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2008暑假第三次數(shù)學(xué)建模模擬競(jìng)賽 西部地區(qū)農(nóng)田基本建設(shè)規(guī)劃方案 摘要 在我國(guó)西北部某些干旱地區(qū)，水資源量不足是發(fā)展農(nóng)牧業(yè)生產(chǎn)的主要限制因素之一。本文圍繞合理開發(fā)利用水資源，農(nóng)田改造等，建立線性規(guī)劃模型，從而為政府提供科學(xué)的農(nóng)田基本建設(shè)規(guī)劃方案。 根據(jù)問題一中提供的耕地、供水量及收益情況，取規(guī)劃期限為十年，建立以凈收益最大為目標(biāo)函數(shù)，投資額、可利用水量、國(guó)家征購(gòu)指標(biāo)及改造土地與原土地關(guān)系為約束的線性規(guī)劃模型。使用lingo9.0求解后，得到不修建水庫(kù)，8.2萬(wàn)畝第Ⅱ類耕地完全改造為第Ⅰ類耕地，3.5萬(wàn)畝荒地全部直接開墾為第一類耕地的建設(shè)方案，規(guī)劃年份內(nèi)獲得最大收益為71.82百萬(wàn)元。其中第Ⅰ類耕地中小麥揚(yáng)花時(shí)可以灌溉的耕地面積和不灌溉的耕地面積分別為5.357143萬(wàn)畝、8.842857萬(wàn)畝。 其后，我們引入更接近實(shí)際情況的等額分付回收公式，將不同年份的資金按其時(shí)間價(jià)值折算為同一時(shí)間的資金值對(duì)問題一的模型進(jìn)行改進(jìn)。用資本回收因子 乘以投資額得到相應(yīng)于各改造項(xiàng)目的資本回收系數(shù)對(duì)目 標(biāo)函數(shù)進(jìn)行修正，得到改進(jìn)后的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型。方案并未做調(diào)整，規(guī)劃年份內(nèi)的最大收益修正為70.17百萬(wàn)元。 對(duì)于問題二，建立使單年收益與等額分付償還金額之差達(dá)到最大為目標(biāo)函數(shù)，在投資額、可利用電量、國(guó)家征購(gòu)指標(biāo)等方面受到約束的線性規(guī)劃模型。最佳收益為22.0125百萬(wàn)元。應(yīng)該對(duì)主河道進(jìn)行治理。規(guī)劃期內(nèi)由I類改造為III類的土地面積為3.5萬(wàn)畝，由II類改造為IV類、III類改造為IV類的土地面積分別為1.25萬(wàn)畝和4.5萬(wàn)畝。 問題三的模型建立沿用問題一、二中的一般方法，目標(biāo)函數(shù)為每年收益與等額分付償還金額之差，綜合多個(gè)流域耗電量，農(nóng)作物產(chǎn)量，政府可籌集資產(chǎn)，土地資源和供水量等因素的限制建立線性規(guī)劃模型。 最后，文章給出了以上三個(gè)線性規(guī)劃模型的綜合評(píng)價(jià)及改進(jìn)的方向。 關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃 農(nóng)田基本建設(shè) 等額分付 lingo9.0 1問題重述 在我國(guó)西北部某些干旱地區(qū)，水資源量不足是發(fā)展農(nóng)牧業(yè)生產(chǎn)的主要限制因素之一。暨國(guó)家西部大開發(fā)和新農(nóng)村建設(shè)之際，科學(xué)開發(fā)利用水資源，加強(qiáng)農(nóng)田水利工程建設(shè)，合理開發(fā)后備耕地資源和改造中低產(chǎn)田已成為促進(jìn)農(nóng)業(yè)增產(chǎn)、農(nóng)民增收的首要任務(wù)。如何合理規(guī)劃建設(shè)水利工程，發(fā)揮最大的水利經(jīng)濟(jì)效益，是解決上述問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。 問題1： 某地區(qū)現(xiàn)有耕地可分為兩種類型，第Ⅰ類耕地各種水利設(shè)施配套，土地平整，排灌便利；第Ⅱ類耕地則未具備以上條件。其中第Ⅰ類耕地有2.5萬(wàn)畝，第Ⅱ類耕地有8.2萬(wàn)畝，此外尚有宜墾荒地3.5萬(wàn)畝。該地區(qū)主要作物是小麥，完全靠地表水進(jìn)行灌溉。由于地表水的供應(yīng)量隨季節(jié)波動(dòng)，在小麥揚(yáng)花需水時(shí)恰逢枯水季節(jié)，往往由于缺水使一部分麥田無(wú)法灌溉，影響產(chǎn)量。而且由于第Ⅱ類耕地條件差，土地不平整，所以灌溉定額高，浪費(fèi)水量比較大，并且產(chǎn)量還不及第Ⅰ類耕地高。進(jìn)一步合理利用水資源的措施有二：其一是進(jìn)行農(nóng)田建設(shè)，把一部分第Ⅱ類耕地改造成為第Ⅰ類耕地，以節(jié)約用水，提高單產(chǎn)；其二是修建一座水庫(kù)，閑水期蓄水，到小麥揚(yáng)花需水的枯水期放水，從而調(diào)節(jié)全年不用季節(jié)的水量。目前該地區(qū)在整個(gè)小麥生長(zhǎng)期的地表水資源可利用量為96.5百萬(wàn)方，其中小麥揚(yáng)花需水季節(jié)可供水量為7.5百萬(wàn)方。水庫(kù)建成后在小麥揚(yáng)花需水季節(jié)可多供水量為6.5百萬(wàn)方。修建水庫(kù)需要投資5.5百萬(wàn)元，將第Ⅱ類耕地改造為第Ⅰ類耕地每畝需要投資20元，將荒地開墾為第Ⅱ類耕地每畝需要投資85元，將荒地直接開墾為第Ⅰ類耕地每畝需要投資100元。規(guī)劃期內(nèi)，計(jì)劃總投資額為9百萬(wàn)元。該地區(qū)對(duì)小麥的需求量及國(guó)家征購(gòu)指標(biāo)共計(jì)2萬(wàn)噸，超額向國(guó)家交售商品糧每噸可加價(jià)100元。各種條件下水的灌溉額及凈收益情況如下表1： 表1： 規(guī)劃年各種條件下的灌溉定額及凈收益 類別 全生長(zhǎng)期澆水量 （百方/畝） 揚(yáng)花時(shí)澆水量 （百方/畝） 單產(chǎn) (噸/畝） 凈產(chǎn)值 （百元/畝） 揚(yáng)花時(shí)澆水的第Ⅰ類耕 7.5 1.4 0.25 0.52 揚(yáng)花時(shí)不澆水的第Ⅰ類耕 6.1 0.0 0.2 0.43 揚(yáng)花時(shí)澆水的第Ⅱ類耕 9.0 1.65 0.23 0.47 揚(yáng)花時(shí)不澆水的第Ⅱ類耕 7.35 0.0 0.185 0.39 為了充分利用水資源，發(fā)揮最大的經(jīng)濟(jì)效益，規(guī)劃期內(nèi)應(yīng)該將多少畝第Ⅱ類耕地改造為第Ⅰ類耕，應(yīng)該開墾多少畝荒地，水庫(kù)有沒有必要修建。 問題2： 另一地區(qū)現(xiàn)有4種類型土地，其基本情況如表2所示。 表2： 某地區(qū)現(xiàn)有土地基本情況 土地類型 農(nóng)田工程條件 現(xiàn)有面積 （萬(wàn)畝） 單產(chǎn) （萬(wàn)噸/萬(wàn)畝） 生產(chǎn)耗電 （百萬(wàn)度/萬(wàn)畝） 凈產(chǎn)值 （百萬(wàn)元/萬(wàn)畝） Ⅰ 無(wú)抗旱，無(wú)排澇 6．0 0．075 0．0 1．5 Ⅱ 無(wú)抗旱，有排澇 2．5 0．1 0．15 2．0 Ⅲ 有抗旱，無(wú)排澇 1．0 0．09 0．2 1．8 Ⅳ 有抗旱，有排澇 0．5 0．125 0．25 2．5 地方政府新農(nóng)村建設(shè)項(xiàng)目中計(jì)劃興建抗旱排澇設(shè)施。興建抗旱設(shè)施每萬(wàn)畝需投資100萬(wàn)元，若再建排澇設(shè)施則必須先治理該流域的主河道，主河道治理投資需300萬(wàn)元。主河道治理后可再使4.5萬(wàn)畝土地能夠搞排澇工程，每萬(wàn)畝需投資50萬(wàn)元。地方政府在規(guī)劃期內(nèi)可籌集資金1000萬(wàn)元，國(guó)家對(duì)該地區(qū)每年可供農(nóng)業(yè)用電2.5百萬(wàn)度，當(dāng)?shù)貙?duì)糧食需求量及國(guó)家征購(gòu)任務(wù)總計(jì)為0.8萬(wàn)噸，超額生產(chǎn)糧食向國(guó)家交售每噸可加價(jià)100元。 地方政府應(yīng)該如何確立農(nóng)田基本建設(shè)規(guī)劃，使該地區(qū)到規(guī)劃期內(nèi)凈產(chǎn)值最大（資本回收因子取0.1）。 問題3：結(jié)合實(shí)際情況：一個(gè)地區(qū)可能有幾個(gè)流域，有若干條主河道需要治理，并且其土地類型也可能有若干類別，農(nóng)田水利條件又可分為若干等級(jí)，所種植的作物也不會(huì)只有一種，植物不同生長(zhǎng)期對(duì)水的需求量也各不相同。考慮上述因素，進(jìn)一步擴(kuò)展建模的思路及模型。 2 基本假設(shè) 1.問題一和問題二的模型假設(shè) 1)規(guī)劃期內(nèi)每年可利用水量始終恒定。 2)不考慮自然災(zāi)害對(duì)作物單產(chǎn)的影響。 3)排除經(jīng)濟(jì)震蕩因素對(duì)凈產(chǎn)值的影響。 4)規(guī)劃期內(nèi)年利息率為常數(shù)。 2.問題三的模型假設(shè) 1. 根據(jù)河道流域把該地區(qū)劃分為n個(gè)子區(qū)域，，每個(gè)區(qū)域內(nèi)有一個(gè)內(nèi)有一個(gè)河道。 2．根據(jù)土地類型把土地分為l類，包括高地，平原，洼地等。 3．根據(jù)地的可耕作和水利情況分為五類，即荒地，無(wú)抗旱無(wú)排澇耕地，有抗旱無(wú)排澇耕地，無(wú)抗旱有排澇耕地，有抗旱有排澇耕地。 4．農(nóng)作物分為k類,各種農(nóng)作物的不同時(shí)期對(duì)于水的需求量不同。我們只考慮在農(nóng)作物最需要水的那個(gè)時(shí)期能滿足它的需水要求。 5.根據(jù)地的可耕作和水利情況改造時(shí)，從第j種改造到第j+2種地所需要的費(fèi)用和先從第j種改造到第j+1種再?gòu)膉+1種第改造到第j+2種所需要的費(fèi)用相同。所以我們?cè)诟脑焱恋貢r(shí)只考慮向高一個(gè)等級(jí)的地改造，不考慮向高2個(gè)以上的等級(jí)的地改造。 6.資本回收因子為常數(shù) 3 問題一的建模與求解 3.1 問題分析 問題一是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題，通過改造第Ⅱ類土地，開發(fā)荒地及合理分配揚(yáng)花期澆水的各類土地的畝數(shù)以達(dá)到最佳收益。水庫(kù)的修建與否，可用一個(gè)0-1變量進(jìn)行控制，0表示不修建水庫(kù)，1表示修建水庫(kù)。那么這個(gè)問題的目標(biāo)函數(shù)就是收益與投資之差的max函數(shù)，在投資額、可利用水量、國(guó)家征購(gòu)指標(biāo)等方面受到限制。 3.2 符號(hào)說明 規(guī)劃期內(nèi)由第II類耕地改造為第I類耕地的面積(萬(wàn)畝) 規(guī)劃期內(nèi)由荒地直接開墾并改造為第I類耕地的面積(萬(wàn)畝) 規(guī)劃期內(nèi)由荒地開墾為第II類耕地的面積(萬(wàn)畝) 規(guī)劃年份第Ⅰ類耕地中，小麥揚(yáng)花時(shí)可以灌溉的耕地面積(萬(wàn)畝) 規(guī)劃年份第Ⅱ類耕地中，小麥揚(yáng)花時(shí)可以灌溉的耕地面積(萬(wàn)畝) 表示規(guī)劃期內(nèi)水庫(kù)是否興建的指標(biāo)變量，它的取值只能是0或1。若y＝0，表示不修建水庫(kù)；若y＝1，表示修建水庫(kù)。 N 表示投資回收年限 由此，改造后第Ⅰ、Ⅱ類耕地和荒地的面積分別為、 、（萬(wàn)畝） 3.3 模型建立及求解 1、可利用水資源約束： 揚(yáng)花時(shí)澆水的第Ⅰ類耕地、揚(yáng)花時(shí)不澆水的第Ⅰ類耕地、揚(yáng)花時(shí)澆水的第Ⅱ類耕地、揚(yáng)花時(shí)不澆水的第Ⅱ類耕地上的小麥全生長(zhǎng)期澆水量不超過96.5百萬(wàn)方。 （1） 揚(yáng)花時(shí)澆水的第Ⅰ類耕地和揚(yáng)花時(shí)澆水的第Ⅱ類耕地上的小麥在揚(yáng)花期的澆水量不超過7.5百萬(wàn)方，如果修建水庫(kù)，則不超過14百萬(wàn)方。 （2） 2、投資額約束： 規(guī)劃期內(nèi)由第II類耕地改造為第I類耕、由荒地開墾為第II類耕地、由荒地直接開墾并改造為第I類耕地的投資，如果修建水庫(kù)，則加水庫(kù)投資，這些投資總額不超過9百萬(wàn)元。 （3） 3、國(guó)家征購(gòu)指標(biāo)約束： 假設(shè)不對(duì)土地做任何改造也不修建水庫(kù)，即維持現(xiàn)狀，揚(yáng)花期所有土地都不澆水，可以計(jì)算出現(xiàn)有耕地的產(chǎn)量為2.0170萬(wàn)噸。顯然，無(wú)論怎樣進(jìn)行土地建設(shè)國(guó)家征購(gòu)指標(biāo)2萬(wàn)噸都能夠?qū)崿F(xiàn)。因此這個(gè)約束是多余的。 4、土地資源的約束： 改造的土地畝數(shù)不能多于原有土地畝數(shù)，揚(yáng)花期澆水的土地畝數(shù)不超過改造后的對(duì)應(yīng)土地畝數(shù)。 (4) 目標(biāo)函數(shù)是規(guī)劃期內(nèi)的收益總額與投資總額之差，記為Z。這里取N=10，即投資回收年限為10年。 綜上，問題一可以用以下數(shù)學(xué)模型來(lái)描述： s.t. 使用lingo9.0對(duì)該模型求解，得到以下最優(yōu)結(jié)果：Z=71.82 結(jié)果分析：投資回收年限為10年時(shí)y的值為0，說明不修建水庫(kù)。8.2萬(wàn)畝第Ⅱ類耕地完全改造為第Ⅰ類耕地，3.5萬(wàn)畝荒地全部直接開墾為第一類耕地。規(guī)劃年份第Ⅰ類耕地中小麥揚(yáng)花時(shí)可以灌溉的耕地面積和不灌溉的耕地面積分別為5.357143萬(wàn)畝、8.842857萬(wàn)畝。經(jīng)過改造后，將不再有第Ⅱ類耕地和荒地。這樣規(guī)劃年份內(nèi)獲得最大收益為71.82百萬(wàn)元。 可以看到上述結(jié)果中=0，我們用實(shí)際改造情況來(lái)分析0的含義。根據(jù)題中條件，由第Ⅱ類耕地改造為第Ⅰ類耕地的投資為20元/畝，由荒地開墾為第Ⅱ類耕地的費(fèi)用為85元/畝，而由荒地直接改造為第Ⅰ類耕地則要100元/畝，顯然100<20+85，即由荒地直接改造為第Ⅰ類的費(fèi)用小于由荒地開墾為第Ⅱ類耕地再改造為第Ⅰ類耕地的費(fèi)用。那么為了達(dá)到最大收益，與不能同時(shí)為正，即。對(duì)比的收益情況，=0時(shí)收益更大。 3.4 模型評(píng)價(jià) 上述模型用數(shù)學(xué)語(yǔ)言很好地給出了符合該農(nóng)村土地建設(shè)條件的改造方案。但是仔細(xì)分析給出的模型發(fā)現(xiàn)，在實(shí)際生活中，土地規(guī)劃建設(shè)是一種長(zhǎng)期的投資，資金經(jīng)合理運(yùn)用一定時(shí)間后，所具有的贏利增值的潛在能力。利率越高、時(shí)間越長(zhǎng)，所贏得的利潤(rùn)及增值也越多（一般以復(fù)利公式加以計(jì)算）?，F(xiàn)在擁有的一定數(shù)量的資金，等價(jià)于若干年后更大數(shù)量的一筆資金；同理，若干年后的一筆資金，折算為現(xiàn)值時(shí)要打一折扣（一年后的資金折算為現(xiàn)在的資金時(shí)所打的折扣，稱為折現(xiàn)率）。由于土地建設(shè)是一項(xiàng)長(zhǎng)遠(yuǎn)計(jì)劃的工程，同樣也存在貨幣的時(shí)間價(jià)值問題。在此期間每年都可能投入或回收一定的資金。為了比較各方案的經(jīng)濟(jì)效率，需要將不同年份的資金按其時(shí)間價(jià)值折算為同一時(shí)間的資金值。 3.5 改進(jìn)后的模型及求解 下面我們引入等額分付回收公式進(jìn)行分析。 [2] A表示換算后等價(jià)的每年償還金額，P表示償還的資金總額，i為年利息率，n為投資回收年限。上述公式中為資本回收因子，用符號(hào) (A/P,i,n)表示。其含意為開始投入1元錢，當(dāng)利率為i時(shí),在n年的每年末可以提取的錢數(shù)。 顯然，用等額分付來(lái)代替償還金額的簡(jiǎn)單年平均更為合理。在本模型中，取N=10，根據(jù)存款年數(shù)不同，年利率也不同，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，我們?nèi)‖F(xiàn)行三年期的年率i=0.054。則資本回收因子可計(jì)算得CRF=0.1321，在目標(biāo)函數(shù)中，相應(yīng)于各改造項(xiàng)目的資本回收系數(shù)即為CRF乘以各自的投資額。譬如，相應(yīng)于的資本回收成本系數(shù)應(yīng)為0，13210.85=0.1123。 目標(biāo)函數(shù)修正為： Z的含義有所改變，由原來(lái)的規(guī)劃期內(nèi)的收益總額變?yōu)橐?guī)劃期內(nèi)平均每年的收益額，約束條件不變。那么，改進(jìn)后的問題一可以用下述模型來(lái)描述。 s.t. 使用lingo9.0對(duì)該模型求解，得到以下最優(yōu)結(jié)果：Z=7.017 與上個(gè)模型對(duì)比，改造方案沒有任何差別，但是投資收益卻減少了，7.01710<71.82。實(shí)際情況中，除了償還投資資金還要償還利息，收益減少就不言而喻了。顯然改進(jìn)后的模型要比原模型更加接近于實(shí)際情況?？梢钥吹剑谶@個(gè)模型中仍為0，進(jìn)一步驗(yàn)證了前述分析的。 3.6 不同投資回收年限對(duì)收益的影響 以上模型中，對(duì)于投資回收年限都是取定值N=10，不能夠很好地體現(xiàn)不同N值對(duì)收益的影響，下面我們將分析投資年限選取與投資收益間的關(guān)系，由于時(shí)間變化時(shí)，參數(shù)、各種限制條件和資本回收因子都將發(fā)生變化，所以只作短中期研究，認(rèn)為資本回收因子不變i=0.054，分別取N=20，N=30來(lái)做研究，得到結(jié)果如表3。 表3：不同投資年限的資本回收因子 N/年 10 20 30 CRF 0.1321 0.0830 0.0681 通過表3，投資年限越大，資本回收因子越小，在現(xiàn)實(shí)生活中很好理解，即投資年限越大，償還的時(shí)間就越長(zhǎng)，分配到每年的償還額越小。 使用lingo9.0分別求取不同投資年限后的收益。見表4。 表4：不同投資年限下的年平均收益 N/年 10 20 30 收益/百萬(wàn)元 7.017006 7.269380 7.345966 根據(jù)表4求得的結(jié)果，規(guī)劃期的年平均收益隨投資年限的增加而增加。因而在規(guī)劃時(shí)，可以適當(dāng)爭(zhēng)取較大的投資回收年限以求得更大的經(jīng)濟(jì)收益。 3.7 靈敏度分析 因?yàn)槲易龀龅木€性規(guī)劃是靜態(tài)模型，當(dāng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，原問題的最優(yōu)解可能會(huì)發(fā)生變化，所以我們對(duì)規(guī)劃期是10年的情況做一下靈敏度分析，從而研究參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，對(duì)最優(yōu)解產(chǎn)生了怎樣的影響。下面是N=10年時(shí)運(yùn)行l(wèi)ingo9.0得到的數(shù)據(jù)： Variable Value Reduced Cost X4 5.357143 0.000000 X1 8.200000 0.000000 X2 3.500000 0.000000 X5 0.000000 0.4000000E-01 X3 0.000000 0.3518500E-01 Y 0.000000 0.7655000E-01 Row Slack or Surplus Dual Price 1 7.017006 1.000000 2 2.380000 0.000000 3 0.000000 0.1000000 4 3.860000 0.000000 5 0.000000 0.2858000E-01 6 0.000000 0.4979000 7 8.842857 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 8.200000 0.000000 10 3.500000 0.000000 11 0.000000 0.000000 12 5.357143 0.000000 13 0.000000 0.000000 “Value”表示各個(gè)參數(shù)的值。 “Reduced Cost”列出最優(yōu)單純形表中判別數(shù)所在行的變量的系數(shù)，表示當(dāng)變量有微小變動(dòng)時(shí), 目標(biāo)函數(shù)的變化率。 因此基變量、、不發(fā)生變動(dòng)，當(dāng)、發(fā)生變單位變化時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的變化率為0.04和0.035，為0、1變量，所以不考慮其微小變化。 “Slack or Surplus”給出松馳變量的值。地表水資源對(duì)應(yīng)的松弛變量是7.017006，揚(yáng)花期水資源對(duì)應(yīng)的松弛變量是7.017006，投資額對(duì)應(yīng)的松弛變量是4.12，因此地表水資源的使用量為96.5-7.017006=89.483百萬(wàn)方，揚(yáng)花期水資源的使用量為6.5-7.017006=4.12百萬(wàn)方，實(shí)際的投資額為9-3.86=5.14萬(wàn)元， “Dual Price”（對(duì)偶價(jià)格）表示當(dāng)對(duì)應(yīng)約束有微小變動(dòng)時(shí), 目標(biāo)函數(shù)的變化率，地表水資源可利用量發(fā)生單位變化時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的變化值為1，計(jì)劃總投資額發(fā)生單位變化時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的變化值為0.1，因?yàn)榈冖耦惛?、第Ⅱ類耕地的面積是固定的，所以其變化沒有意義，我們不做研究。 4 問題二的建模與求解 4.1 問題分析 問題二與問題一類似，也是一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，通過改造水利設(shè)施較差的第Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ土地類型以達(dá)到最佳收益。是否對(duì)河道進(jìn)行治理，同樣可用一個(gè)0-1變量進(jìn)行控制，0表示不對(duì)河道進(jìn)行治理，1治理河道。根據(jù)問題一的改進(jìn)模型，建立使單年收益與等額分付償還金額之差達(dá)到最大為目標(biāo)函數(shù)，在投資額、可利用電量、國(guó)家征購(gòu)指標(biāo)等方面受到約束的線性規(guī)劃模型。 4.2 符號(hào)說明 規(guī)劃期內(nèi)由I類改造為II類的土地面積(萬(wàn)畝) 規(guī)劃期內(nèi)由I類改造為III類的土地面積(萬(wàn)畝) 規(guī)劃期內(nèi)由I類改造為IV類的土地面積(萬(wàn)畝) 規(guī)劃期內(nèi)由II類改造為IV類的土地面積(萬(wàn)畝) 規(guī)劃期內(nèi)由III類改造為IV類的土地面積(萬(wàn)畝) y 表示主河道是否治理的指標(biāo)變量，它的取值只能是0或1。若y＝0，不治理主河道；若y＝1，治理主河道。 由此，規(guī)劃后的I類、II類、III類、IV類土地的面積分別為（萬(wàn)畝） 4.3模型建立及求解 1、投資額的約束： 水利工程建設(shè)投資總額小于或等于規(guī)劃期內(nèi)能夠籌集到的資金額。 （1） 2、用電量的約束： 所有類型土地的生產(chǎn)用電量總和不得超過國(guó)家對(duì)該地區(qū)每年可供農(nóng)業(yè)用電2.5百萬(wàn)度。 仔細(xì)觀察題中所給的數(shù)字，若第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ類土地全部轉(zhuǎn)化為第Ⅳ類土地類型用電量為最大，計(jì)算得2.5，也就是說不論如何規(guī)劃都不會(huì)超過國(guó)家對(duì)該地區(qū)每年可供農(nóng)業(yè)用電量，顯然這個(gè)約束是多余的。 3、糧食需求量及國(guó)家征購(gòu)指標(biāo)約束： 四種類型土地的糧食產(chǎn)量總和應(yīng)高于國(guó)家征購(gòu)指標(biāo)。 假設(shè)保持現(xiàn)有土地類型畝數(shù)不變，不做任何改造，計(jì)算年度產(chǎn)量得0.8525，即不論對(duì)現(xiàn)有土地類型做何種規(guī)劃這個(gè)條件恒成立，因而這個(gè)約束也是多余的。 4、土地資源約束 如果對(duì)主河道進(jìn)行治理，無(wú)排澇設(shè)施的土地類型改造為有排澇設(shè)施總畝數(shù)小于4.5萬(wàn)畝。 （2） 改造后所有土地類型的畝數(shù)均非負(fù)，各改造變量都需滿足非負(fù)條件，則有： （3） 目標(biāo)函數(shù)是單年收益與等額分付償還金額之差，記為Z。 綜上，問題二可以用以下數(shù)學(xué)模型來(lái)描述。 s.t. 使用lingo9.0對(duì)該模型求解，得到以下最優(yōu)結(jié)果：Z=22.01250 結(jié)果分析：Y=1，說明應(yīng)該對(duì)主河道進(jìn)行治理。規(guī)劃期內(nèi)由I類改造為III類的土地面積為3.5萬(wàn)畝，內(nèi)由II類改造為IV類的土地面積為1.25萬(wàn)畝，由III類改造為IV類的土地面積為4.5萬(wàn)畝。規(guī)劃期末Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ類土地?cái)?shù)量分別為2.5萬(wàn)畝、1.25萬(wàn)畝、0萬(wàn)畝和6.25萬(wàn)畝。最佳收益為22.0125百萬(wàn)元。 4.4靈敏度分析 當(dāng)規(guī)劃期一定時(shí)，運(yùn)行l(wèi)ingo9.0得到如下數(shù)據(jù)： Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 0.000000 X2 3.500000 0.000000 X3 0.000000 0.000000 X4 1.250000 0.000000 X5 4.500000 0.000000 Y 1.000000 0.5625000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 22.01250 1.000000 2 2.500000 0.000000 3 1.250000 0.000000 4 0.000000 -0.1750000 5 0.000000 0.2750000 6 0.000000 0.5000000 7 0.000000 0.000000 8 3.500000 0.000000 9 0.000000 0.000000 10 0.000000 0.000000 11 1.250000 0.000000 12 4.500000 0.000000 “Value”表示各個(gè)參數(shù)的值。 “Reduced Cost”列出最優(yōu)單純形表中判別數(shù)所在行的變量的系數(shù)，表示當(dāng)變量有微小變動(dòng)時(shí), 目標(biāo)函數(shù)的變化率。 因此基變量、、不發(fā)生變動(dòng)，當(dāng)、發(fā)生變單位變化時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的變化率都為0，為0、1變量，所以不考慮其微小變化。 “Slack or Surplus”給出松馳變量的值。投資額這一項(xiàng)的松弛變量為0，因此實(shí)際的投資額為1000萬(wàn)。 “Dual Price”（對(duì)偶價(jià)格）表示當(dāng)對(duì)應(yīng)約束有微小變動(dòng)時(shí), 目標(biāo)函數(shù)的變化率。計(jì)劃總投資額發(fā)生單位變化時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的變化值為0.275，因?yàn)?種農(nóng)田工程條件下的土地面積是固定的，所以其變化沒有意義，我們不做研究。 5 問題三的建模與求解 5.1問題分析 此問題較前兩問更接近于實(shí)際，考慮因素由原來(lái)的相對(duì)較單一的單個(gè)流域轉(zhuǎn)化為多個(gè)流域耗電量，農(nóng)作物產(chǎn)量，政府可籌集資產(chǎn)，土地資源和供水量綜合因素的最優(yōu)方案。目標(biāo)函數(shù)仍然是規(guī)劃期內(nèi)每年收益與等額分付償還金額之差的最大化，約束條件來(lái)自于上述分析中的各因素限制情況。 5.2符號(hào)說明 n：河道數(shù)（子區(qū)域數(shù)） l:土地類型的種類; m:農(nóng)作物數(shù) :第k種農(nóng)作物的單產(chǎn)，其中t代表子區(qū)域，i代表土地類型，j代表地的水利和可耕作情況 ：第k種農(nóng)作物的耗電量，其中t代表子區(qū)域，i代表土地類型，j代表地的水利和可耕作情況 ：第k種農(nóng)作物的凈產(chǎn)量，其中t代表子區(qū)域，i代表土地類型，j代表地的水利和可耕作情況 ：第k種農(nóng)作物在全生長(zhǎng)期內(nèi)的需水量，其中t代表子區(qū)域，i代表土地類型，j代表地的水利和可耕作情況 ：第k種農(nóng)作物的在最需要水的時(shí)期的需水量，其中t代表子區(qū)域，i代表土地類型，j代表地的水利和可耕作情況 ：第k種農(nóng)作物的單產(chǎn)，其中t代表子區(qū)域，i代表土地類型，j代表地的水利和可耕作情況 r：資本回收因子； :0-1變量。表示第t個(gè)子區(qū)域內(nèi)是否該治理河道。0表示不該治理，1表示該 :第t個(gè)子區(qū)域第i種類型的土地從荒地改造成無(wú)抗旱無(wú)排澇耕地的面積 :第t個(gè)子區(qū)域第i種類型的土地從無(wú)抗旱無(wú)排澇耕地改造成有抗旱無(wú)排澇耕地的面積 :第t個(gè)子區(qū)域第i種類型的土地從無(wú)抗旱無(wú)排澇耕地改造成無(wú)抗旱有排澇耕地的面積 :第t個(gè)子區(qū)域第i種類型的土地從無(wú)抗旱有排澇耕地改造成有抗旱有排澇耕地的面積 :第t個(gè)子區(qū)域第i種類型的土地從有抗旱無(wú)排澇耕地改造成有抗旱有排澇耕地的面積 :第t個(gè)子區(qū)域第i種類型的土地從荒地改造成無(wú)抗旱無(wú)排澇耕地的費(fèi)用 第t個(gè)子區(qū)域:第i種類型的土地從無(wú)抗旱無(wú)排澇改造成有抗旱無(wú)排澇耕地的費(fèi)用 :第t個(gè)子區(qū)域第i種類型的土地從無(wú)抗旱無(wú)排澇改造成無(wú)抗旱有排澇耕地的費(fèi)用 :第t個(gè)子區(qū)域第i種類型的土地從無(wú)抗旱有排澇改造成有抗旱有排澇耕地的費(fèi)用 :第t個(gè)子區(qū)域第i種類型的土地從有抗旱無(wú)排澇改造成有抗旱有排澇耕地的費(fèi)用 :第k種農(nóng)作物當(dāng)?shù)氐男枨罅考皣?guó)家征購(gòu)任務(wù) :第k種農(nóng)作物超額生產(chǎn)向國(guó)家交售每噸可加的價(jià)格 stij:未規(guī)劃前的第t個(gè)子區(qū)域第i種地形第j種水利工程情況的耕地的面積 b0:該地區(qū)的年可供農(nóng)業(yè)用電 v:該地方政府在規(guī)劃期內(nèi)可籌集資金的上限 dt：第t個(gè)子區(qū)域內(nèi)供水的上限 ukt:第t個(gè)子區(qū)域第k種農(nóng)作物在最需要水的時(shí)期的供水量 5.3模型建立 建立一個(gè)線性規(guī)劃模型如下： 目標(biāo)函數(shù)：規(guī)劃期內(nèi)每年收益與等額分付償還金額之差，記為Z。 Max z= 約束條件： 1）耗電量約束：0; x2>0; x3>0; x4>0; x5>0; @bin(y); end 求解結(jié)果： Global optimal solution found. Objective value: 71.82000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 6 Variable Value Reduced Cost X4 5.357143 0.000000 X1 8.200000 0.000000 X2 3.500000 0.000000 X5 0.000000 0.4000000 X3 0.000000 0.4000000 Y 0.000000 -1.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 71.82000 1.000000 2 2.380000 0.000000 3 0.000000 1.000000 4 3.860000 0.000000 5 0.000000 0.3500000 6 0.000000 5.300000 7 8.842857 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 8.200000 0.000000 10 3.500000 0.000000 11 0.000000 0.000000 12 5.357143 0.000000 13 0.000000 0.000000 2、問題一3.5模型的lingo程序： max=x4*0.52+(2.5+x1+x2-x4)*0.43+x5*0.47+(8.2-x1+x3-x5)*0.39+0.25*x4+(2.5+x1+x2-x4)*0.2+x5*0.23+(8.2-x1+x3-x5)*0.185-2-0.1321*(x1*0.2+x2+x3*0.85+5.5*y); x4*7.5+(2.5+x1+x2-x4)*6.1+x5*9.0+(8.2-x1+x3-x5)*7.35<96.5; x4*1.4+x5*1.65-6.5*y<7.5; x1*0.2+x2+x3*0.85+5.5*y<9; x1<8.2; x2+x3<3.5; x4<2.5+x1+x2; x5<8.2-x1+x3; x1>0; x2>0; x3>0; x4>0; x5>0; @bin(y); end 求解結(jié)果： Global optimal solution found. Objective value: 7.017006 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 4 Variable Value Reduced Cost X4 5.357143 0.000000 X1 8.200000 0.000000 X2 3.500000 0.000000 X5 0.000000 0.4000000E-01 X3 0.000000 0.3518500E-01 Y 0.000000 0.7655000E-01 Row Slack or Surplus Dual Price 1 7.017006 1.000000 2 2.380000 0.000000 3 0.000000 0.1000000 4 3.860000 0.000000 5 0.000000 0.2858000E-01 6 0.000000 0.4979000 7 8.842857 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 8.200000 0.000000 10 3.500000 0.000000 11 0.000000 0.000000 12 5.357143 0.000000 13 0.000000 0.000000 3、問題一3.6中N=20模型的lingo程序： max=x4*0.52+(2.5+x1+x2-x4)*0.43+x5*0.47+(8.2-x1+x3-x5)*0.39+0.25*x4+(2.5+x1+x2-x4)*0.2+x5*0.23+(8.2-x1+x3-x5)*0.185-2-0.083*(x1*0.2+x2+x3*0.85+5.5*y); x4*7.5+(2.5+x1+x2-x4)*6.1+x5*9.0+(8.2-x1+x3-x5)*7.35<96.5; x4*1.4+x5*1.65-6.5*y<7.5; x1*0.2+x2+x3*0.85+5.5*y<9; x1<8.2; x2+x3<3.5; x4<2.5+x1+x2; x5<8.2-x1+x3; x1>0; x2>0; x3>0; x4>0; x5>0; @bin(y); end 求解結(jié)果： Global optimal solution found. Objective value: 7.269380 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 8 Variable Value Reduced Cost X4 5.357143 0.000000 X1 8.200000 0.000000 X2 3.500000 0.000000 X5 0.000000 0.4000000E-01 X3 0.000000 0.4255000E-01 Y 0.000000 -0.1935000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 7.269380 1.000000 2 2.380000 0.000000 3 0.000000 0.1000000 4 3.860000 0.000000 5 0.000000 0.3840000E-01 6 0.000000 0.5470000 7 8.842857 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 8.200000 0.000000 10 3.500000 0.000000 11 0.000000 0.000000 12 5.357143 0.000000 13 0.000000 0.000000 4、問題一3.6中N=30模型的lingo程序： max=x4*0.52+(2.5+x1+x2-x4)*0.43+x5*0.47+(8.2-x1+x3-x5)*0.39+0.25*x4+(2.5+x1+x2-x4)*0.2+x5*0.23+(8.2-x1+x3-x5)*0.185-2-0.0681*(x1*0.2+x2+x3*0.85+5.5*y); x4*7.5+(2.5+x1+x2-x4)*6.1+x5*9.0+(8.2-x1+x3-x5)*7.35<96.5; x4*1.4+x5*1.65-6.5*y<7.5; x1*0.2+x2+x3*0.85+5.5*y<9; x1<8.2; x2+x3<3.5; x4<2.5+x1+x2; x5<8.2-x1+x3; x1>0; x2>0; x3>0; x4>0; x5>0; @bin(y); end 求解結(jié)果： Global optimal solution found. Objective value: 7.345966 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 8 Variable Value Reduced Cost