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1、第二十一講三角函數(shù)的性質第二十一講三角函數(shù)的性質回歸課本回歸課本1.正正 余弦曲線的定義余弦曲線的定義正弦函數(shù)的圖象和余弦函數(shù)的圖象分別叫做正弦函數(shù)的圖象和余弦函數(shù)的圖象分別叫做正弦曲線正弦曲線和和余余弦曲線弦曲線.2.周期函數(shù)周期函數(shù)對于函數(shù)對于函數(shù)f(x),如果存在一個非零常數(shù)如果存在一個非零常數(shù)T,使得當使得當x取定義域內(nèi)取定義域內(nèi)的每一個值時的每一個值時,都有都有f(x+T)=f(x),那么函數(shù)那么函數(shù)f(x)就叫做就叫做周期函周期函數(shù)數(shù).非零常數(shù)非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的叫做這個函數(shù)的周期周期.如果在周期函數(shù)如果在周期函數(shù)f(x)的的所有周期中存在一個最小的正數(shù)所有周期中存在一個最小的

2、正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫那么這個最小正數(shù)就叫做做f(x)的的最小正周期最小正周期.正弦函數(shù)正弦函數(shù) 余弦函數(shù)都是周期函數(shù)余弦函數(shù)都是周期函數(shù),2k,kZ都是它們的周都是它們的周期期,最小正周期是最小正周期是2.3.正弦函數(shù)正弦函數(shù) 余弦函數(shù)的圖象和性質如下表余弦函數(shù)的圖象和性質如下表4.y=tanx的性質的性質(1)定義域是定義域是x|xk+ ,kZ.(2)值域是值域是R,即正切函數(shù)既無最大值即正切函數(shù)既無最大值,也無最小值也無最小值.(3)周期性周期性:正切函數(shù)是周期函數(shù)正切函數(shù)是周期函數(shù),最小正周期是最小正周期是.(4)奇偶性奇偶性:正切函數(shù)是正切函數(shù)是奇函數(shù)奇函數(shù).2 (5)單調性單調

3、性:正切函數(shù)在開區(qū)間正切函數(shù)在開區(qū)間 kZ內(nèi)都內(nèi)都是增函數(shù)是增函數(shù).(6)對稱性對稱性:正切函數(shù)的圖象關于原點對稱正切函數(shù)的圖象關于原點對稱,正切曲線是中心對正切曲線是中心對稱圖形稱圖形,其對稱中心坐標是其對稱中心坐標是 (kZ).正切函數(shù)無正切函數(shù)無對稱軸對稱軸.,22kk,02k5.y=tanx(xk+ kZ)的圖象的圖象2考點陪練考點陪練1.函數(shù)函數(shù) 的定義域是的定義域是( )A.x|2k- x2k+ ,kZB.x|2kx2k+ ,kZC.x|2k- x2k,kZD.xR答案答案:D()ycos sinx22222.若若 的最小正周期為的最小正周期為T,且且T(1,3),則正則正整數(shù)整數(shù)

4、的最大值是的最大值是( )A.5B.6C.7D.8答案答案:B( )23f xcosx 11()|,222. 1,1.,1222.1,.1,23.f xf x2()sinxcosxsinxcosxABCD 已知函數(shù)則的值域是答案答案:C 4.,22.,(1)3.,44.f xtan()(kZ)(43.,44kZ)(kZ)kZxA kkB kkCkkD kk函數(shù)的單調遞增區(qū)間為,4,22,:xt,tant2,tkkxkkZ42344.tkkxk 解析 令則 單調遞增 只有單調遞增 才能使原函數(shù)單調遞增答案答案:C5.函數(shù)函數(shù) xR是是( )A.奇函數(shù)奇函數(shù)B.偶函數(shù)偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

5、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)52,2ysinx5222 ,2252.2:yysinxsinxcos xsinx解析為偶函數(shù)答案答案:B類型一類型一三角函數(shù)的定義域三角函數(shù)的定義域解題準備解題準備:求函數(shù)定義域的題型求函數(shù)定義域的題型,關鍵是求使式子有意義的關鍵是求使式子有意義的x的取值范圍的取值范圍,將問題轉化為解不等式將問題轉化為解不等式,此題是解三角不等式此題是解三角不等式,常用的方法有常用的方法有:利用單位圓中的三角函數(shù)線利用單位圓中的三角函數(shù)線;利用三角利用三角函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象;利用函數(shù)單調性利用函數(shù)單調性,一定要與相應三角函數(shù)的一定要與相應三角函數(shù)的周期聯(lián)系起

6、來周期聯(lián)系起來. 12(2111;2y.)1282lgsinxtanxyxcoslog xtanx【典例 】求函數(shù)的定義域求函數(shù)的定義域 分析分析先寫出使函數(shù)有意義的不等式或不等式組先寫出使函數(shù)有意義的不等式或不等式組,再利用三再利用三角函數(shù)圖象或單位圓求解集角函數(shù)圖象或單位圓求解集. 1,22101,1 0(),2028().2821sinxsinxtanxtanxxkkZxcosxkkZ 解要使函數(shù)有意義則522,663,2432,(),4kxkkxkxkkZ利用單位圓得3,2x |2kx2k4kZ.函數(shù)的定義域為 1220,04,0,0,().22,2log xxxtanxkxkkZxk

7、kZ要使函數(shù)有意義則得x |0 x2x4.函數(shù)定義域為或 反思感悟反思感悟求三角函數(shù)的定義域求三角函數(shù)的定義域,既要注意一般函數(shù)的定既要注意一般函數(shù)的定義域的規(guī)律義域的規(guī)律,又要注意三角函數(shù)本身的特有屬性又要注意三角函數(shù)本身的特有屬性,如題中出如題中出現(xiàn)現(xiàn)tanx,則一定有則一定有xk+ ,kZ.求三角函數(shù)的定義域通常使用三角函數(shù)線求三角函數(shù)的定義域通常使用三角函數(shù)線 三角函數(shù)圖三角函數(shù)圖象或單位圓象或單位圓.2類型二類型二三角函數(shù)的值域及最值問題三角函數(shù)的值域及最值問題解題準備解題準備:三角函數(shù)的值域及最值問題三角函數(shù)的值域及最值問題,實質上大多是含有三實質上大多是含有三角函數(shù)的復合函數(shù)的值

8、域問題角函數(shù)的復合函數(shù)的值域問題,常用的方法有常用的方法有:化為代數(shù)函化為代數(shù)函數(shù)的值域或化為關于數(shù)的值域或化為關于sinx(或或cosx)的二次函數(shù)式的二次函數(shù)式,再利用換再利用換元元 配方等方法求解配方等方法求解.【典例典例2】求下列函數(shù)的值域求下列函數(shù)的值域:(1)y=2cos2x+2cosx;(2)y=3cosx- sinx;(3)y=sinx+cosx+sinxcosx.分析分析先將原函數(shù)式進行等價變形先將原函數(shù)式進行等價變形,利用利用|sinx|1,|cosx|1,但要注意自變量的取值變化但要注意自變量的取值變化.3 2maxm2in112.22111,4 . 1 y2cos x2

9、cosxcosx1y4,cosx22y2cosx 解于是當且僅當時得當且僅當時得故函數(shù)值域為31(2)332 3222 3.6ycosxsinxcosxsinxcos x1,2 3,2 3.6cos x該函數(shù)值域為222(3)()12241221,4424211122.42,2y1ysinxcosxsinxcosxsinxcosxsin xsinxsin xsin xsin x所以當時取最大值242,y1,12. 1,2sin x 當時取最小值該函數(shù)值域為 反思感悟反思感悟(1)將原函數(shù)式化為將原函數(shù)式化為y=Asin(x+)+B,y=Acos(x+)+B型或化為關于型或化為關于sinx(或或

10、cosx)的二次函數(shù)式的二次函數(shù)式,利用換元法進行配方可解決問利用換元法進行配方可解決問題題.(2)關于關于y=acos2x+bcosx+c,a0(或或y=asin2x+bsinx+c,a0)型或可化為此型的函數(shù)求值域型或可化為此型的函數(shù)求值域,一一般可化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題般可化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題,切忌忽視函數(shù)切忌忽視函數(shù)的定義域的定義域.(3)換元法換元法,旨在三角問題代數(shù)化旨在三角問題代數(shù)化,要防止破壞等價性要防止破壞等價性.類型三類型三三角函數(shù)的單調性三角函數(shù)的單調性解題準備解題準備:與三角函數(shù)單調性有關的問題與三角函數(shù)單調性有關的問題1.單調區(qū)間的求法單調區(qū)間的

11、求法函數(shù)函數(shù)y=Asin(x+)(A0,0)的單調區(qū)間的確定的單調區(qū)間的確定,基本思基本思想是把想是把x+看作一個整體看作一個整體,比如比如:由由2k- x+2k+ (kZ)解出解出x的范圍的范圍,所得區(qū)間即為增區(qū)間所得區(qū)間即為增區(qū)間,由由2k+ x+2k+ (kZ)解出解出x的范圍的范圍,所得區(qū)間即為減所得區(qū)間即為減區(qū)間區(qū)間.222322.如何比較兩個三角函數(shù)值的大小如何比較兩個三角函數(shù)值的大小比較三角函數(shù)值的大小比較三角函數(shù)值的大小,往往是利用奇偶性或周期性轉化為往往是利用奇偶性或周期性轉化為同一單調區(qū)間上的兩個同名函數(shù)值同一單調區(qū)間上的兩個同名函數(shù)值,再利用單調性比較再利用單調性比較.

12、31;24.2336ysinxxytan【典例 】求函數(shù)的單調遞減區(qū)間求的周期及單調區(qū)間 1:,ysinu.2k2kkZ ,2kk2232522665121251212Z5,(,121kkZ ,kkZ .kkkZ).2xxkxkxk解解法一 欲求函數(shù)的單調遞減區(qū)間 只需求的單調遞增區(qū)間由得 即 原函數(shù)的單調遞減區(qū)間為:y,.2k2x2kkZ ,kxkkZ .k(k2,323523212125,1212Z).sinxysinxk 解法二 由已知函數(shù)為欲求函數(shù)的單調遞減區(qū)間 只需求的單調遞增區(qū)間解得 原函數(shù)的單調遞減區(qū)間為T4 ,y3tan4 .k4kx(2)33,6446|64482462334

13、84,446334834,4kkZ ,46y3tankZ,3y43xxytantanxxkxkkxtankk 的周期為由即在內(nèi)單調遞增在kZ.內(nèi)單調遞減 反思感悟反思感悟(1)求形如求形如y=Asin(x+)或或y=Acos(x+)(其中其中A0,0)的函數(shù)的單調區(qū)間的函數(shù)的單調區(qū)間,可以通過解不可以通過解不等式的方法去解答等式的方法去解答,列不等式的原則是列不等式的原則是:把把“x+(0)”視為一個視為一個“整體整體”;A0(A0,所以函數(shù)所以函數(shù)y的周期與函數(shù)的周期與函數(shù)y2=1+|sin2x|的周期相同的周期相同,而而y2=1+|sin2x|的周期為的周期為 所以函數(shù)所以函數(shù)y=|sin

14、x|+|cosx|的周期為的周期為,2.2評析評析求三角函數(shù)的最小正周期主要有三種方法求三角函數(shù)的最小正周期主要有三種方法:一是根據(jù)定一是根據(jù)定義義,但要注意體現(xiàn)最小但要注意體現(xiàn)最小;二是利用三角函數(shù)的圖象二是利用三角函數(shù)的圖象;三是公式三是公式法法,即函數(shù)即函數(shù)y=Asin(x+)+B,y=Acos(x+)+B,y=Atan(x+)+B(0)的最小正周期分別為的最小正周期分別為22,.| | |錯源四利用正切函數(shù)圖象求解方程根作圖有誤而致錯錯源四利用正切函數(shù)圖象求解方程根作圖有誤而致錯4xsinxtan,x( )A.1B.2C.3D.42 2 【典例 】若則方程的實根個數(shù)為,ysinxyta

15、nx,3,C.2x2 錯解 如圖所示 正弦函數(shù)與正切函數(shù)的圖象在上有 個交點 故選 剖析剖析產(chǎn)生錯解的原因是對產(chǎn)生錯解的原因是對y=sinx與與y=tanx的圖象的性質的圖象的性質認識不清認識不清.x,tanxsinx,ysinx0,20ytanx,x0,sinxtanx,ysinxytanx,A202,.,正解 當時因此與在上無交點 當時由對稱性知與在上也無交點 故選答案答案A技法技法 求函數(shù)周期的若干策略求函數(shù)周期的若干策略一一 數(shù)形結合數(shù)形結合當一個函數(shù)的周期不容易求得時當一個函數(shù)的周期不容易求得時,畫出它的圖象是行之有效畫出它的圖象是行之有效的好方法的好方法.【典例典例1】已知函數(shù)已知

16、函數(shù) 指出函數(shù)的最小正周期指出函數(shù)的最小正周期.( ),|sinxf xcosx :xR,xkkZ);(2,f x,.,22,2 2tanxxtanxxx 解 函數(shù)的定義域為且在上在上函數(shù)的圖象如圖所示顯然函數(shù)的最小正周期為顯然函數(shù)的最小正周期為T=2.二二 轉化與化歸轉化與化歸形如形如“y=tanx+cotx”、“y=tanx-cotx”類型的正切函數(shù)類型的正切函數(shù)可以通過化簡轉換成單一函數(shù)名稱的三角函數(shù)可以通過化簡轉換成單一函數(shù)名稱的三角函數(shù),然后再求然后再求周期周期.【典例典例2】求函數(shù)求函數(shù)y=tanx+cotx的周期的周期.解解 故周期為故周期為.方法與技巧方法與技巧形如形如“y=t

17、anpx+tankx(kp)”類型的正切函類型的正切函數(shù)數(shù),應分別求兩個函數(shù)的最小正周期應分別求兩個函數(shù)的最小正周期,然后求這兩個正周期然后求這兩個正周期中分母的最小公倍數(shù)和分子的最大公約數(shù)中分母的最小公倍數(shù)和分子的最大公約數(shù).2.2sinxcosxytanxcotxcosxsinxsin x三三 回歸定義回歸定義【典例典例3】求函數(shù)求函數(shù)y=|tanx|+|cotx|的最小正周期的最小正周期. ,.f x ,y|22tanxcotxT2.2fxtan xcot xcotxtanx解 本題不容易畫圖 又不容易化歸成單一三角函數(shù)名稱的三角函數(shù) 但不要忘記回歸定義故函數(shù)的最小正周期為 方法與技巧方法與技巧若盲目套用若盲目套用y=|tanx|、y=|cotx|的周期分別為的周期分別為T=,則會得出錯誤結論則會得出錯誤結論.