第2講　數(shù)形結(jié)合思想 「思想方法解讀」　數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法．?dāng)?shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)了數(shù)與形之間的溝通與轉(zhuǎn)化，它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個(gè)方面．?dāng)?shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形語(yǔ)言結(jié)合起來(lái)，即將代數(shù)問(wèn)題幾何化、幾何問(wèn)題代數(shù)化． 數(shù)形結(jié)合思想常用來(lái)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題、方程根與不等式問(wèn)題、參數(shù)范圍問(wèn)題、立體幾何模型研究代數(shù)問(wèn)題，以及解析幾何中的斜率、截距、距離等模型問(wèn)題． 熱點(diǎn)題型探究 熱點(diǎn)1 數(shù)形結(jié)合化解方程問(wèn) 例1　(1)(2019·聊城市高三一模)已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝x＋a無(wú)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(－∞，0)∪ B．(－1,0) C. D．(0,1) 答案　B 解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝所以關(guān)于x的方程f(x)＝x＋a無(wú)實(shí)根等價(jià)于函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝x＋a無(wú)交點(diǎn)，設(shè)直線y＝x＋a與f(x)＝(x>0)切于點(diǎn)P(x0，y0)，由f′(x)＝，由已知得＝1，解得x0＝1，則P(1,0)，則切線方程為y＝x－1， 作出函數(shù)f(x)與直線y＝x＋a的圖象如圖所示． 由圖知函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝x＋a無(wú)交點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍為－1<a<0，故選B. (2)已知函數(shù)f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(－∞，0] B．[0,1) C．(－∞，1) D．[0，＋∞) 答案　C 解析　函數(shù)f(x)＝ 的圖象如圖所示，當(dāng)a<1時(shí)，函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝x＋a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程f(x)＝x＋a有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 用圖象法討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程)的解(或函數(shù)零點(diǎn))的個(gè)數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)熟悉函數(shù)的表達(dá)式(不熟悉時(shí)，需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù))，然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程解(或函數(shù)零點(diǎn))的個(gè)數(shù)． 1．(2019·天津市重點(diǎn)中學(xué)畢業(yè)班聯(lián)考(一))已知函數(shù)f(x)＝若方程f(x)＋|x－2|－kx＝0有且只有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　f(x)＋|x－2|－kx＝0有且只有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于y＝f(x)＋|x－2|與y＝kx的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，畫出y＝f(x)＋|x－2|＝ 與y＝kx的圖象如圖，y＝kx與y＝x2＋3x＋2相切時(shí)，k＝3－2，y＝kx過(guò)(－3,2)時(shí)，k＝－，∴根據(jù)圖象可知，－≤k<3－2時(shí)，兩函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)，∴若方程f(x)＋|x－2|－kx＝0有且只有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是，故選A. 2．將函數(shù)f(x)＝sin的圖象向右平移個(gè)單位后，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到g(x)的圖象，若g(x)＋k＝0在x∈上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是(　　) A．k≤ B．－1≤k＜－ C．－＜k≤ D．－＜k≤或k＝－1 答案　D 解析　將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位得到h(x)＝sin＝sin，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍得到g(x)＝sin. 所以g(x)＋k＝0，即為方程sin＋k＝0. 令2x－＝t，因?yàn)閤∈，所以－≤t≤. 若g(x)＋k＝0在x∈上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即g(t)＝sint與y＝－k在上有且只有一個(gè)交點(diǎn). 如圖所示，由正弦函數(shù)的圖象可知－≤－k＜或－k＝1，即－＜k≤或k＝－1. 熱點(diǎn)2 　數(shù)形結(jié)合化解不等式問(wèn)題 例2　(1)(2019·安徽省江南十校高三聯(lián)考)已知x，y滿足z＝xy的最小值、最大值分別為a，b，且x2－kx＋1≥0對(duì)x∈[a，b]恒成立，則k的取值范圍為(　　) A．－2≤k≤2 B．k≤2 C．k≥－2 D．k≤ 答案　B 解析　作出表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，顯然z＝xy的最小值為0，當(dāng)點(diǎn)(x，y)在線段x＋2y＝3(0≤x≤1)上時(shí)，z＝xy＝x＝－x2＋x≤1； 當(dāng)點(diǎn)(x，y)在線段2x＋y＝3(0≤x≤1)上時(shí)， z＝xy＝x(3－2x)＝－2x2＋3x≤；即a＝0，b＝； 當(dāng)x＝0時(shí)，不等式x2－kx＋1＝1≥0恒成立， 若x2－kx＋1≥0對(duì)x∈恒成立， 則k≤x＋在上恒成立， 又x＋在(0,1]上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 即min＝2，即k≤2. (2)已知關(guān)于x的不等式＞ax＋的解集為{x|4＜x＜b}，則ab＝________. 答案　 解析　設(shè)f(x)＝，g(x)＝ax＋(x≥0)． 因?yàn)椋綼x＋的解集為{x|4＜x＜b}，所以兩函數(shù)圖象在4＜x＜b上有f(x)＞g(x)，如圖所示． 當(dāng)x＝4，x＝b時(shí)，由f(x)＝g(x)，可得 解得所以ab＝×36＝. 數(shù)形結(jié)合思想處理不等式問(wèn)題，要從題目的條件與結(jié)論出發(fā)，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題思路．因此，往往構(gòu)造熟知的函數(shù)，作出函數(shù)圖象，利用圖象的交點(diǎn)和圖象的位置求解不等式． 1．(2019·湖南三市高三聯(lián)考)設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若f′(x)>0，且?x1，x2∈R(x1≠x2)，f(x1)＋f(x2)<2f，則下列選項(xiàng)中不一定正確的一項(xiàng)是(　　) A．f(2)<f(e)<f(π) B．f′(π)<f′(e)<f′(2) C．f(2)<f′(2)－f′(3)<f(3) D．f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) 答案　C 解析　因?yàn)閒′(x)>0，所以f(x)在R上單調(diào)遞增．?x1，x2∈R(x1≠x2)，恒有f(x1)＋f(x2)<2f，即<f，所以y＝f(x)的圖象是向上凸起的，如圖所示． 所以f(2)<f(e)<f(π)，故A正確；因?yàn)閒′(x)反映了函數(shù)f(x)圖象上各點(diǎn)處的切線的斜率，由圖象可知，隨著x的增大，f(x)的圖象越來(lái)越平緩，即切線的斜率越來(lái)越小，所以f′(π)<f′(e)<f′(2)，故B正確；因?yàn)閒(3)－f(2)＝，表示點(diǎn)A(2，f(2))與B(3，f(3))連線的斜率，由圖可知f′(3)<kAB<f′(2)，故D正確；C無(wú)法推出，故選C. 2．?x∈，8x＜logax＋1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 答案　≤a＜1 解析　當(dāng)0＜x＜時(shí)，函數(shù)y＝8x－1的圖象如圖中實(shí)線所示． ∵?x∈，8x＜logax＋1恒成立， ∴當(dāng)x∈時(shí)，y＝logax的圖象恒在y＝8x－1的圖象的上方(如圖中虛線所示)．∵y＝logax的圖象與y＝8x－1的圖象交于點(diǎn)時(shí)，a＝，∴≤a＜1. 熱點(diǎn)3 數(shù)形結(jié)合化解平面向量問(wèn)題 例3　(1)(2019·東北三省三校高三第二次模擬)趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的)，類比“趙爽弦圖”，可類似地構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，設(shè)DF＝2AF，則(　　) A.＝＋ B.＝＋ C.＝＋ D.＝＋ 答案　D 解析　設(shè)DF＝2AF＝2，因此BD＝AF＝1，又由題意可得∠ADB＝120°， 所以AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB＝32＋12－6cos120°＝13，因此AB＝； 延長(zhǎng)AD交BC于M，記∠DAB＝θ，∠AMB＝α， 則cos∠DAB＝＝＝， 所以sin∠DAB＝＝； 又由題意易知∠DAB＝∠DBM，則α＝120°－θ， 在三角形DBM中，由正弦定理可得 ＝＝， 即＝＝， 因此BM＝＝＝＝BC，DM＝＝＝， 所以AD＝AM＝AM， 因?yàn)锽M＝BC，所以＝，即－＝(－)， 整理得＝A＋，所以＝＝＝＋.故選D. (2)給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng)．若＝x＋y，其中x，y∈R，則x＋y的最大值為_(kāi)_______，此時(shí)∠AOC＝________. 答案　2　 解析　由圖示和題意可知，A(1,0)，B. 設(shè)∠AOC＝α，則C(cosα，sinα)． 由＝x＋y，得 解得 所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin. 又α∈，所以當(dāng)α＝時(shí)，x＋y取得最大值2. 建坐標(biāo)系可以實(shí)現(xiàn)平面向量問(wèn)題的全面運(yùn)算，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問(wèn)題，化繁為簡(jiǎn)，輕松破解． 1．(2019·馬鞍山市第二次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知圓C1，C2，C3是同心圓，半徑依次為1,2,3，過(guò)圓C1上點(diǎn)M作C1的切線交圓C2于A，B兩點(diǎn)，P為圓C3上任一點(diǎn)，則·的取值范圍為(　　) A．[－8，－4] B．[0,12] C．[1,13] D．[4,16] 答案　C 解析　設(shè)同心圓的圓心為O，由切線性質(zhì)可知OM⊥AB，又過(guò)圓C1上點(diǎn)M作C1的切線交圓C2于A，B兩點(diǎn)，∴OA＝OB＝2，OM＝1，在Rt△OAM中，sin∠OAM＝＝，∴∠OAB＝∠OAM＝，根據(jù)OA＝OB＝2，可知∠OAB＝∠OBA＝，∴∠AOB＝，·＝(＋)·(＋)＝||2＋·＋·＋·＝9＋·(＋)＋||||·cos＝7－·(＋)．∵OM⊥AB，OA＝OB， ∴M是AB的中點(diǎn)，根據(jù)向量加法的幾何意義得＋＝2，代入上式得，·＝7－·(＋)＝7－2·＝7－2||||cos〈，〉＝7－6cos〈，〉，∵〈，〉∈[0，π]，∴cos〈，〉∈[－1,1]，∴·∈[1,13]，故選C. 2．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，則·＝________. 答案　12 解析　解法一：因?yàn)?#183;＝2·， 所以·－·＝·，所以·＝·. 因?yàn)锳B∥CD，CD＝2，∠BAD＝， 所以2||＝||||cos，化簡(jiǎn)得||＝2. 故·＝·(＋)＝||2＋·＝(2)2＋2×2cos＝12. 解法二：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xAy. 依題意，可設(shè)點(diǎn)D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n,0)，其中m＞0，n＞0， 則由·＝2·，得(n,0)·(m＋2，m)＝2(n,0)·(m，m)， 所以n(m＋2)＝2nm，化簡(jiǎn)得m＝2. 故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12. 熱點(diǎn)4 數(shù)形結(jié)合化解圓錐曲線問(wèn)題 例4　(1)(2019·河南省高三一模)設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>0)，若雙曲線的漸近線被圓M：x2＋y2－10x＝0所截得的兩條弦長(zhǎng)之和為12，已知△ABP的頂點(diǎn)A，B分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)P在雙曲線上，則的值等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，∵雙曲線的漸近線被圓M：x2＋y2－10x＝0即(x－5)2＋y2＝25所截得的兩條弦長(zhǎng)之和為12，設(shè)圓心到漸近線的距離為d，則d＝＝4.∴＝4，即5b＝4c，b＝c.∵a2＝c2－b2＝c2，∴a＝c， ∵A，B分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，∴|AP－BP|＝2a，根據(jù)正弦定理可得＝＝＝2R，∴sinB＝，sinA＝，sinP＝，∴＝＝＝，故選C. (2)已知A(1,1)為橢圓＋＝1內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，求|PF1|＋|PA|的最大值和最小值． 解　由＋＝1可知a＝3，b＝，c＝2，左焦點(diǎn)F1(－2，0)，右焦點(diǎn)F2(2,0)． 由橢圓定義，知|PF1|＝2a－|PF2|＝6－|PF2|， ∴|PF1|＋|PA|＝6－|PF2|＋|PA|＝6＋|PA|－|PF2|. 如圖，由||PA|－|PF2||≤|AF2|＝＝， 知－≤|PA|－|PF2|≤ . 當(dāng)點(diǎn)P在AF2的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)P2處時(shí)，取右“＝”， 當(dāng)點(diǎn)P在AF2的反向延長(zhǎng)線上的點(diǎn)P1處時(shí)，取左“＝”， 即|PA|－|PF2|的最大、最小值分別為，－. 于是|PF1|＋|PA|的最大值是6＋，最小值是6－. 與圓錐曲線有關(guān)的最值問(wèn)題，通常是利用函數(shù)的觀點(diǎn)，建立函數(shù)表達(dá)式求解．但一味的強(qiáng)調(diào)函數(shù)觀點(diǎn)，有時(shí)使思維陷入僵局，此時(shí)若能合理利用圓錐曲線的定義，以形助數(shù)，會(huì)使問(wèn)題變得特別簡(jiǎn)單． 1．橢圓＋＝1的左焦點(diǎn)為F，直線x＝m與橢圓相交于點(diǎn)M，N，當(dāng)△FMN的周長(zhǎng)最大時(shí)，△FMN的面積是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如圖，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F′，連接MF′，NF′.因?yàn)閨MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋|NF|＋|MN|，所以當(dāng)直線x＝m過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)，△FMN的周長(zhǎng)最大．此時(shí)|MN|＝＝，又c＝＝＝1，所以此時(shí)△FMN的面積S＝×2×＝.故選C. 2．(2019·四川省成都市第七中學(xué)高三下學(xué)期三診)已知雙曲線C：－4y2＝1(a>0)的右頂點(diǎn)到其一條漸近線的距離等于，拋物線E：y2＝2px的焦點(diǎn)與雙曲線C的右焦點(diǎn)重合，則拋物線E上的動(dòng)點(diǎn)M到直線l1：4x－3y＋6＝0和l2：x＝－1的距離之和的最小值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　由雙曲線方程－4y2＝1(a>0)可得，雙曲線的右頂點(diǎn)為(a,0)，漸近線方程為y＝±x，即x±2ay＝0.∵雙曲線的右頂點(diǎn)到漸近線的距離等于，∴＝，解得a2＝，∴雙曲線的方程為－4y2＝1， ∴雙曲線的焦點(diǎn)為(1,0)．又拋物線E：y2＝2px的焦點(diǎn)與雙曲線C的右焦點(diǎn)重合， ∴p＝2，∴拋物線的方程為y2＝4x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)．如圖， 設(shè)點(diǎn)M到直線l1的距離為|MA|，到直線l2的距離為|MB|，則|MB|＝|MF|，∴|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MF|.結(jié)合圖形可得當(dāng)A，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MF|最小，且最小值為點(diǎn)F到直線l1的距離d＝＝2.故選B.