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《第四章 圖形的相似》 一、選擇題： 1．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，S△DEF=12cm2，則S△AOB的值為（　　） A．12cm2 B．24cm2 C．36cm2 D．48cm2 2．如圖，△ABC，AB=12，AC=15，D為AB上一點(diǎn)，且AD=AB，在AC上取一點(diǎn)E，使以A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，則AE等于（　?。? A． B．10 C．或10 D．以上答案都不對(duì) 3．（3分）在直角三角形中，兩直角邊分別為3和4，則這個(gè)三角形的斜邊與斜邊上的高的比為（　?。? A． B． C． D． 4．點(diǎn)P是△ABC中AB邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線（不與直線AB重合）截△ABC，使截得的三角形與原三角形相似，滿足這樣條件的直線最多有（　　） A．2條 B．3條 C．4條 D．5條 5．如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（　?。? A． B． C． D． 6．正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是BC中點(diǎn)，DE交AC于F，若DE=12，則EF等于（　?。? A．8 B．6 C．4 D．3 7．已知正方形ABCD，E是CD的中點(diǎn)，P是BC邊上的一點(diǎn)，下列條件中不能推出△ABP與△ECP相似的是（　?。? A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90 C．P是BC的中點(diǎn) D．BP：BC=2：3 8．如圖，矩形ABCD中，BE⊥AC于F，E恰是CD的中點(diǎn)，下列式子成立的是（　　） A．BF2=AF2 B．BF2=AF2 C．BF2＞AF2 D．BF2＜AF2 9．（3分）如圖，正方形ABCD的面積為1，M是AB的中點(diǎn)，連接CM、DM、AC，則圖中陰影部分的面積為（　　） A． B． C． D． 10．在坐標(biāo)系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），過(guò)點(diǎn)C作直線L交x軸于點(diǎn)D，使得以點(diǎn)D，C，O為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，這樣的直線一共可以作出（　?。? A．6條 B．3條 C．4條 D．5條 　 二、填空題： 11．如圖，把一個(gè)矩形紙片ABCD沿AD和BC的中點(diǎn)連線EF對(duì)折，要使矩形AEFB與原矩形相似，則原矩形長(zhǎng)與寬的比為　　． 12．已知： ===，2b+3d﹣5f=9，則2a+3c﹣5e=　?。? 13．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，MN⊥AB于M，AM=8cm，AC=AB，BC=15cm，則四邊形BCNM的面積為　?。? 14．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，且BE：EC=2：1，AE與BD交于點(diǎn)F，則△AFD與四邊形DEFC的面積之比是　?。? 15．如圖，已知梯形AECF中，已知點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，AF∥BC，CG=3，GA=1，若△AEG的面積為1，那么四邊形BDGC的面積為　?。? 16．如圖，在平行四邊形ABCD中，M、N為AB的三等分點(diǎn)，DM、DN分別交AC于P、Q兩點(diǎn)，則AP：PQ：QC=　?。? 　 三、解答題：（共36分） 17．已知：平行四邊形ABCD，E是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE與AD、BD交于G、F． 求證：CF2=GF?EF． 18．（8分）已知：如圖AD?AB=AF?AC，求證：△DEB∽△FEC． 19．以長(zhǎng)為2的線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點(diǎn)P，連接PD，在BA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使PF=PD，以AF為邊作正方形AMEF，點(diǎn)M在AD上． （1）求AM，DM的長(zhǎng)； （2）求證：AM2=AD?DM； （3）根據(jù)（2）的結(jié)論你能找出圖中的黃金分割點(diǎn)嗎？ 20．已知：如圖，AD是Rt△ABC的角平分線，AD的垂直平分線EF交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：FD2=FB?FC． 21．已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為E，CE的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EG∥BC交AB于點(diǎn)G，AE?AD=16，． （1）求AC的長(zhǎng)； （2）求EG的長(zhǎng)． 　 《第四章 圖形的相似》 參考答案與試題解析 　 一、選擇題： 1．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，S△DEF=12cm2，則S△AOB的值為（　?。? A．12cm2 B．24cm2 C．36cm2 D．48cm2 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB=DC=2DE，OD=OB，DC∥AB，求出△DFE∽△BFA，推出===， =（）2=， ==，求出△AFB的面積是48cm2，△ADF的面積是24cm2，求出△ABD的面積即可． 【解答】解：∵E為DC的中點(diǎn)， ∴DC=2DE， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=DC=2DE，OD=OB，DC∥AB， ∴△DFE∽△BFA， ∴===， =（）2=（）2=， ==， ∵S△DEF=12cm2， ∴△AFB的面積是48cm2，△ADF的面積是24cm2， ∴△ABD的面積是72cm2， ∵DO=OB， ∴△ADO和△ABO的面積相等， ∴S△AOB的值為72cm2=36cm2， 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出△AFB的面積和△ADF的面積． 　 2．如圖，△ABC，AB=12，AC=15，D為AB上一點(diǎn)，且AD=AB，在AC上取一點(diǎn)E，使以A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，則AE等于（　?。? A． B．10 C．或10 D．以上答案都不對(duì) 【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)． 【專題】分類討論． 【分析】△ADE與△ABC相似，則存在兩種情況，即△AED∽△ACB，也可能是△AED∽△ABC，應(yīng)分類討論，求解． 【解答】解：如圖 （1）當(dāng)∠AED=∠C時(shí)，即DE∥BC 則AE=AC=10 （2）當(dāng)∠AED=∠B時(shí)，△AED∽△ABC ∴，即 AE= 綜合（1），（2），故選C． 【點(diǎn)評(píng)】會(huì)利用相似三角形求解一些簡(jiǎn)單的計(jì)算問(wèn)題． 　 3．（3分）在直角三角形中，兩直角邊分別為3和4，則這個(gè)三角形的斜邊與斜邊上的高的比為（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】勾股定理． 【分析】本題主要利用勾股定理和面積法求高即可． 【解答】解：∵在直角三角形中，兩直角邊分別為3和4， ∴斜邊為5， ∴斜邊上的高為=．（由直角三角形的面積可求得） ∴這個(gè)三角形的斜邊與斜邊上的高的比為5： =． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理和利用面積法求高，此題考查了學(xué)生對(duì)直角三角形的掌握程度． 　 4．點(diǎn)P是△ABC中AB邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線（不與直線AB重合）截△ABC，使截得的三角形與原三角形相似，滿足這樣條件的直線最多有（　　） A．2條 B．3條 C．4條 D．5條 【考點(diǎn)】相似三角形的判定． 【專題】常規(guī)題型；壓軸題． 【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定作輔助線即可求得這樣的直線有幾條． 【解答】解：（1）作∠APD=∠C ∵∠A=∠A ∴△APD∽△ABC （2）作PE∥BC ∴△APE∽△ABC （3）作∠BPF=∠C ∵∠B=∠B ∴△FBP∽△ABC （4）作PG∥AC ∴△PBG∽△ABC 所以共4條 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定的運(yùn)用． 　 5．如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定． 【專題】網(wǎng)格型． 【分析】根據(jù)網(wǎng)格中的數(shù)據(jù)求出AB，AC，BC的長(zhǎng)，求出三邊之比，利用三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似判斷即可． 【解答】解：根據(jù)題意得：AB==，AC=，BC=2， ∴AC：BC：AB=：2： =1：：， A、三邊之比為1：：2，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似； B、三邊之比為：：3，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似； C、三邊之比為1：：，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似； D、三邊之比為2：：，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵． 　 6．正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是BC中點(diǎn)，DE交AC于F，若DE=12，則EF等于（　?。? A．8 B．6 C．4 D．3 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【專題】壓軸題；探究型． 【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，E是BC中點(diǎn)，所以CE=AD，由相似三角形的判定定理得出△CEF∽△ADF，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得出==，再根據(jù)DF=DE﹣EF即可得出EF的長(zhǎng)． 【解答】解：如圖所示： ∵四邊形ABCD是正方形，E是BC中點(diǎn)， ∴CE=AD， ∵AD∥BC， ∴∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠EFC， ∴△CEF∽△ADF， ∴==， =，即=， 解得EF=4． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，先根據(jù)題意判斷出△CEF∽△ADF，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行解答是解答此題的關(guān)鍵． 　 7．已知正方形ABCD，E是CD的中點(diǎn)，P是BC邊上的一點(diǎn)，下列條件中不能推出△ABP與△ECP相似的是（　?。? A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90 C．P是BC的中點(diǎn) D．BP：BC=2：3 【考點(diǎn)】相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】利用兩三角形相似的判定定理，做題即可． 【解答】解：利用三角形相似的判定方法逐一進(jìn)行判斷．A、B可用兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；D可用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行判斷．只有C中P是BC的中點(diǎn)不可推斷． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】考查相似三角形的判定定理： （1）兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似． （2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似． （3）三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似． （4）如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似． 　 8．如圖，矩形ABCD中，BE⊥AC于F，E恰是CD的中點(diǎn)，下列式子成立的是（　?。? A．BF2=AF2 B．BF2=AF2 C．BF2＞AF2 D．BF2＜AF2 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；射影定理． 【分析】此題即是探求BF2與AF2之間的關(guān)系．利用△ABF∽△CEF所得比例線段探究求解． 【解答】解：根據(jù)射影定理可得BF2=AFCF； ∵△ABF∽△CEF， ∴CF：AF=CE：AB=1：2 ∴BF2=AFAF=AF2． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了射影定理及三角形的相似的性質(zhì)． 　 9．（3分）如圖，正方形ABCD的面積為1，M是AB的中點(diǎn)，連接CM、DM、AC，則圖中陰影部分的面積為（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得到△AME∽△CDE，根據(jù)相似三角形的邊對(duì)應(yīng)邊成比例，求得EH，EF的長(zhǎng)，從而即可求得陰影部分的面積． 【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作HF⊥AB ∵AM∥CD， ∴∠DCE=∠EAM，∠CDE=∠EMA， ∴△AME∽△CDE ∴AM：DC=EH：EF=1：2，F(xiàn)H=AD=1 ∴EH=，EF=． ∴陰影部分的面積=S正﹣S△AME﹣S△CDE﹣S△MBC=1﹣﹣﹣=． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，找出各線段之間的比例關(guān)系是本題解題的關(guān)鍵． 　 10．在坐標(biāo)系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），過(guò)點(diǎn)C作直線L交x軸于點(diǎn)D，使得以點(diǎn)D，C，O為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，這樣的直線一共可以作出（　　） A．6條 B．3條 C．4條 D．5條 【考點(diǎn)】相似三角形的判定；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 【專題】常規(guī)題型；分類討論． 【分析】△AOB是直角三角形，所作的以點(diǎn)D，C，O為頂點(diǎn)的三角形中∠COD=90度，OC與AD可能是對(duì)應(yīng)邊，這樣就可以求出CD的長(zhǎng)度，以C為圓心，以所求的長(zhǎng)度為半徑作圓，圓與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，因而這樣的直線就是兩條．同理，當(dāng)OC與BD是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，又有兩條滿足條件的直線，共有四條． 【解答】解：以點(diǎn)D，C，O為頂點(diǎn)的三角形中∠COD=90度， 當(dāng)OC與AO是對(duì)應(yīng)邊，以C為圓心，以CD的長(zhǎng)度為半徑作圓，圓與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，因而這樣的直線就是兩條． 同理，當(dāng)OC與OB是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，又有兩條滿足條件的直線， 所以共有四條． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的相似，注意到分兩種情況進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵． 　 二、填空題： 11．如圖，把一個(gè)矩形紙片ABCD沿AD和BC的中點(diǎn)連線EF對(duì)折，要使矩形AEFB與原矩形相似，則原矩形長(zhǎng)與寬的比為　　． 【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比相等，設(shè)出原來(lái)矩形的長(zhǎng)與寬，就可得到一個(gè)方程，解方程即可求得． 【解答】解：根據(jù)條件可知：矩形AEFB∽矩形ABCD． ∴=． 設(shè)AD=x，AB=y，則AE=x．則=，即： x2=y2． ∴=2． ∴x：y=：1． 即原矩形長(zhǎng)與寬的比為：1． 故答案為：：1． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)相似形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，正確分清對(duì)應(yīng)邊，以及正確解方程是解決本題的關(guān)鍵． 　 12．已知： ===，2b+3d﹣5f=9，則2a+3c﹣5e=　?。? 【考點(diǎn)】比例的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)等比性質(zhì)解答即可． 【解答】解：∵ ===， ∴=， ∵2b+3d﹣5f=9， ∴2a+3c﹣5e=9=6． 故答案為：6． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟記并理解等比性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 13．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，MN⊥AB于M，AM=8cm，AC=AB，BC=15cm，則四邊形BCNM的面積為　　． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】由△AMN∽△ACB，推出==，由AC：AB=4：5，設(shè)AC=4k，AB=5k，則BC=3k，由BC=15，推出k=5，AC=20，AB=25，根據(jù)四邊形BCNM的面積=S△ABC﹣S△AMN即可解決問(wèn)題． 【解答】解：∵M(jìn)N⊥AB， ∴∠AMN=∠C=90， ∵∠A=∠A， ∴△AMN∽△ACB， ∴==， ∵AC：AB=4：5，設(shè)AC=4k，AB=5k，則BC=3k， ∵BC=15， ∴3k=15， ∴k=5，AC=20，AB=25， ∴MN=6，AN=8， ∴四邊形BCNM的面積=S△ABC﹣S△AMN=2015﹣86=126． 故答案為126． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型． 　 14．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，且BE：EC=2：1，AE與BD交于點(diǎn)F，則△AFD與四邊形DEFC的面積之比是　?。? 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】根據(jù)題意，先設(shè)CE=x，S△BEF=a，再求出S△ADF的表達(dá)式，利用四部分的面積和等于正方形的面積，得到x與a的關(guān)系，那么兩部分的面積比就可以求出來(lái)． 【解答】解：設(shè)CE=x，S△BEF=a， ∵CE=x，BE：CE=2：1， ∴BE=2x，AD=BC=CD=AD=3x； ∵BC∥AD∴∠EBF=∠ADF， 又∵∠BFE=∠DFA； ∴△EBF∽△ADF ∴S△BEF：S△ADF===，那么S△ADF=a． ∵S△BCD﹣S△BEF=S四邊形EFDC=S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF， ∴x2﹣a=9x2﹣3x?2x﹣， 化簡(jiǎn)可求出x2=； ∴S△AFD：S四邊形DEFC=： =： =9：11，故答案為9：11． 【點(diǎn)評(píng)】此題運(yùn)用了相似三角形的判定和性質(zhì)，還用到了相似三角形的面積比等于相似比的平方． 　 15．如圖，已知梯形AECF中，已知點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，AF∥BC，CG=3，GA=1，若△AEG的面積為1，那么四邊形BDGC的面積為　?。? 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；梯形． 【分析】先求出△AFG的面積，然后找出S△CEG=9S△AFG=3，再求出S△AFD=2S△AFC=2=，S△DEB=S△AFD=，最后用面積差即可． 【解答】解：AF∥BC，CG=3，GA=1， ∴， ∴FG=EF， ∵AF∥BC， ∴， ∵D是AB的中點(diǎn)， ∴AD=BD， ∴ED=FD， ∴FD=EF， ∵=， ∴S△AFG=S△AEG=， ∵AF∥BC， ∴△CEG∽△AFG， ∴， ∴S△CEG=9S△AFG=3， ∵FG=EF，F(xiàn)D=EF， ∴FD=2FG， ∴DG=FG， ∴S△AFD=2S△AFC=2=， ∵△BED≌△AFD， ∴S△DEB=S△AFD=， ∴S四邊形BDGC的面積=S△CGE﹣S△BED =3﹣ =． 【點(diǎn)評(píng)】此題是相似三角形的性質(zhì)和判定，主要考查了相似三角形的性質(zhì)，面積比等于相似比的平分，等底的兩三角形面積的比等于高的比，解本題的關(guān)鍵是求出△AFG的面積． 　 16．如圖，在平行四邊形ABCD中，M、N為AB的三等分點(diǎn)，DM、DN分別交AC于P、Q兩點(diǎn)，則AP：PQ：QC=　?。? 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)題意，可得出△AMP∽△CDP和△ANQ∽△CDQ，可分別得到AP、PQ、QC的關(guān)系式，進(jìn)而求出AP、PQ、QC的比值． 【解答】解：由已知得：△AMP∽△CDP， ∴AM：CD=AP：PC=AP：（PQ+QC）=，即：3AP=PQ+QC，① △ANQ∽△CDQ， ∴AN：CD=AQ：QC=（AP+PQ）：QC=，即2QC=3（AP+PQ），② 解①、②得：AQ=AC，PQ=AQ﹣AP=AC，QC=AC﹣AQ=AC， ∴AP：PQ：QC=5：3：12． 【點(diǎn)評(píng)】主要考查了三角形相似的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，要熟練掌握靈活運(yùn)用． 　 三、解答題：（共36分） 17．已知：平行四邊形ABCD，E是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE與AD、BD交于G、F． 求證：CF2=GF?EF． 【考點(diǎn)】平行線分線段成比例；平行四邊形的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AD∥BC，AB∥CD，再根據(jù)平行線分線段成比例定理得=， =，利用等量代換得到=，然后根據(jù)比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論． 【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴=， =， ∴=， 即CF2=GF?EF． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．也考查了平行四邊形的性質(zhì)． 　 18．（8分）已知：如圖AD?AB=AF?AC，求證：△DEB∽△FEC． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定． 【專題】證明題． 【分析】利用兩邊對(duì)應(yīng)比值相等，且?jiàn)A角相等的兩三角形相似，進(jìn)而得出即可． 【解答】證明：∵AD?AB=AF?AC， ∴=， 又∵∠A=∠A， ∴△DEB∽△FEC． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握判定定理是解題關(guān)鍵． 　 19．以長(zhǎng)為2的線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點(diǎn)P，連接PD，在BA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使PF=PD，以AF為邊作正方形AMEF，點(diǎn)M在AD上． （1）求AM，DM的長(zhǎng)； （2）求證：AM2=AD?DM； （3）根據(jù)（2）的結(jié)論你能找出圖中的黃金分割點(diǎn)嗎？ 【考點(diǎn)】黃金分割；勾股定理；正方形的性質(zhì)． 【分析】（1）由勾股定理求PD，根據(jù)AM=AF=PF﹣PA=PD﹣PA，DM=AD﹣AM求解； （2）由（1）計(jì)算的數(shù)據(jù)進(jìn)行證明； （3）根據(jù)（2）的結(jié)論得： =，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的概念，則點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)． 【解答】（1）解：在Rt△APD中，PA=AB=1，AD=2， ∴PD==， ∴AM=AF=PF﹣PA=PD﹣PA=﹣1， DM=AD﹣AM=2﹣（﹣1）=3﹣； （2）證明：∵AM2=（﹣1）2=6﹣2，AD?DM=2（3﹣）=6﹣2， ∴AM2=AD?DM； （3）點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)．理由如下： ∵AM2=AD?DM， ∴═=， ∴點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)． 【點(diǎn)評(píng)】此題綜合考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理和黃金分割的概念．先求得線段AM，DM的長(zhǎng)，然后求得線段AM和AD，DM和AM之間的比，根據(jù)黃金分割的概念進(jìn)行判斷． 　 20．已知：如圖，AD是Rt△ABC的角平分線，AD的垂直平分線EF交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：FD2=FB?FC． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】首先連接AF，可證得△AFC∽△BFA，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例證得FA2=FB?FC，則可得FD2=FB?FC． 【解答】證明：連接AF， ∵EF是AD的垂直平分線， ∴AF=DF， ∴∠FAE=∠FDE， ∵∠FAE=∠FAB+∠BAD，∠FDE=∠C+∠CAD，且∠BAD=∠CAD， ∴∠FAB=∠C， ∵∠AFB是公共角， ∴△AFB∽△CFA， ∴， ∴FA2=FB?FC， 即FD2=FB?FC． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 　 21．已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為E，CE的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EG∥BC交AB于點(diǎn)G，AE?AD=16，． （1）求AC的長(zhǎng)； （2）求EG的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；勾股定理；三角形中位線定理． 【專題】幾何圖形問(wèn)題． 【分析】（1）∠CAD是公共角，∠ACB=∠AEC=90，所以△ACE和△ADC相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，列出比例式整理即可得到AC2=AE?AD，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可； （2）根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)度為8，再根據(jù)AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，CE⊥AD證明△ACE和△AFE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，CE=EF，最后根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半EG=BC． 【解答】解：（1）∵CE⊥AD， ∴∠AEC=90， ∵∠ACB=90， ∴∠AEC=∠ACB， 又∠CAE=∠CAE， ∴△ACE∽△ADC， ∴， 即AC2=AE?AD， ∵AE?AD=16， ∴AC2=16， ∴AC=4； （2）在△ABC中，BC===8， ∵AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D， ∴∠CAE=∠FAE， ∵CE⊥AD， ∴∠AEC=∠AEF=90， 在△ACE和△AFE中， ， ∴△ACE≌△AFE（ASA）， ∴CE=EF， ∵EG∥BC， ∴EG=BC=8=4． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，難度適中．