāo)背景背景問(wèn)題問(wèn)題作圖作圖求法求法如圖，平面直角坐標(biāo)系如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線中，拋物線l交交x軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)A、B，與，與y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)，點(diǎn)C在在x軸下方的圖象上，軸下方的圖象上，AC交交y軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)M在拋物線上求在拋物線上求一點(diǎn)一點(diǎn)P，使得，使得SACPkSABC(k為定值為定值且且k0)計(jì)算出計(jì)算出kSABC的值以的值以后，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為上后，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為上述問(wèn)題中的面積定值述問(wèn)題中的面積定值問(wèn)題問(wèn)題例例 2 如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線yx22x3與與x軸交于軸交于A、B兩點(diǎn)，與兩點(diǎn)，與y軸交于軸交于C點(diǎn)，且一次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)，且一次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C. (1)求一次函數(shù)的解析式；求一次函數(shù)的解析式；解：解：(1)已知拋物線解析式已知拋物線解析式y(tǒng)x22x3，令，令y0，即即x22x30，解得解得x13，x21，A(3，0)，B(1，0)，令，令x0，得，得y3，C(0，3)設(shè)一次函數(shù)解析式設(shè)一次函數(shù)解析式y(tǒng)kxb，代入，代入A、C點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)，解得解得k1，b3，yx3.(2)點(diǎn)點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，為拋物線的頂點(diǎn)，DE是拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)E在在x軸軸上，在拋物線上存在點(diǎn)上，在拋物線上存在點(diǎn)Q，使得，使得QAE的面積與的面積與CBE的面的面積相等，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)積相等，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；【思維教練思維教練】QAE與與CBE的底邊的底邊AEBE.要使兩三角形面積要使兩三角形面積相等，只要高相等，相等，只要高相等，CBE的底邊的底邊BE上的高為上的高為3，點(diǎn)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為的縱坐標(biāo)為3或或3時(shí)，滿足條件，分別代時(shí)，滿足條件，分別代入拋物線解析式求解即可入拋物線解析式求解即可解：解：Q點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，3)或或(0，3)或或(1 ，3)或或(1 ，3)【解法提示解法提示】如解圖，依題意，如解圖，依題意，AEBE，當(dāng)當(dāng)QAE的邊的邊AE上的高為上的高為3時(shí)，時(shí)，QAE的面積與的面積與CBE的面積相等的面積相等當(dāng)當(dāng)y3時(shí)，時(shí)，x22x33，解得，解得x12，x20，點(diǎn)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2，3)或或(0，3)當(dāng)當(dāng)y3時(shí)，時(shí)，x22x33，解得，解得x1 ，點(diǎn)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1 ，3)或或(1 ，3)綜上所述，點(diǎn)綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2，3)或或(0，3)或或(1 ，3)或或(1 ，3)7777777 (3)在在(2)的條件下，連接的條件下，連接AD，CD，求四邊形，求四邊形AOCD和和ACD的的面積；面積；【思維教練思維教練】要求四邊形要求四邊形AOCD和和ACD的面積，由于四邊形的面積，由于四邊形AOCD是不規(guī)則圖形，則可利用是不規(guī)則圖形，則可利用S四邊形四邊形AOCDSAODSCOD計(jì)計(jì)算由于算由于ACD的底與高不容易計(jì)算，所以的底與高不容易計(jì)算，所以 可可利用利用S四邊形四邊形AOCDSAOC計(jì)算計(jì)算解：連接解：連接OD，如解圖，易知點(diǎn)，如解圖，易知點(diǎn)D的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1，4)，S四邊形四邊形AOCDSAODSCOD 34 31 ，SACDS四邊形四邊形AOCDSAOC3.121215215922 (4)在直線在直線AC的上方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)的上方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)M，使，使MAC的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；理由；【思維教練思維教練】要使要使MAC面積最大，可先把面積最大，可先把MAC的面積用含字的面積用含字母的式子表示出來(lái)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)討論其最值，進(jìn)而求母的式子表示出來(lái)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)討論其最值，進(jìn)而求得得M點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)解：存在一點(diǎn)解：存在一點(diǎn)M，使，使MAC的面積最大的面積最大理由如下：過(guò)點(diǎn)理由如下：過(guò)點(diǎn)M作作MNy軸，交軸，交AC于點(diǎn)于點(diǎn)N，如解圖，如解圖，設(shè)設(shè)M(x，x22x3)，則，則N(x，x3)，MNx22x3(x3)x23x，SMACSAMNSCMN 3MN (x23x) (x )2 ，12323232278 0，當(dāng)當(dāng)x 時(shí)，時(shí)，SMAC的值最大為的值最大為 ；當(dāng)當(dāng)x 時(shí)，時(shí)，y( )22( )3 ，點(diǎn)點(diǎn)M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( ， )存在點(diǎn)存在點(diǎn)M( ， ) ，使，使MAC的面積最大的面積最大32323227832323232154154154(5)點(diǎn)點(diǎn)H是拋物線第二象限內(nèi)一點(diǎn)，作是拋物線第二象限內(nèi)一點(diǎn)，作HGx軸交軸交x軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)G，試確，試確定定H點(diǎn)的位置，使點(diǎn)的位置，使HGA的面積被直線的面積被直線AC分為相等的兩部分；分為相等的兩部分；【思維教練思維教練】HGA要被分成面積相等的兩部分，由于高要被分成面積相等的兩部分，由于高AG一樣，只需一樣，只需HI與與IG相等即可，可設(shè)相等即可，可設(shè)H點(diǎn)坐標(biāo)，分別表示出線段點(diǎn)坐標(biāo)，分別表示出線段HI與與IG，利用其相等列方程求解即可，利用其相等列方程求解即可 解：如解圖，設(shè)解：如解圖，設(shè)HG與與AC相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)I，設(shè)設(shè)H(x，x22x3)，則，則I(x，x3)，則則HIx22x3(x3)x23x，IGx3，當(dāng)當(dāng)HIIG時(shí)，時(shí)，AHI和和AIG等底同高，面積相等，即等底同高，面積相等，即HGA的面積被直線的面積被直線AC分為相等的兩部分，分為相等的兩部分，x23xx3，整理得，整理得x24x30，解得解得x11，x23(不合題意，舍去不合題意，舍去)，點(diǎn)點(diǎn)H的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1，4)(6)點(diǎn)點(diǎn)H是拋物線第二象限內(nèi)一點(diǎn)，作是拋物線第二象限內(nèi)一點(diǎn)，作HGx軸交軸交x軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)G，試確，試確定定H點(diǎn)的位置，使點(diǎn)的位置，使HGA的面積被直線的面積被直線AC分為分為1 2的兩部分；的兩部分；【思維教練思維教練】同上，利用同上，利用HI與與IG為為1 2與與2 1關(guān)系列方程求解即可關(guān)系列方程求解即可解：如解圖，由解：如解圖，由(5)可知，可分兩種情況討論：可知，可分兩種情況討論：()若若H1I12I1G1，則有，則有x23x2(x3)，整理得，整理得x25x60，解得解得x12，x23(不合題意，舍去不合題意，舍去)，H1(2，3)；()若若2H2I2I2G2，則有，則有2(x23x)x3，整理得整理得2x27x30，解得解得x1 ，x23(不合題意，舍去不合題意，舍去)，H2( )綜上所述，點(diǎn)綜上所述，點(diǎn)H的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為H1(2，3)或或H2( ) (7)若點(diǎn)若點(diǎn)R是拋物線上的一點(diǎn)，且位于對(duì)稱軸的左側(cè)，是否存在點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，且位于對(duì)稱軸的左側(cè)，是否存在點(diǎn)R，使，使SRBC ？若存在，求出點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由理由92【思維教練思維教練】先假設(shè)存在點(diǎn)先假設(shè)存在點(diǎn)R，使得，使得SRBC .過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)R作作BC的垂線的垂線交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)K，可得，可得 BCRK .此時(shí)點(diǎn)此時(shí)點(diǎn)R，K坐標(biāo)不容易計(jì)算可坐標(biāo)不容易計(jì)算可考慮作考慮作RHy軸與軸與BC延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，利用，利用RKF與與BOC相似，相似，RFOBBCRK9，設(shè)出設(shè)出R點(diǎn)坐標(biāo)利用此關(guān)系式，解方程求解點(diǎn)坐標(biāo)利用此關(guān)系式，解方程求解929212解：假設(shè)存在點(diǎn)解：假設(shè)存在點(diǎn)R，使，使SRBC ，如解圖，過(guò)點(diǎn)，如解圖，過(guò)點(diǎn)R作作RKBC，交交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，作，作RHy軸，交軸，交x軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)H，交，交BC的延長(zhǎng)線的延長(zhǎng)線于點(diǎn)于點(diǎn)F，則，則FBCO，RKFBOC90，RKFBOC， ，BCRKBORF，又又SRBC ，BO1， BCRK BORF ，RF9，92RKRFBOBC92921212由由B(1，0)，C(0，3)可求出直線可求出直線BC的解析式為的解析式為y3x3，設(shè)設(shè)R(x，x22x3)，則，則F(x，3x3)，RF3x3(x22x3)x2x，x2x9，解得，解得x1 ，x2 (不合題意，舍去不合題意，舍去)，當(dāng)當(dāng)x1 時(shí)，時(shí)，y ，R( )，存在點(diǎn)存在點(diǎn)R，使，使SRBC ，點(diǎn)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( )1372137213723 37152137 3 3715,22137 3 3715,2292