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南京師范大學 高等數(shù)學 下冊 期末考試試卷 1 6 學時 學號 姓名 班級 成績 一 填空題 8 32 4 1 為單位向量 且滿足 則 abc 0abc abca A 2 曲線 繞 軸旋轉(zhuǎn)所得的曲面方程為 20yxz 3 設(shè)函數(shù) 則 22 y 2zxy 4 球面 在點 處的切平面方程為 229xz 1 5 設(shè)二次積分 則交換積分次序后得 I 10 xIdfy 6 閉區(qū)域 由分段光滑的曲線 圍成 函數(shù) 在 上有一DL PxyQD 階連續(xù)偏導數(shù) 則有 格林公式 7 微分方程 的特解可設(shè)為 22xye 8 微分方程 的通解為 31dx 二 選擇題 15 5 1 設(shè)積分區(qū)域 由坐標面和平面 圍成 則三重積分D236xyz Ddv A 6 B 12 C 18 D 36 2 微分方程 的階數(shù)是 34 0yyx A 1 B 2 C 3 D 4 3 設(shè)有平面 和直線 則 與 L 的夾 10 xyz 16 2xyzL 角 為 A B 6 4 C D 3 2 4 二元函數(shù) 在點 處滿足關(guān)系 fxy0 xy A 可微 指全微分存在 可導 指偏導數(shù)存在 連續(xù) B 可微 可導 連續(xù) C 可微 可導 且可微 連續(xù) 但可導不一定連續(xù) D 可導 連續(xù) 但可導不一定可微 5 設(shè)無窮級數(shù) 絕對收斂 則 31 np A B C D 1p 3p 2p 2p 三 計算題 30 6 5 1 設(shè)函數(shù) 可微 求 ufxyz 2zxy ux y 2 已知方程 確定函數(shù) 求 2243xyz zxy zy 和 3 求冪級數(shù) 的收斂域 21nx 4 將函數(shù) 展開為 的冪級數(shù) 1 lnxf 5 求微分方程 的通解 2 1 0 xdyxd 四 求函數(shù) 的極值 8 2 4 fxyxy 五 計算 其中 D 是由直線 所圍7 2 Dyxd yx 2y 及 成的閉區(qū)域 六 求旋轉(zhuǎn)拋物面 和錐面 圍成的立體的8 26zxy 2zxy 體積 期末考試試卷 2 6 學時 一 填空題 7 2 4 8 1 已知直線過點 則直線方程為 32 P 6 Q 2 函數(shù) 的定義域是 2ln 9 4xyfxy 3 設(shè)函數(shù) 則全微分 23xyzedz 4 在 內(nèi) 冪級數(shù) 的和函數(shù)為 1 2461x 5 冪級數(shù) 的收斂半徑 1 2 nnx R 6 設(shè) C 是在第一象限內(nèi)的圓 則cosxtinyt02t xyds 7 微分方程 的通解為 8 160y 二 選擇題 3 1 下列方程表示的曲面為旋轉(zhuǎn)曲面的是 A B 2149xy 223xyz C D 2z 224 2 設(shè) 則在點 處函數(shù) 0 xfy 0 yfx 0 xy fxy A 連續(xù) B 一定取得極值 C 可能取得極值 D 全微分為零 3 下列無窮級數(shù)中 絕對收斂的是 A B C D 21 3sin 1 n 1 n 21n 4 設(shè)積分區(qū)域 則二重積分 2 3Dxy 3 Ddxy A B 9 3 C D 3 9 5 微分方程 的一個特解為 2 35xye A B C D 29xe23xe2xe25xe 6 D 是點 為頂點的三角形區(qū)域 在 D 上連續(xù) 0 1 fy 則二重積分 Dfxyd A B 10 dxfy 10 xdfy C D 三 計算題 24 6 4 1 已知 求函數(shù) 在點 處的偏導數(shù) 1 xyz z 1 Pzxy 和 2 設(shè) 具有二階導數(shù) 求 2 zfxy f 2zxy 3 判斷級數(shù) 的斂散性 如果收斂 指出是絕對收斂還是條21 n 件收斂 4 將函數(shù) 展開為 的冪級數(shù) 2 ln1 fx x 四 求微分方程 的通解 7 230 xydx 五 某廠要用鐵板作成一個體積為 的有蓋長方體水箱 問8 32m 當長 寬 高各取多少時 才能使用料最省 六 計算下列積分 1 計算 其中 D 是由拋物線 和直線 所7 2 Dyxd 2yx 2yx 圍成的閉區(qū)域 2 設(shè)積分區(qū)域 由上半球面 及平面 所圍成 8 21zxy 0z 求三重積分 zdxy 期末考試試卷 3 6 學時 一 填空題 8 4 32 1 設(shè) 則與 同時垂直的單位向量為 2 1 a 5 b a b 2 面上的拋物線 繞 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為 yoz2zy z 3 若 在區(qū)域 上恒等于 1 則 fxy2 14Dxy Dfxyd 4 設(shè) 則其駐點為 2 4 fxyxy 5 級數(shù) 收斂 則 的取值為 13nq q 6 設(shè) 而 則全導數(shù) si zuvt cos tevt dzt 7 微分方程 的通解為 n0yx 8 設(shè)函數(shù) 則 1 z 1 dz 二 選擇題 15 35 1 過點 2 8 3 且垂直于平面 的直線方程是 230 xyz A B 2 8 3 0 xyz 2831xyz C D 1 2 若函數(shù) 由方程 所確定 則 yxzxyze yx A B C D 1 yx 1 yx 1yz zxy 3 二元函數(shù) 在 處的偏導數(shù) 和 存在 fxy 0 0 xfy 0 yfx 是函數(shù)在該點全微分存在的 A 充分條件 B 必要條件 C 充要條件 D 既非充分也非必要條 件 4 積分 更換積分次序后為 ydx fd10 A B 10 yxf xdyf 10 C D 2xdx2 5 設(shè) 而無窮級數(shù) 收斂 則下12nnSa 0 1ian 1na 列說法不正確的是 A B 存在 lim0na limnS C D 為單調(diào)數(shù)列 lim0nS nS 三 計算題 3 6 18 1 曲面 上哪一點的切平面平行于平面 24zxy 210 xyz 并寫出切平面方程 2 討論級數(shù) 的斂散性 若收斂 指出是條件收斂還是12 n 絕對收斂 3 將函數(shù) 展開為 的冪級數(shù) 21 fx 1 x 四 求微分方程 的通解 7 2 2xye 五 在所有對角線為 的長方體中 求最大體積的長方體 7 23 六 計算 其中 D 是由直線 及曲線 所7 2Dxdy 2x yx1y 圍成的閉區(qū)域 七 計算 其中 D 是由圓 及直線7 arctnDydx 221 4xy 所圍成的第一象限部分 0 yx 八 計算曲線積分 其中積分路線 C7 2322 6 63 Cxydxyd 是由 點到 點的直線段 1 2 A 3 4 B 期末考試試卷 4 6 學時 一 填空題 6 4 2 1 過點 并且平行于 面的平面方程為 3 1 zox 2 平面 和 的夾角為 80 xyz y 3 設(shè) 其中 為可微函數(shù) 則 22 uf f ux 4 交換積分次序 240 xdfyd 5 設(shè) 為常數(shù) 若級數(shù) 收斂 則 a1nua limnu 6 微分方程 的通解為 5 60y y 二 選擇題 15 3 1 設(shè) 和 是向量 則 a b 2 ab A B ab 3ab C D 22 2 在 內(nèi) 冪級數(shù) 的和函數(shù)為 1 2461x A B C D 21x21x21x 3 二元函數(shù) 的極小值點是 3239zy A B C D 1 0 1 2 3 0 32 4 下列微分方程中 是可分離變量的微分方程為 A B 0 xyyxeded lnxyd C D 3 42 5 設(shè) 是沿橢圓 的逆時針路徑 則線 cos in 02 xatybt 積分 Cydx A A 0 B 2 C D ab ab 三 計算題 36 6 1 求過點 2 0 1 且與直線 垂直的平面方程 321xyz 2 設(shè) 求 cosin xzey zx 2y 3 設(shè) 求 ln0 xzy zyx 4 討論級數(shù) 的斂散性 若收斂 指出是條件收斂還是 12n 絕對收斂 5 求冪級數(shù) 的收斂半徑和收斂區(qū)間 21 3 nnx 6 求微分方程 的通解 tanyx 四 設(shè)某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的數(shù)量 與所用的兩種原料 A B 的數(shù)S 噸 量 噸 之間的關(guān)系式 現(xiàn)用 150 萬元購置原料 xy 2 0 5xyxy 已知 A B 原料每噸單價為 1 萬元和 2 萬元 問怎樣購進兩種原料 才能使生產(chǎn)的數(shù)量最多 7 五 計算 其中 D 是由直線 與拋物線 所圍成的閉2Dxyd yx 2yx 區(qū)域 7 六 計算二重積分 為圓 所包圍的第一象限2xyDIed 21xy 中的區(qū)域 6 七 計算三重積分 其中 為三個坐標面幾平面12dxyz 所圍成的閉區(qū)域 xyz 5 期末考試試卷 5 6 學時 一 填空題 6 2 4 1 已知 和 則與 平行的單位向量為 1 2 M2 1 30 12M 2 函數(shù) 在點 處沿從點 到點 的方向的方向zxy 3 導數(shù)為 3 級數(shù) 的和為 1 n 4 冪級數(shù) 的收斂半徑 1nx R 5 微分方程 的特解形式可設(shè)為 369 1 xye 6 設(shè)積分區(qū)域 則 22 xz dV 二 選擇題 34 1 方程 在空間直角坐標系中表示的圖形是 20yz A 原點 B 圓 C 圓柱面 D 直線 2 設(shè) 可 微 則 ufxyz ux A B dfyzx xfyz C D f d 3 下列級數(shù)中 收斂的級數(shù)是 A B 12n 1sin C D 187n 1 n 4 函數(shù) 駐點個數(shù)為 22 6 4 zxy A 6 B 5 C 4 D 3 三 計算題 36 6 1 求通過 軸和點 4 3 1 的平面方程 x 2 已知 求 xyzz d 3 設(shè) 求 ln yzx zx y 4 求微分方程 的通解 43xdyxe 5 求微分方程 滿足初始條件 的特解 2 1xy 001 3xxy 6 將函數(shù) 在 處展開成冪級數(shù) ln4 fx 1x 四 從斜邊之長為 的一切直角三角形中 求有最大周長的直角三角l 形 7 五 計算累次積分 0sinyxd 7 六 求旋轉(zhuǎn)拋物面 與平面 所圍成的立體的體積 V 24zxy 0z 7 七 利用格林公式計算曲線積分 其中 24 536 Lxydyxd A 為三頂點分別為 的三角形的正向邊界 L 0 3 7 期末考試試卷 6 6 學時 一 填空題 48 1 設(shè)點 A B 則 210 3 BC 15 ABC 2 球面方程 的球心坐標為 球半220 xyzxz 徑為 3 曲面 在點 的切平面方程為 2zxy 1 2 4 設(shè) 則 grad fz f 1 2 5 設(shè) 則全微分 xyze 2 1 d 6 設(shè) L 是拋物線 上點 與點 B 之間的一段弧 則yx 0 1 Lyds 7 冪級數(shù) 的收斂半徑 1 nx R 8 的特解可設(shè)為 56xye 二 選擇題 35 1 下列三元數(shù)組中 可作為向量的方向余弦的是 A21 3 B1 2 C1 23 D 2 設(shè) 則 xyz z A2 xy B21 xy C1xy D 2 x 3 冪級數(shù) 的收斂域為 11nnx A A 2 B 2 C 2 D 4 二元函數(shù) 在點 處的兩個偏導數(shù) 與 存 zfxy 0 xy0 xfy0 yfx 在是函數(shù)在該點處可微的 充分而非必要條件 必要而非充分條 A B 件 充分必要條件 既非充分又必要 C D 條件 5 連續(xù) 更換積分次序 fxy20 ydfx A 402 xdfy B20 xdfy C 40 xxdfy D20 xdfy 三 求點 在平面 上的投影 6 1 2 0 21xyz 四 設(shè) 其中 具有二階連續(xù)偏導數(shù) 求 ufxy f 2 uxy 五 求函數(shù) 的極值 6 32 7fxyxy 六 求微分方程 滿足初始條件 的特解 6 lnxy yex 七 判斷級數(shù) 的斂散性 若收斂 求其和 6 1 n 八 求下列積分 1 計算二重積分 其中 D 由圓 及7 arctnDyIdx 21xy 與 所圍成的第一象限區(qū)域 24xy 0 xy 2 計算曲線積分 其中 是以 8332 LIxydxyd AL 0 O 為頂點的三角形邊界 沿逆時針方向 1 0A B 九 應(yīng)用題 求由曲面 和 圍成的立體的體積 2zxy 243zxy 期末考試試卷 7 6 學時 一 選擇題 35 1 直線 與平面 所成的角為 12xyz 23xyz 0 A 2 B 3 C 4 D 2 點 是函數(shù) 的駐點 有連續(xù)的二階偏導數(shù) 0 xy fxy fxy xf 則 在 取得極小值的充分條件 00 xyyBfCfx fxy0 是 A2CB 0 A B2AC 0 D 3 曲面 在點 1 1 1 處的切平面方程為 2zxy A25 xyz B23xyz C11D11 4 一階微分方程 是 sindyx 可分離變量的微分方程 齊次方程 A B 齊次線性微分方程 非齊次線性微分方程 CD 5 級數(shù) 為不等于零的常數(shù) 12nk 絕對收斂 發(fā)散 條件收斂 斂散性與 有關(guān) A B C Dk 二 填空題 4 8 1 設(shè)平行四邊形兩鄰邊為 則該平行四邊形的23 aijkbj 面積為 2 曲面 與平面 的交線在 面上的投影曲線方程為 2zxy 1zxOy 3 設(shè) 則在 處 22 36fxyzyzxyz 1 xyzff 4 改變二次積分的積分次序 221 xdfyd 5 設(shè) L 是由 圍成的區(qū)域的正的邊界 則2 34243Lxydxyd A 6 微分方程 的通解為 xyed 7 已知微分方程 的特征方程的兩個根 則該 0pq 12 3r 微分方程為 8 在 內(nèi) 冪級數(shù) 的和函數(shù)為 1 24681xx 三 已知平面 經(jīng)過兩點 且垂直于給定的平面 7 0 1 PQ 求平面 的方程 0 xyz 四 已知 且 具有二階連續(xù)偏導數(shù) 求 8 zfxy fuv 2 zxy 五 解方程 7 dyx 六 1 設(shè)區(qū)域 D 由拋物線 及直線 圍成 求 D 的 8 2yx 4yx 面積 A 2 計算 其中 D 由圓周 圍成的區(qū) 2 4 Dxyd 2xy 域 七 求冪級數(shù) 的收斂半徑和收斂區(qū)間 7 121 nnnx 八 造一個無蓋的長方體水槽 已知它的底部造價每 平方米為 8 18 元 側(cè)面造價為每平方米 6 元 設(shè)計的總造價為 216 元 問 如何選擇長方體水槽的尺寸 才能使水槽的容積最大 期末考試試卷 8 6 學時 一 填空題 5840 1 x y 2 0sinlm 2 設(shè) 都是單位向量 且滿足 則 abc 0abc abca 3 則 2ln zxy dz 4 設(shè) L 是曲線 上從點 到 的一段弧 則2yx O 2 0 A Lydx 5 冪級數(shù) 的收斂區(qū)間為 1 nn 6 函數(shù) 在點 的梯度為 22ln uxyz 1 2 M 7 交換積分次序 0 xdfy 8 方程 的通解為 2xdy 二 選擇題 35 1 1 曲線 在 面上的投影曲線是 221 64530 xyz xOy A 24170 0 yzx B24160 0 xyxz C2 D2 2 二元函數(shù) 在點 處成立的關(guān)系是 fxy0 xy 可微 指全微分存在 可導 偏導數(shù)存在 連續(xù) A 可微 可導 連續(xù) B 可微 可導且可微 連續(xù) 但可導不一定連續(xù) C 可導 連續(xù) 但可導不一定可微 D 3 設(shè)曲線 L 是從點 到 的直線段 則 1 0 A 2 B Lxyds 0 2 A2 B C D 4 微分方程 具有以下形式的特解 3xye A xye B xyAe C xyAe D xyABe 5 下列級數(shù)中收斂的是 A13n B1n C1 n D 1 n 三 求過直線 和點 0 0 0 的平面方程 6 L32xyz 四 求 7 1 yzx 2 zxy 五 求 在約束條件 下的極值 6 25zxy 1yx 六 計算 D 是由 圍成的區(qū)域 6 ydx 2yx 2 七 計算 其中 是由曲面 及 圍成的閉區(qū)域 6 2dv 2xyz 2 八 將函數(shù) 展開成 的冪級數(shù) 7 1 fx 3 x 九 求微分方程 滿足初始條件 的特 7 2 1 0 xdyxd 10 xy 解 期末考試試卷 9 6 學時 一 選擇題 35 1 在空間直角坐標系下 方程 的圖形表示 350 xy 通過原點的直線 垂直于 軸的直線 A Bz 垂直于 軸的平面 通過于 軸的平面 CzD 2 設(shè) 是由方程 確定的函數(shù) 則 zxy 0zexy zx A1z B 1 yxz C 1 zx D 1 yxz 3 設(shè) L 是 D 的正向邊界 則 12 3xy 2Lxdy A 1 2 3 0 A B C D 4 交錯級數(shù) 1n 絕對收斂 發(fā)散 條件收斂 可能收斂 A B C D 可能發(fā)散 5 下列微分方程中可分離變量的方程的是 A2yx B2 xdyxdy C2 dyxD ye 二 填空題 48 1 已知兩點 間的距離為 17 則 71 A 6 2 Bzz 2 設(shè) 在點 處 2 5fxyzxy 1 2fxy 3 設(shè)函數(shù) 則 的駐點為 2 f fxy 4 D 是由 圍成 則 化成極坐標下的累次積分2xy Dd 為 5 微分方程 的通解為 23y 6 冪級數(shù) 的收斂區(qū)間為 12nnx 7 設(shè)區(qū)域 D 則二重積分 214xy Ddxy 8 冪級數(shù) 在區(qū)間 的和函數(shù)為 0 n 1 三 用拉格朗日乘數(shù)法求周長為 20 的矩形面積最大的一個 7 四 設(shè) 求 7 ln xzy zxy 五 求旋轉(zhuǎn)拋物面 在點 的切平面及法線方程 8 21zxy 2 4 六 計算 其中 D 是直線 圍成的圖 8 2 Dxyd 1 0 xy 形 七 求冪級數(shù) 的收斂區(qū)間 并求其和函數(shù) 7 0 1 nnx 八 解微分方程 通解 8 231yx 九 計算積分 其中 為平面 和坐標面所 8 xyd 1 xyz 圍成的第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域 期末考試試卷 10 6 學時 一 填空 4 8 1 直線 和直線 之間的夾角 13 1xyzL 23 1xyzL 2 函數(shù) 在點 沿向量 的方向?qū)?shù) 32zx 1 P4lij Pzl 3 設(shè) 則 sin xyedz 4 計算 其中 L 是拋物線 上點 到點 的一段弧 Lyds 2yx 0 O 1 B 5 改變二次積分的積分次序 20 ydfx 6 已知級數(shù) 的前 項部分和 則 1nu 1ns nu 7 函數(shù) 展開成 的冪級數(shù)是 2xf 8 微分方程 的特解為 0 xotydy 二 選擇題 3 5 1 已知 為 的一個解 則 xye 20ay a 1 2 A0 B C1 D 2 曲面 在點 處的切平面方程為 2zxy 12 A A40 xyz B20 xyz C26D 3 二元函數(shù) 在點 處存在偏導數(shù)是在該點連續(xù)的 fxy0 xy 充分必要條件 充分而不必要的條件 A B 必要而不充分的條件 既不充分也不必要的條件 CD 4 設(shè)區(qū)域 D 由 圍成 化成極坐標下的累次積分2xy fxyd 為 A 2sin0 co sin dfrrd B2cos0 sin dfrrd C 2sin0 co sin dfrrd D2cos0 sin dfrrd 5 下列級數(shù)中 絕對收斂的是 A1 n B12 nn C12 n D1 n 三 1 設(shè) 其中 具有二階連續(xù)偏導數(shù) 求7 2 yufxf 2 uxy 2 求冪級數(shù) 的收斂域 7 1 3 nnx 四 將函數(shù) 展開成 的冪級數(shù) 6 ln1 fx x 五 求 的通解及滿足初始條件 的特 6 4y 1 0 0yxx 解 六 判定級數(shù) 的斂散性 若收斂 是條件收斂還是絕 6 21 n 對收斂 七 用鐵板制作一個容積為 3 的無蓋長方體水箱 問當水箱 7 2m 的長 寬 高分別為多少米時用料最省 八 求由曲面 所圍成的立體的體積 7 2 1zxyz 九 計算曲線積分 其中 L 為有向折線 7 LIydxy ABO 其中 A B O 三點依次為 方向 1 0 ABO 期末考試試卷 11 6 學時 一 選擇題 3 5 15 1 母線平行于 軸的柱面方程是 z A B 2xy 2xyz C D 4z 4 2 函數(shù) 在點 處 2 fxyxy 2 A 有極小值 B 有極大值 C 無極值 D 是否有極值無法判 斷 3 當 時 則圍成區(qū)域 的是 1Ddxy D A 軸 軸及 B 及 xy20 xy 1 2x 3 5y C D 1 4 設(shè)級數(shù) 收斂 則級數(shù) 1 nu 1nu A 必收斂 且收斂于 的和 B 不一定收斂 1 nu C 必收斂 但不一定收斂于 的和 D 一定發(fā)散 1 nu 5 微分方程 的通解為 cosinydx A B sincoxyC csixyC C D on 二 填空題 4 6 24 1 函數(shù) 的駐點為 2 fxyxy 2 平面 和 面的夾角為 280zo 3 設(shè) 且 可微 則 xyzffdz 4 設(shè) 與 平行 且 則 aijk b36ab b 5 若冪級數(shù) 在 處條件收斂 則該級數(shù)的收斂半徑1 3 nnax 1 R 6 微分方程 的通解是 2 1 yx 三 計算題 7 48 1 設(shè) 是由方程 所確定的隱函數(shù) 求 zfxy2sin 0zexyz xz 2 求微分方程 滿足初始條件 的特解 2y 00 1xxy 3 求冪級數(shù) 的和函數(shù) 1nx 4 選擇適當?shù)淖鴺讼?計算二重積分 由2ln 1 Dxyd D 與坐標軸圍成的第一象限的部分 21xy 四 7 已知 求證 arcsinyxz 0zxy 五 8 求過點 且與直線 垂直相交的直線 2 13 P 1l7235xyz 的方程 l 六 8 計算三重積分 其中 為三個坐標面及平面 zdxy 所圍成的閉區(qū)域 1 zyx 七 1 5 證明曲線積分 在32 2 cos 1sin3 Lxyxdyxyd 面上與路徑無關(guān) xOy 2 5 計算 為拋物線 上由點 到 的一段弧時的L2xy 0 12 積分值 期末考試試卷 12 6 學時 一 選擇題 3 5 15 1 設(shè) 且 則 4 2ab 42ab ab A B C 2 D 22 2 函數(shù) 在 偏導存在與可微的關(guān)系是 zfxy 0 A 偏導存在一定可微 B 可微則偏導未必存在 C 偏導存在一定不可微 D 可微則偏導一定存在 3 二次積分 交換積分次序后可以化為 210 xdfyd A B sin20 co sin frr sin20 idfd C D cos20 si frr cos20 in f 4 微分方程 是 1si0 xydeyd A 可分離變量的微分方程 B 齊次方程 C 一階線性微分方程 D 二階微分方程 5 設(shè)級數(shù) 收斂 其和為 則 的和為 1na 1213 4nna A 1 B C D 07472 二 填空題 4 6 24 1 設(shè) 是 圍成的平面區(qū)域 將二重積分D24 yx 化成先對 后對 積分的二次積分為 fxd y 2 直線 與直線 的夾角為 15 82yLxz 26 3xyLz 3 函數(shù) 在點 處沿從點 到點 的方向的方向?qū)?yzxe 1 0 P 1 0 P 2 1 Q 數(shù)為 4 微分方程 的通解是 3xy 5 是數(shù)項級數(shù) 收斂的 條件 lim0na 1na 6 設(shè)平面曲線 為下半圓周 則曲線積分 L2yx 2 Lxyds 三 計算題 1 6 已知 求 2 xyz u 2 6 求過點 和 的平面 的方程 1 2 4 M 2 1 3 3M 0 2 3 6 設(shè) 具有連續(xù)偏導數(shù) 且 求全微分 fuv 2 xyzfe dz 4 6 討論級數(shù) 的斂散性 若收斂 指出是條件收斂還 13n 是絕對收斂 5 7 設(shè) 是由 所圍成的平面區(qū)域 又二重積D 0yxa a 分 求 的值 68Dydx a 6 7 求冪級數(shù) 的收斂半徑和收斂域 1 2nnx 7 7 求微分方程 滿足初始條件 的特解 32y 1 0 y 四 應(yīng)用題 1 8 在拋物線 求一點 使其到直線 的距離最短 2yx 20 xy 2 8 求由旋轉(zhuǎn)拋物面 與平面 圍成的空間立體 的體2zxy 4z 積 期末考試試卷 13 6 學時 一 選擇題 3 5 15 1 方程 表示旋轉(zhuǎn)曲面 它的旋轉(zhuǎn)軸是 2230 xyz A 軸 B 軸 C 軸 D 軸xyzx 或 軸 y 2 已知 的兩個偏導數(shù)存在 且 則 fxy 0 xyffx A 當 不變時 隨 的增加而減少 y fxy B 當 不變時 隨 的增加而增加 C 當 不變時 隨 的增加而增加 x fxy D 上述論斷均不正確 3 下列級數(shù)中 絕對收斂的級數(shù)是 A B 1 n 12 n C D 12 n 1 n 4 下列各式中是二階微分方程的是 A B 220 xy 2 0 xy C D 2 dxyd 451y 5 設(shè)區(qū)域 函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù) 則2 1Dxy fu 0 1 2Dfxyd A B 102 frd 104 frd C D 2 2 二 填空題 4 8 32 1 設(shè) 且 則 zuv costet dzt 2 已知兩點 和 則與 方向相同的單位向量1 2 M2 1 30 12M 為 3 當 滿足 時 級數(shù) 收斂 x 1nx 4 L 為曲線 一周 則 20yx Lds A 5 當 時 級數(shù) 條件收斂 1 np 6 微分方程 的通解是 690y 7 設(shè) 則 3sinzx 2zxy 8 設(shè) 是由 所圍成的平面區(qū)域 則二重積分 D214 Ddxy 三 計算題 1 7 求過點 且與兩平面 1 32 P 都垂直的平面方程 062340832 zyxzyx和 2 6 設(shè) 求 242 3 xyz z 3 6 設(shè)方程 確定隱函數(shù) 求全微分 zexy zxy dz 4 6 將函數(shù) 展開 的冪級數(shù) 并指出展開式成立的區(qū)間 12x 5 7 求微分方程 的通解 cos in 1xy 四 7 設(shè) 是 平面上由 和 所圍成的有界區(qū)域 Dxoy2 1yx yx 試求二重積分 2sin d 五 7 利用柱面坐標計算三重積分 其中 是由曲面zdxy 與平面 所圍成的區(qū)域 2zxy 1z 六 7 在周長為 常數(shù) 的一切矩形中 求面積最大的矩形 a0 期末考試試卷 14 6 學時 一 選擇題 3 5 15 1 03lim21xy A 0 B 3 C 6 D 2 曲面 與平面 的交線在 面上的投影曲線方程為20yzx zxoy A B 290yxz 293yxz C D 2 20 3 交換積分次序后為 ln10 exIdfyd A B ln10 exIyf 10 yeIdfx C D yed ln1xy 4 設(shè)微分方程 的特征方程的根為 則此方程的通 0aby i A B 12xxce 12 ixce C D osin 2osinxc 5 設(shè)冪函數(shù) 在 處收斂 則此級數(shù)在 處 0nax 2 43x A 絕對收斂 B 條件收斂 C 發(fā)散 D 收斂 性不能確定 二 填空題 4 7 28 1 設(shè) 則 2ln zxy dz 2 已知點 則 上的投影 01 20 1 ABC CAB 在 PrCAjB 3 函數(shù) 在點 處沿 的方向?qū)?shù)等于423uzxy 1 2 l 4 曲線 在點 處的切線方程為 2xyz 1 5 當 滿足 時 級數(shù) 絕對收斂 p 10 np 6 設(shè) 是由 圍成的平面區(qū)域 將二重積分 化D2xy 2 Dfxyd 成極坐標系下的二次積分 7 微分方程 的通解是 20dstt 三 計算題 1 6 求過 且與兩平面 和 平行的直線 0 24 P1 2xz 2 3yz 方程 2 6 求函數(shù) 的極值點及極值 3 fxyxy 3 6 設(shè) 是由方程 所確定的隱函數(shù) 求 zfxy 2zxye zy 4 6 將函數(shù) 展開成 的冪級數(shù) xfe 2 5 7 求微分方程 滿足初始條件 的特解 32xy 1xy 四 計算下列積分 1 7 設(shè) 是由 軸 所圍成的平面區(qū)域 計算二重積分D yx 1y 2Dydx 2 7 計算 其中 是由上半球面 與拋物面Izdxy 2zxy 圍成的空間區(qū)域 2zxy 3 6 計算曲線積分 其中 是由直線 231 Lxydxdy ALyx 圍成的逆時針方向的閉折線 2yx 1 五 6 設(shè) 證明 0 1 yzx 12lnxzzyy 期末考試試卷 15 6 學時 一 選擇題 3 5 15 1 設(shè)向量 則 與 滿足條件 時 才有 2 51 32ab 與 軸垂直 b z A B C D 2 2 35 35 2 設(shè)可微函數(shù) 在點 處取得極小值 則下列結(jié)論正確的 fxy0 xy 是 A 在 處的導數(shù)等于零 0 fxy0 B 在 處的導數(shù)大于零 C 在 處的導數(shù)小于零 0 fxy0 D 在 處的導數(shù)不存在 3 冪級數(shù) 的收斂域為 21 nnnx A B C D 1 1 1 4 用待定系數(shù)法求方程 的特解時 可設(shè)特解 256xye A B 2 xyabe 22 xyxabe C D 5 2xyd A B C 4 D 2 2 二 填空題 4 6 24 1 設(shè) 則 2 xyfxye 1 yf 2 設(shè) 則 xzdz 3 設(shè) 其中 為可微函數(shù) 則 2 zfxy f zyx 4 平面上的曲線 繞 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為 o 0 xze 5 將 展開成為 的冪級數(shù) 則 2xye xy 6 微分方程 的通解是 0y 三 計算題 1 6 求過點 且通過直線 的平面方程 3 12 A 43521xyz 2 6 設(shè) 是由方程 所確定的隱函數(shù) 求 zfxy 20 xyze dz 3 6 設(shè) 求 0422 zyx2zxy 4 6 計算 其中 是由拋物線 及直線 所圍成的Dyd xy 22 xy 區(qū)域 5 7 求冪級數(shù) 的收斂域 12nx 四 7 已知點 及點 且曲線積分 0 O 1 A2 2cosin cosin Iaxyxdbyxyd 與路徑無關(guān) 試確定常數(shù) 并求 bI 五 7 求方程 的解 20 xftfd 六 應(yīng)用題 7 214 1 7 求表面積為 體積最大的長方體的體積 a 2 7 求由曲面 及 所圍成的立體的體積 2zxy 26zxy 期末考試試卷 16 6 學時 一 選擇題 351 1 下列命題中 正確的是 A 2a B 如果 則必有 或 0b 0a b C 如果 且 則必有 c c D ac 2 在點 處的切平面方程為 2zxy 1 2 A B 40 xyz 0 xyz C D 210 xyz 20 xyz 3 已知 則 2ln 2zxy A B C D 2 xy 2 xy 2 xy 21 x 4 二次積分 交換積分次序后為 210 xdfy A B 10 yfx 10 ydfx C D yd d 5 級數(shù) 滿足 12 np A 時 條件收斂 B 時 絕對收斂 1p 102p C 時 絕對收斂 D 時發(fā)散 2 二 填空題 462 1 設(shè)向量 則 aij bjk ab ab 2 設(shè)函數(shù) 則全微分 23zxydz 3 曲面 與平面 的交線在 坐標面上的投影曲線方程 1 xOy 為 4 其中 2sinDxyd 22 4Dxy 5 級數(shù) 的收斂半徑為 0 1 n 6 其中 的曲線 Lds A2 1Lxy 三 計算題 1 求過 1 0 1 且平行于 和 的平面方程 5 1 2 0 1 2 設(shè) 求全導數(shù) 5 324 sin tyxezy dtz 3 求 其中 D 由曲線 圍成 6 Dxyd 2 2 xy 4 求 其中 是由曲面 及 所圍成7 zdv 2yxz 2yxz 的閉區(qū)域 5 利用格林公式 計算 其中 為7 24 356 Lxydxyd AL 三頂點分別為 的三角形正向邊界 0 3 6 判定級數(shù) 的斂散性 如果收斂 是絕對收斂 6 1 n 還是條件收斂 7 求微分方程的通解 5 2xye 8 求微分方程 滿足初始條件 的6 034 y6 0 y10 y 特解 四 應(yīng)用題 72 1 求由曲面 與 所圍立體的體積 7 2zxy 21zxy 2 要造一個容積為 的長方體容器 已知底部造價是側(cè)面造價 0V 的 3 倍 指每單位面積 若容器無蓋 問怎樣定尺寸可使造價最 低 期末考試試卷 17 6 學時 一 選擇題 351 1 設(shè)向量 則 2aijk 49bijk A B C D ba ab a 2 函數(shù) 的定義域是 2241lnarcsinzxyxy A B 2 14 xy 2 1 xy C D 0 24 xy 或 3 已知 都可微 則 uftxy st yst ut A B fxtt fytt C D fyt fxfttyt 4 221 xyd A B C D 3 2 4 5 下列級數(shù)發(fā)散的是 A B 19 0n 12n C D 11 23nn 431n 二 填空題 462 1 0lim1xy 2 則全微分 22ln uz 1 du 3 在點 1 1 沿方向 的方向?qū)?shù)為 yxf 2 l 4 交換積分次序 20 ydfx 5 曲線 在點 處切線方程為 2 1 xtytz 1 0 6 設(shè) C 為分段光滑的任意閉曲線 和 為連續(xù)函數(shù) 曲線積分 x y xdy A 三 計算題 1 設(shè)向量 求 5 132 a 32 b ab 2 設(shè) 又 求 和 5 sinuzev xyv zx y 3 求 其中 由 圍成 6 Dxyd D2 xy 4 利用格林公式 計算曲線積分 其中7 231 Lxydxdy A 是由直線 圍成的三角形的正向邊界 L 2 1yx 5 求冪級數(shù) 的收斂域 6 2133n nxx 6 將函數(shù) 展開成 的冪級數(shù) 并確定收斂域 5 7 求微分方程 的通解 6 1dyx 8 求微分方程 滿足初始條件 的特6 096 y 0 2y y 解 四 應(yīng)用題 72 1 設(shè)有一個物體 占有空間閉區(qū)域7 在點 處的密度為 01 01 xyzyz xyz 計算該物體的質(zhì)量 z 2 要制造一個無蓋的長方體水槽 已知它的底部造價為每平方7 米 18 元 側(cè)面造價均為每平方米 6 元 設(shè)計的總造價為 216 元 問 如何選取它的尺寸 才能使水槽容積最大 期末考試試卷 18 6 學時 一 選擇題 351 1 為共線的單位向量 則它們的數(shù)量積 a b ab A B 11 C D 0cos ab 2 二元函數(shù) 的偏導數(shù) 和 存在是全微分存在的 zfxy zx y A 充分條件 B 必要條件 C 充要條件 D 既非充分又非必要條件 3 設(shè) 則 1ln 32zyxu 1 xyzu A B 323 C D 12 4 當 D 是下列哪個圍成的區(qū)域時 二重積分 1 Ddxy A 軸 軸及 B xy20 xy 1 23xy C 軸 軸及 D 軸 軸及 4 3 2x 5 下列級數(shù)中收斂的是 A B 12n 1n C D 1 n 1 n 二 填空題 462 1 已知兩點 和 則和 方向一致的單位向量 4 05 A 7 13 BAB e 2 過點 且與平面 平行的平面方程為 1 2 20 xyz 3 設(shè) 則函數(shù)在點 處的全微分 22 fxyzz 1 2 df 4 221 xyd 5 曲面 在點 處的切平面方程為 24zxy 1 2 6 冪級數(shù) 的收斂半徑 收斂域為 0n R 三 計算題 1 已知 A 1 2 3 B 1 0 1 C 1 1 1 求 5 BCA 2 設(shè) 具有一階的連續(xù)偏導數(shù) 求 5 f cos inyxefz z 3 求 其中 D 由兩坐標軸及 圍成 6 32 Dxyd 2 yx 4 利用柱面坐標計算三重積分 其中 是由曲面7 2 xydv 及 所圍成的閉區(qū)域 2xyz 2 5 判斷級數(shù) 是否收斂 如果是收斂的 是絕對收斂還6 13n 是條件收斂 6 將函數(shù) 展開成 的冪級數(shù) 并確定收斂域 7 216x x 7 求微分方程 的通解 5 24dyx 8 求微分方程 滿足初始條件 的特解 6 20 xdy 21xy 四 應(yīng)用題 72 1 在 平面內(nèi)求一點 使它到 以及 三直7 xoy0 xy 2160 xy 線的距離平方之和最小 2 證明曲線積分 在整個 平面內(nèi) 3 4 232216 63 xydxyd xy 與路徑無關(guān) 并計算積分值 期末考試試卷 19 6 學時 一 選擇題 351 1 設(shè) 則 2 4 aba ab A B C D 631231326 2 函數(shù) 的全微分為 yzx A B 1yydzxd 1lnyydzxxd C D lnyydzxd 1lnyydzxxd 3 是二元可微函數(shù) 在點 取得極值 00 xyff f0 的 A 充要條件 B 充分而不必要的條件 C 必要而不充分的條件 D 既不充分也不必要的條件 4 D 由 圍成 則 化為極坐標系下的累次積分為 2xy Dfxyd A B 2sin0 co sin dfrrd 2cos0 sin dfrrd C 2sin0 co sin dfrrd D cs 5 下列級數(shù)中條件收斂的是 A B 1 n 21 n C D 1 n 1 n 二 填空題 462 1 若向量 與 共線并滿足 則 x 1 a 18ax x 2 極限 2 0sinlmxy 3 函數(shù) 在點 沿 的方向?qū)?shù)等于2uz 2 3l 4 交換積分次序 210 xdfyd 5 求曲線 在點 處的切線方程 23 xtyzt 1 6 微分方程 的通解是 cox 三 計算題 1 求過點 三點的平面方程 5 1 M2 3 1 2 M 2 設(shè)函數(shù) 其中 具有連續(xù)的二階偏導數(shù) 求 6 2 ufxy f 2 uxy 3 在曲面 上求一點 使曲面在該點的切平面與平6 22134xyz 面 平行 1xyz 4 計算二重積分 其中 D 是由 所圍成的區(qū)6 sinDydx 2 yx 域 5 計算 其中 L 為 沿逆時針方向的6 Lxydy A21xy 圓周 6 將函數(shù) 展開成 的冪級數(shù) 并確定收斂域 6 1 fx 3x 7 求微分方程 的通解 6 2 1 xxye 8 求微分方程 滿足初始條件 的特6 40y 002 xxy 解 四 應(yīng)用題 72 1 在橢圓 上求一點 使其到直線 的距離最短 214xy 2360 xy 2 求旋轉(zhuǎn)拋物面 與 圍成的立體的體積 2zxy 2z 期末考試試卷 19 6 學時 一 選擇題 351 1 設(shè) 則 2 4 aba ab A B C D 631231326 2 函數(shù) 的全微分為 yzx A B 1yydzxd 1lnyydzxxd C D ln 1l 3 是二元可微函數(shù) 在點 取得極值 00 xyffx zfxy 0 xy 的 A 充要條件 B 充分而不必要的條件 C 必要而不充分的條件 D 既不充分也不必要的條件 4 D 由 圍成 則 化為極坐標系下的累次積分為 2xy Dfxyd A B 2sin0 co sin dfrrd 2cos0 sin dfrrd C 2sin0 co sin dfrrd D cs 5 下列級數(shù)中條件收斂的是 A B 1 n 21 n C D 1 n 1 n 二 填空題 462 1 若向量 與 共線并滿足 則 x 2 1 a 18ax x 2 極限 0sinlmxy 3 函數(shù) 在點 沿 的方向?qū)?shù)等于22uz 2 3l 4 交換積分次序 210 xdfyd 5 求曲線 在點 處的切線方程 23 xtyzt 1 6 微分方程 的通解是 cox 三 計算題 1 求過點 三點的平面方程 5 1 M2 3 1 2 M 2 設(shè)函數(shù) 其中 具有連續(xù)的二階偏導數(shù) 求 6 2 ufxy f 2 uxy 3 在曲面 上求一點 使曲面在該點的切平面與平6 22134xyz 面 平行 1xyz 4 計算二重積分 其中 D 是由 所圍成的區(qū)6 sinDydx 2 yx 域 5 計算 其中 L 為 沿逆時針方向的6 Lxydy A21xy 圓周 6 將函數(shù) 展開成 的冪級數(shù) 并確定收斂域 6 1 fx 3x 7 求微分方程 的通解 6 2 1 xxye 8 求微分方程 滿足初始條件 的特6 40y 002 xxy 解 四 應(yīng)用題 72 1 在橢圓 上求一點 使其到直線 的距離最短 214xy 2360 xy 2 求旋轉(zhuǎn)拋物面 與 圍成的立體的體積 2zxy 2z 五 利用柱面坐標計算三重積分 其中 是由曲面9 zdxy 與平面 所圍成的區(qū)域 2zxy 1z 六 應(yīng)用題 01 求由曲面 和 圍成的立體的體積 2zxy 243zxy