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第七章參數(shù)估計 7 1參數(shù)估計的一般問題 7 2一個總體參數(shù)的區(qū)間估計 7 3兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計 7 4樣本量的確定 學習目標 估計量與估計值的概念點估計與區(qū)間估計的區(qū)別評價估計量優(yōu)良性的標準一個總體參數(shù)的區(qū)間估計方法兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計方法樣本容量的確定方法 參數(shù)估計在統(tǒng)計方法中的地位 統(tǒng)計推斷的過程 7 1參數(shù)估計的一般問題 1 參數(shù)估計 ParameterEstimation 用樣本估計量估計總體估計值 1 點 值 估計 近似值 2 區(qū)間估計 近似范圍 一 估計量和估計值 估計 人人都做過 如 上課時 你會估計一下老師提問你的概率有多大 過馬路闖紅燈時 你會估計一下被罰款的概率有多大 推銷員年初時要估計今年超額完成任務(wù)的概率有多大 1 估計量 用來估計總體參數(shù)的樣本統(tǒng)計量 如 樣本算術(shù)平均數(shù) 樣本中位數(shù) 樣本標準差 樣本方差等 例如 樣本均值就是總體均值 的一個估計量 2 參數(shù)用 表示 估計量用表示 3 估計值 估計參數(shù)時計算出來的統(tǒng)計量的具體值如果樣本均值 x 80 則80就是 的估計值 2 估計量與估計值 estimator estimatedvalue 參數(shù)估計的方法 二 點估計 pointestimation PopulationParameter總體參數(shù)PointEstimatorisasinglevalue statistic usedtoestimateapopulationvalue parameter 1 用樣本的估計量直接作為總體參數(shù)的估計值例如 用樣本均值直接作為總體均值的估計例如 用兩個樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計 Pointestimation點估計 PopulationSampleParameterStatisticFormulaMean Variance s2Proportion p 總體參數(shù) 樣本統(tǒng)計量 計算公式 2 點估計的方法有矩估計法 順序統(tǒng)計量法 最大似然法 最小二乘法等3 點估計用樣本估計量直接作為總體均數(shù)的估計值 未考慮抽樣誤差 沒有給出估計值接近總體參數(shù)程度的信息 三 區(qū)間估計 intervalestimate 在點估計的基礎(chǔ)上 給出總體參數(shù)估計的一個區(qū)間范圍 該區(qū)間由樣本統(tǒng)計量加減抽樣誤差而得到的根據(jù)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計量與總體參數(shù)的接近程度給出一個概率度量比如 某班級平均分數(shù)在75 85之間 置信水平是95 區(qū)間估計的圖示 1 將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復很多次 置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平 2 表示為 1 為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比例 3 常用的置信水平值有99 95 90 相應(yīng)的 為0 01 0 05 0 10 1 置信水平 confidencecofficient 1 由樣本統(tǒng)計量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計區(qū)間稱為置信區(qū)間 2 統(tǒng)計學家在某種程度上確信這個區(qū)間會包含真正的總體參數(shù) 所以給它取名為置信區(qū)間 3 用一個具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個特定的區(qū)間 我們無法知道這個樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值我們只能是希望這個區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個 但它也可能是少數(shù)幾個不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個 2 置信區(qū)間 confidenceinterval 例 雖然不能知道某校全體女大學生身高均數(shù)的確切數(shù)值 但有95 的把握說校全體女大學生身高均數(shù)在163 0 164 5cm之間 有99 的把握說校全體女大學生身高均數(shù)在162 7 164 7cm之間 換句話說 做出校全體女大學生身高均數(shù)為163 0 164 5cm的結(jié)論 說對的概率是95 說錯的概率是5 做出校全體女大學生身高均數(shù)為162 7 164 7cm的結(jié)論 說對的概率是99 說錯的概率是1 3 置信區(qū)間與置信水平 Thefactorsthatdeterminethewidthofaconfidenceintervalare 4 影響置信區(qū)間寬度的因素有 1 Thesamplesize n 樣本容量n 2 Thevariabilityinthepopulation總體數(shù)據(jù)的離散程度 用 來測度 3 Thedesiredlevelofconfidence 置信水平 1 影響z的大小 5 標準誤 Standarderror 1 概念抽樣誤差 由于抽樣引起的樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)之間的差異 標準誤 表示抽樣誤差大小的指標 即樣本均值的標準差 3 樣本均值 標準誤意義 反映抽樣誤差的大小 標準誤越小 抽樣誤差越小 用樣本均數(shù)估計總體均數(shù)的可靠性越大 與樣本量的關(guān)系 S一定 n 標準誤 2 樣本均值 標準誤的計算 四 評價估計量的標準 1 無偏性 unbiasedness 無偏性 估計量抽樣分布的數(shù)學期望等于被估計的總體參數(shù) P B A 無偏 有偏 2 有效性 efficiency 有效性 與離散度相聯(lián)系 對同一總體參數(shù)的兩個無偏點估計量 有更小標準差的估計量更有效 3 一致性 consistency 一致性 隨著樣本容量的增大 估計量的值越來越接近被估計的總體參數(shù) 7 2一個總體參數(shù)的區(qū)間估計 7 2 1總體均值的區(qū)間估計7 2 2總體比例的區(qū)間估計7 2 3總體方差的區(qū)間估計 Aconfidenceintervalisarangeofvalueswithinwhichthepopulationparameterisexpectedtooccur 區(qū)間估計給出總體參數(shù)的近似范圍 IntervalEstimation區(qū)間估計 一個總體參數(shù)的區(qū)間估計 總體均值的區(qū)間估計 正態(tài)總體 已知 或非正態(tài)總體 大樣本 總體均值的區(qū)間估計 大樣本 1 假定條件總體服從正態(tài)分布 且方差 未知如果不是正態(tài)分布 可由正態(tài)分布來近似 n 30 使用正態(tài)分布統(tǒng)計量z 總體均值 在1 置信水平下的置信區(qū)間為 IntervalEstimates AnIntervalEstimatestatestherangewithinwhichapopulationparameterprobablylies 區(qū)間估計表明總體參數(shù)可能存在的范圍 IntervalEstimates Theintervalwithinwhichapopulationparameterisexpectedtooccuriscalledaconfidenceinterval 總體參數(shù)可能存在的區(qū)間稱為置信區(qū)間 Thetwoconfidenceintervalsthatareusedextensivelyarethe95 andthe90 常用的置信水平及 值為 Z 1 96 Z 1 65 InterpretationofConfidenceIntervals Fora95 confidenceintervalabout95 ofthesimilarlyconstructedintervalswillcontaintheparameterbeingestimated 95 ofthesamplemeansforaspecifiedsamplesizewillliewithin1 96standarddeviationsofthehypothesizedpopulationmean 總體均值的區(qū)間估計 例題分析 例 一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主 為對產(chǎn)量質(zhì)量進行監(jiān)測 企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進行抽檢 以分析每袋重量是否符合要求 現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機抽取了25袋 測得每袋重量如下表所示 已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布 且總體標準差為10g 試估計該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間 置信水平為95 總體均值的區(qū)間估計 例題分析 解 已知 N 102 n 25 1 95 z 2 1 96 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得 總體均值 在1 置信水平下的置信區(qū)間為 該食品平均重量的置信區(qū)間為101 44g 109 28g 總體均值的區(qū)間估計 例題分析 例 一家保險公司收集到由36投保個人組成的隨機樣本 得到每個投保人的年齡 周歲 數(shù)據(jù)如下表 試建立投保人年齡90 的置信區(qū)間 總體均值的區(qū)間估計 例題分析 解 已知n 36 1 90 z 2 1 645 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得 總體均值 在1 置信水平下的置信區(qū)間為 投保人平均年齡的置信區(qū)間為37 37歲 41 63歲 總體均值的區(qū)間估計 正態(tài)總體 未知 小樣本 總體均值的區(qū)間估計 小樣本 1 假定條件總體服從正態(tài)分布 且方差 未知小樣本 n 30 使用t分布統(tǒng)計量 總體均值 在1 置信水平下的置信區(qū)間為 t分布 t分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布 它通常要比正態(tài)分布平坦和分散 一個特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù) 隨著自由度的增大 分布也逐漸趨于正態(tài)分布 t值表橫坐標 自由度 df縱坐標 概率 p 即曲線下陰影部分的面積 表中的數(shù)字 相應(yīng)的 t 界值 t值表規(guī)律 1 自由度 df 一定時 p與t成反比 2 概率 p 一定時 df與t成反比 總體均值的區(qū)間估計 例題分析 例 已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布 現(xiàn)從一批燈泡中隨機抽取16只 測得其使用壽命 小時 如下 建立該批燈泡平均使用壽命95 的置信區(qū)間 總體均值的區(qū)間估計 例題分析 解 已知 N 2 n 16 1 95 t 2 2 131根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得 總體均值 在1 置信水平下的置信區(qū)間為 該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476 8小時 1503 2小時 總體比例的區(qū)間估計 總體比例的區(qū)間估計 1 假定條件總體服從二項分布可以由正態(tài)分布來近似使用正態(tài)分布統(tǒng)計量z 3 總體比例 在1 置信水平下的置信區(qū)間為 總體比例的區(qū)間估計 例題分析 例 某城市想要估計下崗職工中女性所占的比例 隨機地抽取了100名下崗職工 其中65人為女性職工 試以95 的置信水平估計該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間 解 已知n 100 p 65 1 95 z 2 1 96 該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為55 65 74 35 總體方差的區(qū)間估計 總體方差的區(qū)間估計 1 估計一個總體的方差或標準差2 假設(shè)總體服從正態(tài)分布總體方差 2的點估計量為S2 且 4 總體方差在1 置信水平下的置信區(qū)間為 總體方差的區(qū)間估計 圖示 總體方差的區(qū)間估計 例題分析 例 一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主 現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機抽取了25袋 測得每袋重量如下表所示 已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布 以95 的置信水平建立該種食品重量方差的置信區(qū)間 總體方差的區(qū)間估計 例題分析 解 已知n 25 1 95 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得s2 93 21 2置信度為95 的置信區(qū)間為 該企業(yè)生產(chǎn)的食品總體重量標準差的的置信區(qū)間為7 54g 13 43g 7 3兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計 7 3 1兩個總體均值之差的區(qū)間估計7 3 2兩個總體比例之差的區(qū)間估計7 3 3兩個總體方差比的區(qū)間估計 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計 兩個總體均值之差的區(qū)間估計 獨立大樣本 兩個總體均值之差的估計 大樣本 1 假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布 1 2 已知若不是正態(tài)分布 可以用正態(tài)分布來近似 n1 30和n2 30 兩個樣本是獨立的隨機樣本使用正態(tài)分布統(tǒng)計量z 兩個總體均值之差的估計 大樣本 1 1 2 已知時 兩個總體均值之差 1 2在1 置信水平下的置信區(qū)間為 1 2 未知時 兩個總體均值之差 1 2在1 置信水平下的置信區(qū)間為 兩個總體均值之差的估計 例題分析 例 某地區(qū)教育委員會想估計兩所中學的學生高考時的英語平均分數(shù)之差 為此在兩所中學獨立抽取兩個隨機樣本 有關(guān)數(shù)據(jù)如右表 建立兩所中學高考英語平均分數(shù)之差95 的置信區(qū)間 English 兩個總體均值之差的估計 例題分析 解 兩個總體均值之差在1 置信水平下的置信區(qū)間為 兩所中學高考英語平均分數(shù)之差的置信區(qū)間為5 03分 10 97分 兩個總體均值之差的區(qū)間估計 獨立小樣本 兩個總體均值之差的估計 小樣本 12 22 1 假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布兩個總體方差未知但相等 1 2 兩個獨立的小樣本 n1 30和n2 30 總體方差的合并估計量 估計量 x1 x2的抽樣標準差 兩個總體均值之差的估計 小樣本 12 22 兩個樣本均值之差的標準化 兩個總體均值之差 1 2在1 置信水平下的置信區(qū)間為 兩個總體均值之差的估計 例題分析 例 為估計兩種方法組裝產(chǎn)品所需時間的差異 分別對兩種不同的組裝方法各隨機安排12名工人 每個工人組裝一件產(chǎn)品所需的時間 分鐘 下如表 假定兩種方法組裝產(chǎn)品的時間服從正態(tài)分布 且方差相等 試以95 的置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間差值的置信區(qū)間 兩個總體均值之差的估計 例題分析 解 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得合并估計量為 兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間之差的置信區(qū)間為0 14分鐘 7 26分鐘 兩個總體均值之差的估計 小樣本 12 22 1 假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布兩個總體方差未知且不相等 1 2 兩個獨立的小樣本 n1 30和n2 30 使用統(tǒng)計量 兩個總體均值之差的估計 小樣本 12 22 兩個總體均值之差 1 2在1 置信水平下的置信區(qū)間為 兩個總體均值之差的估計 例題分析 例 沿用前例 假定第一種方法隨機安排12名工人 第二種方法隨機安排名工人 即n1 12 n2 8 所得的有關(guān)數(shù)據(jù)如表 假定兩種方法組裝產(chǎn)品的時間服從正態(tài)分布 且方差不相等 以95 的置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間差值的置信區(qū)間 兩個總體均值之差的估計 例題分析 解 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得自由度為 兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間之差的置信區(qū)間為0 192分鐘 9 058分鐘 兩個總體均值之差的區(qū)間估計 匹配樣本matchedsample 兩個總體均值之差的估計 匹配大樣本 假定條件兩個匹配的大樣本 n1 30和n2 30 兩個總體各觀察值的配對差服從正態(tài)分布兩個總體均值之差 d 1 2在1 置信水平下的置信區(qū)間為 兩個總體均值之差的估計 匹配小樣本 假定條件兩個匹配的大樣本 n1 30和n2 30 兩個總體各觀察值的配對差服從正態(tài)分布兩個總體均值之差 d 1 2在1 置信水平下的置信區(qū)間為 兩個總體均值之差的估計 例題分析 例 由10名學生組成一個隨機樣本 讓他們分別采用A和B兩套試卷進行測試 結(jié)果如下表 試建立兩種試卷分數(shù)之差 d 1 295 的置信區(qū)間 STATISTICS 兩個總體均值之差的估計 例題分析 解 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得 兩種試卷所產(chǎn)生的分數(shù)之差的置信區(qū)間為6 33分 15 67分 兩個總體比例之差區(qū)間的估計 1 假定條件兩個總體服從二項分布可以用正態(tài)分布來近似兩個樣本是獨立的2 兩個總體比例之差 1 2在1 置信水平下的置信區(qū)間為 兩個總體比例之差的區(qū)間估計 兩個總體比例之差的估計 例題分析 例 在某個電視節(jié)目的收視率調(diào)查中 農(nóng)村隨機調(diào)查了400人 有32 的人收看了該節(jié)目 城市隨機調(diào)查了500人 有45 的人收看了該節(jié)目 試以90 的置信水平估計城市與農(nóng)村收視率差別的置信區(qū)間 兩個總體比例之差的估計 例題分析 解 已知n1 500 n2 400 p1 45 p2 32 1 95 z 2 1 96 1 2置信度為95 的置信區(qū)間為 城市與農(nóng)村收視率差值的置信區(qū)間為6 68 19 32 兩個總體方差比的區(qū)間估計 兩個總體方差比的區(qū)間估計 1 比較兩個總體的方差比用兩個樣本的方差比來判斷如果S12 S22接近于1 說明兩個總體方差很接近如果S12 S22遠離1 說明兩個總體方差之間存在差異總體方差比在1 置信水平下的置信區(qū)間為 兩個總體方差比的區(qū)間估計 圖示 兩個總體方差比的區(qū)間估計 例題分析 例 為了研究男女學生在生活費支出 元 上的差異 在某大學各隨機抽取25名男學生和25名女學生 得到下面的結(jié)果 男學生 女學生 試以90 置信水平估計男女學生生活費支出方差比的置信區(qū)間 兩個總體方差比的區(qū)間估計 例題分析 解 根據(jù)自由度n1 25 1 24 n2 25 1 24 查得F 2 24 1 98 F1 2 24 1 1 98 0 505 12 22置信度為90 的置信區(qū)間為 男女學生生活費支出方差比的置信區(qū)間為0 47 1 84 7 4樣本容量的確定 一 估計總體均值時樣本容量的確定 SelectingaSampleSize Thereare3factorsthatdeterminethesizeofasample noneofwhichhasanydirectrelationshiptothesizeofthepopulation Theyare Thedegreeofconfidenceselected Themaximumallowableerror Thevariationinthepopulation SampleSizeforMeans Tofindthesamplesizeforavariable Eistheallowableerror zisthez valuecorrespondingtotheselectedlevelofconfidence thestandarddeviationofpopulation SampleSizeforProportions Theformulafordeterminingthesamplesizeinthecaseofaproportionis pistheestimatedproportion basedonpastexperienceorapilotsurvey zisthezvalueassociatedwiththedegreeofconfidenceselected Eisthemaximumallowableerrortheresearcherwilltolerate 估計總體均值時樣本容量n為樣本容量n與總體方差 2 邊際誤差E 可靠性系數(shù)Z或t之間的關(guān)系為與總體方差成正比與邊際誤差成反比與可靠性系數(shù) 1 a 成正比 估計總體均值時樣本容量的確定 其中 估計總體均值時樣本容量的確定 例題分析 例 擁有工商管理學士學位的大學畢業(yè)生年薪的標準差大約為2000元 假定想要估計年薪95 的置信區(qū)間 希望邊際誤差為400元 應(yīng)抽取多大的樣本容量 估計總體均值時樣本容量的確定 例題分析 解 已知 500 E 200 1 95 z 2 1 96 12 22置信度為90 的置信區(qū)間為 即應(yīng)抽取97人作為樣本 二 估計總體比例時樣本容量的確定 根據(jù)比例區(qū)間估計公式可得樣本容量n為 估計總體比例時樣本容量的確定 E的取值一般小于0 1 未知時 可取最大值0 5 其中 估計總體比例時樣本容量的確定 例題分析 例 根據(jù)以往的生產(chǎn)統(tǒng)計 某種產(chǎn)品的合格率約為90 現(xiàn)要求邊際誤差為5 在求95 的置信區(qū)間時 應(yīng)抽取多少個產(chǎn)品作為樣本 解 已知 90 0 05 z 2 1 96 E 5 應(yīng)抽取的樣本容量為 應(yīng)抽取139個產(chǎn)品作為樣本 三 估計兩個總體均值之差時樣本容量的確定 設(shè)n1和n2為來自兩個總體的樣本 并假定n1 n2根據(jù)均值之差的區(qū)間估計公式可得兩個樣本的容量n為 估計兩個總體均值之差時樣本容量的確定 其中 估計兩個總體均值之差時樣本容量的確定 例題分析 例 一所中學的教務(wù)處想要估計試驗班和普通班考試成績平均分數(shù)差值的置信區(qū)間 要求置信水平為95 預先估計兩個班考試分數(shù)的方差分別為 試驗班 12 90 普通班 22 120 如果要求估計的誤差范圍 邊際誤差 不超過5分 在兩個班應(yīng)分別抽取多少名學生進行調(diào)查 English 估計兩個總體均值之差時樣本容量的確定 例題分析 解 已知 12 90 22 120 E 5 1 95 z 2 1 96 即應(yīng)抽取17人作為樣本 四 估計兩個總體比例之差時樣本容量的確定 設(shè)n1和n2為來自兩個總體的樣本 并假定n1 n2根據(jù)比例之差的區(qū)間估計公式可得兩個樣本的容量n為 估計兩個總體比例之差時樣本容量的確定 其中 估計兩個總體比例之差時樣本容量的確定 例題分析 例 一家瓶裝飲料制造商想要估計顧客對一種新型飲料認知的廣告效果 他在廣告前和廣告后分別從市場營銷區(qū)各抽選一個消費者隨機樣本 并詢問這些消費者是否聽說過這種新型飲料 這位制造商想以10 的誤差范圍和95 的置信水平估計廣告前后知道該新型飲料消費者的比例之差 他抽取的兩個樣本分別應(yīng)包括多少人 假定兩個樣本容量相等 估計兩個總體比例之差時樣本容量的確定 例題分析 解 E 10 1 95 z 2 1 96 由于沒有 的信息 用0 5代替 即應(yīng)抽取193位消費者作為樣本 本章小結(jié) 參數(shù)估計的一般問題一個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計樣本容量的確定 區(qū)間估計 估計未知參數(shù)所在的可能的區(qū)間 評價準則 隨機區(qū)間 置信度 精確度 隨機區(qū)間 包含 即可靠程度 越大越好 的概率 的平均長度 誤差范圍 越小越好 一般形式 或 總體參數(shù) 估計值 誤差范圍 一定倍數(shù)的抽樣誤差 例如 抽樣誤差 一定時 越大 概率 可靠性 大 隨之增大 精確度就差 參數(shù)的區(qū)間估計 簡單隨機抽樣 待估計參數(shù) 已知條件 置信區(qū)間 正態(tài)總體 2已知 正態(tài)總體 2未知 非正態(tài)總體 n 30 有限總體 n 30 不放回抽樣 總體均值 未知時 用S 未知時 用S 兩個正態(tài)總體 已知 兩個正態(tài)總體 未知但相等 兩個非正態(tài)總體 n1 n2 30 兩個總體均值之差 1 2 簡單隨機抽樣 待估計參數(shù) 已知條件 置信區(qū)間 無限總體 np和nq都大于5 總體成數(shù) p 無限總體 n1p1 5 n1q1 5n2p2 5 n2q2 5 兩個總體成數(shù)之差 P1 P2 有限總體 np和nq都大于5 有限總體 n1p1 5 n1q1 5n2p2 5 n2q2 5 簡單隨機抽樣 待估計參數(shù) 已知條件 置信區(qū)間 正態(tài)總體 總體方差 兩個正態(tài)總體 兩個總體方差之比 樣本數(shù)的確定 待估計參數(shù) 已知條件 樣本數(shù)的確定 正態(tài)總體 2已知 總體均值 例 誤差范圍 簡單隨機抽樣 有限總體 不放回抽樣 2已知 總體成數(shù) P 服從正態(tài)分布 有限總體 不放回抽樣