選填題(三) 一、選擇題 1．設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝的虛部是(　　) A. B．－ C．1 D．－1 答案　B 解析　z＝＝＝－i，所以復(fù)數(shù)z的虛部為－，選B. 2．已知集合A＝{x|y＝ln x}，B＝{x|y＝}，則A∩B＝(　　) A．{x|0<x≤2} B．{x|0≤x<2} C．{x|1≤x<2} D．{x|1<x≤2} 答案　A 解析　∵A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤2}， ∴A∩B＝{x|0<x≤2}． 3．(2019·山東日照5月校際聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是角α終邊上的一點，則sin2α＝(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　B 解析　設(shè)r為點P到坐標(biāo)原點的距離，由三角函數(shù)定義得sinα＝＝，cosα＝＝，所以sin2α＝2sinαcosα＝，故選B. 4．(2019·全國卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就．實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通信聯(lián)系．為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行．L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設(shè)地球質(zhì)量為M1，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：＋＝(R＋r)·.設(shè)α＝.由于α的值很小，因此在近似計算中≈3α3，則r的近似值為(　　) A. R B. R C. R D. R 答案　D 解析　由α＝得r＝αR，代入＋＝(R＋r)·，整理得＝.又∵≈3α3，∴3α3≈，∴α≈ ，∴r＝αR≈ R.故選D. 5. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的n為(　　) A．9 B．11 C．13 D．15 答案　C 解析　由程序框圖可知，S是對進行累乘，直到S<時停止運算，即當(dāng)S＝1×××××<時循環(huán)終止，此時輸出的n＝13，故選C. 6．某班從3名男生和2名女生中任意抽取2名學(xué)生參加活動，則抽到2名學(xué)生性別相同的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　記3名男生為1,2,3,2名女生為a，b，從這5人中任取2人，有以下情況：{1,2}，{1,3}，{1，a}，{1，b}，{2,3}，{2，a}，{2，b}，{3，a}，{3，b}，{a，b}，共10種等可能的情況．其中性別相同的有4種，故所求概率P＝＝. 7．設(shè)直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為(　　) A. B. C．2 D. 答案　A 解析　設(shè)雙曲線C的標(biāo)準方程為－＝1(a>0，b>0)，由于直線l過雙曲線的焦點且與對稱軸垂直，且l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，因此直線l的方程為x＝c或x＝－c，代入－＝1中得y2＝b2＝，∴y＝±，故|AB|＝， 依題意＝4a，∴＝2，∴＝e2－1＝2， ∴e＝，選A. 8．某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是(　　) A. B. C．1 D．3 答案　D 解析　該幾何體是四棱錐，其直觀圖如圖所示，由題意得V四棱錐＝××(1＋2)×2x＝3，解得x＝3. 9．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＋(－1)n＋1an＝2，則其前100項和為(　　) A．250 B．200 C．150 D．100 答案　D 解析　因為an＋1＋(－1)n＋1an＝2， 所以a2＋a1＝2， a4＋a3＝2， a6＋a5＝2， … a100＋a99＝2. 以上50個等式相加可得， 數(shù)列{an}的前100項和為2×50＝100. 10．(2019·河南省鶴壁高中壓軸二)在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，若ac＝4，sinB＋2sinCcosA＝0，則△ABC面積的最大值為(　　) A．1 B. C．2 D．4 答案　A 解析　由正弦定理，得b＋2ccosA＝0，則b＋2c·＝0，即2b2＝a2－c2，所以cosB＝＝＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)c2＝，b2＝，a2＝4時取等號，所以B∈，所以0<sinB≤，則S△ABC＝acsinB≤×4×＝1，所以△ABC面積的最大值為1.故選A. 11．已知函數(shù)f(x)＝則f[f(x)]<2的解集為(　　) A．(1－ln 2，＋∞) B．(－∞，1－ln 2) C．(1－ln 2,1) D．(1,1＋ln 2) 答案　B 解析　因為當(dāng)x≥1時，f(x)＝x3＋x≥2，當(dāng)x<1時，f(x)＝2ex－1<2，所以f[f(x)]<2等價于f(x)<1，即2ex－1<1，解得x<1－ln 2，所以f[f(x)]<2的解集為(－∞，1－ln 2)，故選B. 12．(2019·湖南湘潭摸底考試) 如圖，記橢圓＋＝1，＋＝1內(nèi)部重疊區(qū)域的邊界為曲線C，P是曲線C上的任意一點，給出下列四個命題： ①P到F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0,4)四點的距離之和為定值； ②曲線C關(guān)于直線y＝x，y＝－x均對稱； ③曲線C所圍區(qū)域的面積必小于36； ④曲線C的總長度不大于6π. 其中所有正確命題的序號為(　　) A．①③ B．②③ C．③④ D．②③④ 答案　B 解析　對于①，若點P在橢圓＋＝1上，P到F1(－4，0)，F(xiàn)2(4,0)兩點的距離之和為定值，到E1(0，－4)，E2(0,4)兩點的距離之和不為定值，故①錯誤；對于②，聯(lián)立兩個橢圓的方程，得 得y2＝x2，結(jié)合橢圓的對稱性知，曲線C關(guān)于直線y＝x，y＝－x均對稱，故②正確；對于③，曲線C所圍區(qū)域在邊長為6的正方形內(nèi)部，所以其面積必小于36，故③正確；對于④，曲線C所圍區(qū)域的內(nèi)切圓為半徑為3的圓，所以曲線C的總長度必大于圓的周長6π，故④錯誤．故選B. 二、填空題 13．在菱形ABCD中，A(－1,2)，C(2,1)，則·＝________. 答案?。? 解析　設(shè)菱形ABCD的對角線交于點M，則＝＋，⊥，＝－，又＝(3，－1)，所以·＝(＋)·＝－AC2＝－5. 14．若過曲線f(x)＝xln x上的點P處的切線的斜率為2，則點P的坐標(biāo)是________． 答案　(e，e) 解析　設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，∵f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1， 曲線f(x)＝xln x上點P處的切線斜率為2， ∴f′(x0)＝ln x0＋1＝2，解得x0＝e.y0＝eln e＝e. 故點P的坐標(biāo)為(e，e)． 15．某貨運員擬運送甲、乙兩種貨物，每件貨物的體積、重量、可獲利潤以及運輸限制如表： 貨物 體積(升/件) 重量(千克/件) 利潤(元/件) 甲 20 10 8 乙 10 20 10 運輸限制 110 100 在最合理的安排下，獲得的最大利潤為________． 答案　62元 解析　設(shè)該貨運員運送甲種貨物x件，乙種貨物y件，獲得的利潤為z元，則由題意得 即z＝8x＋10y，作出不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分所示，結(jié)合圖象可知，當(dāng)直線z＝8x＋10y經(jīng)過點(4,3)時，目標(biāo)函數(shù)z＝8x＋10y取得最大值，zmax＝62，所以獲得的最大利潤為62元． 16．(2019·安徽皖江摸底考試)設(shè)函數(shù)f(x)＝6x2ex－3ax＋2a(e為自然對數(shù)的底數(shù))，當(dāng)x∈R時，f(x)≥0恒成立，則實數(shù)a的最大值為________． 答案　6e 解析　∵f(x)≥0， ∴6x2ex≥a(3x－2)， 令g(x)＝6x2ex， y＝a(3x－2)，則 g′(x)＝6(2x＋x2)ex， 由g′(x)＝0，得x＝0或x＝－2，分別作出g(x)＝6x2ex，y＝a(3x－2)的圖象，要使g(x)＝6x2ex的圖象不在y＝a(3x－2)的圖象下方，設(shè)切點P(x0，y0)，切線為y－y0＝k(x－x0)，即y－6xe＝6(x＋2x0)(x－x0)e，由切線過得，0－6x·e＝6(x＋2x0)e，∴x0＝0或－x0＝(x0＋2)，即x0＝0或x0＝1或x0＝－，由圖象知0≤a≤g′(1)＝6e.故實數(shù)a的最大值為6e.