壓軸題(六) 12．將三個邊長為2的正方形，按如圖所示的方式剪成6部分，拼接成如圖所示的形狀，再折成一個封閉的多面體，則該多面體的體積為(　　) A．4 B．2 C． D． 答案　A 解析　該多面體是一個大的四面體減去三個小的四面體，其中大四面體的底面是邊長為3的正三角形，其余三條棱長均為3；三個小四面體的底面是邊長為的正三角形，其余三條棱長均為1，所以V＝×3××3×3－3＝4.故選A. 16．(2019·石家莊市重點(diǎn)高中高三摸底)已知等比數(shù)列{an}滿足：a1＝4，Sn＝pan＋1＋m(p>0)，則p－取最小值時，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝________. 答案　4×3n－1 解析　∵Sn＝pan＋1＋m，∴Sn－1＝pan＋m(n≥2)， ∴an＝Sn－Sn－1＝pan＋1－pan(n≥2)， ∴pan＋1＝(p＋1)an(n≥2)， ∴＝(n≥2)， 又n＝1時，a1＝S1＝pa2＋m＝4， ∴a2＝，＝. ∵{an}為等比數(shù)列，∴＝＝， ∵p>0，∴p＝－， ∴m＝－4p，p－＝p＋≥2 ＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)p＝，p＝時取等號，此時等比數(shù)列的公比＝3，∴an＝4×3n－1. 20．已知M為橢圓C：＋＝1上的動點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為D，點(diǎn)P滿足＝. (1)求動點(diǎn)P的軌跡E的方程； (2)若A，B兩點(diǎn)分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的左焦點(diǎn)，直線PB與橢圓C交于點(diǎn)Q，直線QF，PA的斜率分別為kQF，kPA，求的取值范圍． 解　(1)設(shè)P(x，y)，M(m，n)，依題意，知D(m,0)，且y≠0. 由＝，得(m－x，－y)＝(0，－n)， 則有? 又M(m，n)為橢圓C：＋＝1上的點(diǎn)， ∴＋＝1，即x2＋y2＝25， 故動點(diǎn)P的軌跡E的方程為x2＋y2＝25(y≠0)． (2)依題意，知A(－5,0)，B(5,0)，F(xiàn)(－4,0)， 設(shè)Q(x0，y0)， ∵線段AB為圓E的直徑， ∴AP⊥BP，設(shè)直線PB的斜率為kPB，則kPA＝－， ＝＝－kQFkPB＝－kQFkQB ＝－·＝－ ＝－＝ ＝＝， ∵點(diǎn)P不同于A，B兩點(diǎn)且直線QF的斜率存在， ∴－5<x0<5且x0≠－4， 又y＝在(－5，－4)和(－4,5)上都是減函數(shù)， ∴∈(－∞，0)∪， 故的取值范圍是(－∞，0)∪. 21．(2019·湘贛十四校聯(lián)考二)已知函數(shù)f(x)＝(ax－1)ex＋a. (1)若f(x)≥f(0)恒成立，求f(x)在(1，f(1))處的切線方程； (2)若f(x)<ax有且只有兩個整數(shù)解，求a的取值范圍． 解　(1)∵f(x)＝(ax－1)ex＋a， ∴f′(x)＝(ax－1＋a)ex， ∵f(x)≥f(0)恒成立，∴f′(0)＝a－1＝0， ∴a＝1. 當(dāng)a＝1時，f′(x)＝xex，∴f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)≥f(0)恒成立， ∴a＝1符合題意， ∴f(x)＝(x－1)ex＋1，f′(x)＝xex， 故f(1)＝1，f′(1)＝e， ∴f(x)在(1，f(1))處的切線方程為y－1＝e(x－1)，即y＝ex－e＋1. (2)由f(x)＝(ax－1)ex＋a<ax化簡，得a(xex－x＋1)<ex， ①當(dāng)a≤0，x>0時，xex－x＋1>0，∴a(xex－x＋1)≤0＜ex恒成立，此時f(x)＝(ax－1)ex＋a<ax有無數(shù)個整數(shù)解，不符合題意． ②當(dāng)a>0時，原不等式可化為>x－＋， 令h(x)＝x－＋，∴h′(x)＝， 令φ(x)＝ex＋x－2，則φ′(x)＝ex＋1， ∴φ(x)在R上單調(diào)遞增，又φ(0)＝－1<0，φ(1)＝e－1>0，∴存在唯一的x0∈(0,1)使得φ(x0)＝0，∴h(x)在(－∞，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，且x0∈(0,1)，又h(0)＝1，h(1)＝1，h(－1)＝2e－1，h(2)＝2－， ∴當(dāng)原不等式有且只有兩個整數(shù)解時， 1<≤2－，即≤a<1.