壓軸題(四) 12．已知函數(shù)f(x)＝ax－a2－4(a>0，x∈R)，若p2＋q2＝8，則的取值范圍是(　　) A．(－∞，2－) B．[2＋，＋∞) C．(2－，2＋) D．[2－，2＋] 答案　D 解析　＝＝，表示點A(p，q)與點B連線的斜率．又a＋≥4，故取點E(4,4)． 當AB與圓的切線EC重合時，kAB取最小值， 可求得kEC＝tan15°＝2－，所以的最小值為2－； 當AB與圓的切線ED重合時，kAB取最大值， 可求得kED＝tan75°＝2＋， ∴的最大值為2＋；故的取值范圍是[2－，2＋]． 16．(2019·江西上饒重點中學六校第二次聯(lián)考)已知橢圓C的方程為＋＝1，A，B為橢圓C的左、右頂點，P為橢圓C上不同于A，B的動點，直線x＝6與直線PA，PB分別交于M，N兩點，若點D(9,0)，則過D，M，N三點的圓必過x軸上不同于點D的定點，則該定點坐標為________． 答案　(3,0) 解析　首先證明橢圓的一個性質(zhì)：橢圓＋＝1(a＞b＞0)，點A，B是橢圓上關于原點對稱的兩點，P是橢圓上異于A，B的一個點， 則kAPkBP＝－. 證明如下：設P(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，由于A，P是橢圓上的兩點，故 兩式作差可得＋＝0，此時kAPkBP＝·＝＝－.故結(jié)論成立． 設直線PA的斜率為k1，直線PB的斜率為k2，由題意可知k1k2＝－＝－，設直線PA的方程為y＝k1(x＋3)，則M(6,9k1)，設直線PB的方程為y＝k2(x－3)，則N(6,3k2)，故kDM·kDN＝·＝3k1k2＝－1，故DM⊥DN，MN為△DMN外接圓的直徑，設所求的點為E(m,0)(m≠9)，則kEM·kEN＝·＝－1， 即－(6－m)2＝27k1k2＝－9，解得m＝3(m＝9舍去)．綜上可得，所求定點的坐標為(3,0)． 20．已知動點P到點F的距離比它到直線x＝－的距離小2. (1)求動點P的軌跡方程； (2)記P點的軌跡為E，過點F、斜率存在且不為0的兩直線l1，l2分別與曲線E交于M，N，P，Q四點，若l1⊥l2，證明：＋為定值． 解　(1)由題意可知動點P到點F的距離與它到直線x＝－的距離相等，顯然動點P的軌跡是拋物線，設其方程為y2＝2px(p>0)，易知p＝，所以動點P的軌跡方程為y2＝x. (2)證明：由題意，直線l1的斜率存在，可設直線l1：y＝k.由 得k2x2－x＋＝0. 設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝＝. 于是|MN|＝x1＋x2＋p＝＋＝. 同理可得|PQ|＝＝k2＋1. 所以＋＝＋＝1，為定值． 21．已知函數(shù)f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋ln x，a∈R. (1)當a＝1時，求曲線y＝f(x)在x＝2處的切線方程； (2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性． 解　(1)函數(shù)f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋ln x的定義域是(0，＋∞)． 當a＝1時，f(x)＝x2－3x＋ln x， f′(x)＝2x－3＋＝＝. 曲線y＝f(x)在x＝2處的切線斜率為f′(2)＝，f(2)＝－2＋ln 2， 故曲線y＝f(x)在x＝2處的切線方程為y－f(2)＝f′(2)·(x－2)， 即y－(－2＋ln 2)＝(x－2)，化簡得3x－2y－10＋2ln 2＝0. (2)因為f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋ln x， 從而f′(x)＝2ax－(2a＋1)＋＝ ＝，x>0. 當a≤0時，x∈(0,1)時，f′(x)>0；x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減； 當0<a<時，由f′(x)>0，得0<x<1或x>；由f′(x)<0，得1<x<，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減； 當a＝時，因為f′(x)≥0(當且僅當x＝1時取等號)，所以f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增； 當a>時，由f′(x)>0，得0<x<或x>1；由f′(x)<0，得<x<1，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間和區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．