解答題(五) 17．(2019·江西省吉安市高三下學期第一次模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2ccosB＝2a＋b. (1)求角C的大??； (2)若函數(shù)f(x)＝2sin＋mcos2x圖象的一條對稱軸方程為x＝，且f＝，求cos的值． 解　(1)由題意，得2sinCcosB＝2sinA＋sinB，又由A＝π－(B＋C)，得sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以2sinCcosB＝2sinBcosC＋2cosBsinC＋sinB，即2sinBcosC＋sinB＝0，又因為B∈(0，π)，則sinB>0，所以cosC＝－，又∵C∈(0，π)，∴C＝. (2)因為f(x)＝2sin＋mcos2x＝2sin2x·cos＋2cos2xsin＋mcos2x＝sin2x＋(m＋1)·cos2x，又函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸方程為x＝＝，∴f(0)＝f，得m＋1＝sin＋(m＋1)cos，解得m＝－2，∴f(x)＝sin2x－cos2x＝2sin，又f＝2sin＝， ∴sin＝，∴cos＝cos＝1－2sin2＝. 18．(2019·廣東汕頭一模)如圖所示，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，且PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E是BC的中點，F(xiàn)是PC上的點． (1)求證：平面AEF⊥平面PAD； (2)若M是PD的中點，當AB＝AP時，是否存在點F，使直線EM與平面AEF所成角的正弦值為？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由． 解　(1)證明：連接AC，∵底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形，∵E是BC的中點， ∴AE⊥BC，又AD∥BC，∴AE⊥AD， ∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD， ∴PA⊥AE，又PA∩AD＝A， ∴AE⊥平面PAD，又AE?平面AEF， ∴平面AEF⊥平面PAD. (2)以A為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設AB＝AP＝2，則AE＝， 則A(0,0,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(，0,0)，M(0,1,1)， 設＝λ＝λ(，1，－2)，則＝＋＝(0,0,2)＋λ(，1，－2)＝(λ，λ，2－2λ)，又＝(，0,0)， 設n＝(x，y，z)是平面AEF的一個法向量， 則 取z＝λ，得n＝(0,2λ－2，λ)，設直線EM與平面AEF所成角為θ，由＝(－，1,1)， 得sinθ＝|cos〈，n〉| ＝ ＝＝， 化簡得10λ2－13λ＋4＝0，解得λ＝或λ＝，故存在點F滿足題意，此時為或. 19．(2019·山東聊城二模)某學校為倡導全體學生為特困學生捐款，舉辦“一元錢，一片心，誠信用水”活動，學生在購水處每領(lǐng)取一瓶礦泉水，便自覺向捐款箱中至少投入一元錢．現(xiàn)統(tǒng)計了連續(xù)5天的售出水量和收益情況，如下表： 售出水量x/箱 7 6 6 5 6 收益y/元 165 142 148 125 150 (1)試建立y關(guān)于x的線性回歸方程； (2)預測售出8箱水的收益； (3)已知售出10箱水時的收益為225元，求殘差. 附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為＝，＝－ . 解　(1)由所給數(shù)據(jù)計算得＝×(7＋6＋6＋5＋6)＝6， ＝×(165＋142＋148＋125＋150)＝146， iyi＝7×165＋6×142＋6×148＋5×125＋6×150＝4420， ＝72＋62＋62＋52＋62＝182， 所以＝＝＝20， 所以＝－ ＝146－20×6＝26. 故所求線性回歸方程為＝20x＋26. (2)將x＝8代入線性回歸方程＝20x＋26中， 得＝20×8＋26＝186， 所以預測售出8箱水的收益為186元． (3)當x＝10時，＝20×10＋26＝226， 所以殘差＝225－226＝－1. 20．(2019·湖北荊門四校六月考前模擬)已知函數(shù)f(x)＝＋a(x－ln x)，a∈R. (1)當a＝－e時，求f(x)的最小值； (2)若f(x)有兩個零點，求參數(shù)a的取值范圍． 解　(1)f(x)＝＋a(x－ln x)，定義域為(0，＋∞)， f′(x)＝＋＝， 當a＝－e時，f′(x)＝，由于ex>ex在(0，＋∞)上恒成立，故f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增． 故f(x)min＝f(1)＝e＋a＝0. (2)f′(x)＝，當a＝－e時，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)min＝f(1)＝e＋a＝0，f(x)只有一個零點． 當a>－e時，ax>－ex，故ex＋ax>ex－ex≥0在(0，＋∞)上恒成立，故f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．f(x)min＝f(1)＝e＋a>0，故當a>－e時，f(x)沒有零點. 當a<－e時，令ex＋ax＝0，得＝－a，設φ(x)＝，則φ′(x)＝，所以φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，φ(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．φ(x)min＝φ(1)＝e，設h(x)＝ex＋ax，則h(x)在(0，＋∞)有兩個零點x1，x2，且x1<x2，則0<x1<1<x2，則f(x)在(0，x1)上單調(diào)遞減，在(x1,1)上單調(diào)遞增，在(1，x2)上單調(diào)遞減，在(x2，＋∞)上單調(diào)遞增，f(1)＝e＋a<0，又x→0，f(x)→＋∞，x→＋∞，f(x)→＋∞， 此時f(x)有兩個零點． 綜上，若f(x)有兩個零點，則a<－e. 21．(2019·湖南株洲二模)已知拋物線E：y2＝2px(p>0)經(jīng)過點A(1,2)，過A作兩條不同直線l1，l2，其中直線l1，l2關(guān)于直線x＝1對稱． (1)求拋物線E的方程及準線方程； (2)設直線l1，l2分別交拋物線E于B，C兩點(均不與A重合)，若以線段BC為直徑的圓與拋物線E的準線相切，求直線BC的方程． 解　(1)∵拋物線E過點A(1,2)，∴2p＝4，解得p＝2， ∴拋物線的方程為y2＝4x，準線方程為x＝－1. (2)解法一：不妨設B在C的左邊，從而可設直線AB的方程為x－1＝m(y－2)(m>0)，即x＝my－2m＋1，由 整理得y2－4my＋8m－4＝0. 設B(xB，yB)，則yB＋2＝4m，故yB＝4m－2， ∴xB＝4m2－4m＋1， ∴點B的坐標為(4m2－4m＋1,4m－2)． 又由條件得AB與AC的傾斜角互補，以－m代替點B坐標中的m，可得點C的坐標為(4m2＋4m＋1，－4m－2)． ∴|BC|＝＝8m， 且BC的中點的橫坐標為＝4m2＋1， ∵以線段BC為直徑的圓與拋物線E的準線相切， ∴4m2＋1＋1＝＝4m，解得m＝， ∴B(3－2，2－2)，C(3＋2，－2－2)， ∴kBC＝－1，∴直線BC的方程為y－(2－2)＝－(x－3＋2)，即x＋y－1＝0. 解法二：設B(x1，y1)，C(x2，y2)，∵直線l1，l2關(guān)于x＝1對稱，∴AB與AC的傾斜角互補， ∴kAB＋kAC＝＋＝＋ ＝＋＝0， ∴y1＋y2＝－4， ∴kBC＝＝＝＝－1， 設直線BC的方程為y＝－x＋m， 由整理得x2－(2m＋4)x＋m2＝0， ∴x1＋x2＝2m＋4，x1x2＝m2， ∴|BC|＝|x1－x2|＝4，且BC的中點D的橫坐標為＝m＋2，∵以線段BC為直徑的圓與拋物線的準線x＝－1相切，∴＋1＝，即m＋3＝2，解得m＝1, ∴直線BC的方程為y＝－x＋1，即x＋y－1＝0. 22．(2018·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ2＋2ρcosθ－3＝0. (1)求C2的直角坐標方程； (2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程． 解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， 得C2的直角坐標方程為(x＋1)2＋y2＝4. (2)解法一：由(1)知C2是圓心為A(－1,0)，半徑為2的圓． 由題設知，C1是過點B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線，曲線C1的方程為y＝記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.由于點B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點． 當l1與C2只有一個公共點時，點A到l1所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝－或k＝0. 經(jīng)檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點；當k＝－時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩個公共點． 當l2與C2只有一個公共點時，點A到l2所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝0或k＝. 經(jīng)檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點；當k＝時，l2與C2沒有公共點. 綜上，所求C1的方程為y＝－|x|＋2. 解法二：因為C2：(x＋1)2＋y2＝4，所以C2是以(－1,0)為圓心，2為半徑的圓． 又因為C1：y＝k|x|＋2是關(guān)于y軸對稱的兩條射線， 且C1：y＝ 顯然，若k＝0時，C1與C2相切，此時只有一個公共點； 若k>0時，C1與C2無公共點． 若C1與C2有且僅有三個公共點， 則必須滿足k<0且y＝kx＋2(x>0)與C2相切， 設圓心到射線的距離為d，則d＝＝2， 所以k＝0或k＝－，因為k<0，所以k＝－， 所以C1：y＝－|x|＋2. 23．(2018·全國卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|. (1)當a＝1時，求不等式f(x)>1的解集； (2)若x∈(0,1)時不等式f(x)>x成立，求a的取值范圍． 解　(1)當a＝1時，f(x)＝|x＋1|－|x－1|， 即f(x)＝ 故不等式f(x)>1的解集為. (2)當x∈(0,1)時|x＋1|－|ax－1|>x成立等價于當x∈(0,1)時|ax－1|<1成立． 若a≤0，則當x∈(0,1)時，|ax－1|≥1不符合題意； 若a>0，|ax－1|<1的解集為0<x<，所以≥1，故0<a≤2. 綜上，a的取值范圍為(0,2]．