壓軸題(八) 12．(2019·湘贛十四校聯(lián)考二)已知函數(shù)f(x＋2)為R上的偶函數(shù)，且當x≥2時函數(shù)f(x)滿足x3f′(x)＋3x2f(x)＝，f(3)＝，則81f(x)<e3的解集是(　　) A．(1,3) B．(－∞，1)∪(2,3) C．(1,2)∪(3，＋∞) D．(－∞，1)∪(3，＋∞) 答案　A 解析　設(shè)h(x)＝x3f(x)，則h′(x)＝x3f′(x)＋3x2f(x)＝，∴x3f′(x)＝－3x2f(x)， 化簡得f′(x)＝－＝， 設(shè)g(x)＝ex－3h(x)，∴g′(x)＝ex－＝， ∴x∈[2,3)時，g′(x)＜0，因此g(x)為減函數(shù)， ∴x∈(3，＋∞)時，g′(x)＞0，因此g(x)為增函數(shù)， ∴g(x)≥g(3)＝e3－3h(3)＝e3－34f(3)＝0， ∴f′(x)≥0，∴f(x)在[2，＋∞)上為增函數(shù)． ∵函數(shù)f(x＋2)是偶函數(shù)，∴函數(shù)f(－x＋2)＝f(x＋2)，∴函數(shù)關(guān)于x＝2對稱，又∵81f(x)＜e3，即f(x)＜f(3)，又f(x)在[2，＋∞)上為增函數(shù)，∴2≤x＜3，由函數(shù)關(guān)于x＝2對稱可得1＜x＜3，故選A. 16．(2019·沈陽第三次質(zhì)量監(jiān)測)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋an＋1＝2(n＋1)(n∈N*)，則a2020－a2018＝________，＋＋＋＋＝________. 答案　2　 解析　∵an＋an＋1＝2(n＋1)(n∈N*)，∴當n≥2時，an－1＋an＝2n， ∴an＋1－an－1＝2，∴a2020－a2018＝2，數(shù)列{an}的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別是公差為2的等差數(shù)列，又a1＝1， ∴a2＝3，∴＋＋＋…＋＋＝2××＋＝－＋＝. 20．設(shè)函數(shù)f(x)＝ln x－2mx2－n(m，n∈R)． (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)若f(x)有最大值－ln 2，求m＋n的最小值． 解　(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)， f′(x)＝－4mx＝， 當m≤0時，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； 當m>0時，令f′(x)>0得0<x<，令f′(x)<0得x>，∴f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． (2)由(1)知，當m>0時，f(x)在上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減． ∴f(x)max＝f＝ln －2m·－n＝－ln 2－ln m－－n＝－ln 2， ∴n＝－ln m－，∴m＋n＝m－ln m－， 令h(x)＝x－ln x－(x>0)， 則h′(x)＝1－＝， ∴h(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴h(x)min＝h＝ln 2， ∴m＋n的最小值為ln 2. 21．已知動點M到定點F1(－2,0)和F2(2,0)的距離之和為4. (1)求動點M的軌跡C的方程； (2)設(shè)N(0,2)，過點P(－1，－2)作直線l，交曲線C于不同于N的兩點A，B，直線NA，NB的斜率分別為k1，k2，求k1＋k2的值． 解　(1)由橢圓的定義，可知點M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點，4為長軸長的橢圓．由c＝2，a＝2，得b＝2. 故動點M的軌跡C的方程為＋＝1. (2)當直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為y＋2＝k(x＋1)， 由 得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0. Δ＝[4k(k－2)]2－4(1＋2k2)(2k2－8k)>0， 則k>0或k<－. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝. 從而k1＋k2＝＋＝ ＝2k－(k－4)·＝4. 當直線l的斜率不存在時， 得A，B， 所以k1＋k2＝4. 綜上，恒有k1＋k2＝4.