北師大九級(jí)上《第四章圖形的相似》單元測(cè)試含答案解析.doc
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北師大九級(jí)上《第四章圖形的相似》單元測(cè)試含答案解析.doc
《第四章 圖形的相似》
一、選擇題:
1.如圖,在平行四邊形ABCD中,E為DC的中點(diǎn),AE交BD于點(diǎn)F,S△DEF=12cm2,則S△AOB的值為( ?。?
A.12cm2 B.24cm2 C.36cm2 D.48cm2
2.如圖,△ABC,AB=12,AC=15,D為AB上一點(diǎn),且AD=AB,在AC上取一點(diǎn)E,使以A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似,則AE等于( ?。?
A. B.10
C.或10 D.以上答案都不對(duì)
3.(3分)在直角三角形中,兩直角邊分別為3和4,則這個(gè)三角形的斜邊與斜邊上的高的比為( ?。?
A. B. C. D.
4.點(diǎn)P是△ABC中AB邊上的一點(diǎn),過點(diǎn)P作直線(不與直線AB重合)截△ABC,使截得的三角形與原三角形相似,滿足這樣條件的直線最多有( ?。?
A.2條 B.3條 C.4條 D.5條
5.如圖,小正方形的邊長(zhǎng)均為1,則下列圖中的三角形(陰影部分)與△ABC相似的是( ?。?
A. B. C. D.
6.正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,E是BC中點(diǎn),DE交AC于F,若DE=12,則EF等于( )
A.8 B.6 C.4 D.3
7.已知正方形ABCD,E是CD的中點(diǎn),P是BC邊上的一點(diǎn),下列條件中不能推出△ABP與△ECP相似的是( ?。?
A.∠APB=∠EPC B.∠APE=90 C.P是BC的中點(diǎn) D.BP:BC=2:3
8.如圖,矩形ABCD中,BE⊥AC于F,E恰是CD的中點(diǎn),下列式子成立的是( ?。?
A.BF2=AF2 B.BF2=AF2 C.BF2>AF2 D.BF2<AF2
9.(3分)如圖,正方形ABCD的面積為1,M是AB的中點(diǎn),連接CM、DM、AC,則圖中陰影部分的面積為( )
A. B. C. D.
10.在坐標(biāo)系中,已知A(﹣3,0),B(0,﹣4),C(0,1),過點(diǎn)C作直線L交x軸于點(diǎn)D,使得以點(diǎn)D,C,O為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似,這樣的直線一共可以作出( ?。?
A.6條 B.3條 C.4條 D.5條
二、填空題:
11.如圖,把一個(gè)矩形紙片ABCD沿AD和BC的中點(diǎn)連線EF對(duì)折,要使矩形AEFB與原矩形相似,則原矩形長(zhǎng)與寬的比為 ?。?
12.已知: ===,2b+3d﹣5f=9,則2a+3c﹣5e= ?。?
13.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,MN⊥AB于M,AM=8cm,AC=AB,BC=15cm,則四邊形BCNM的面積為 ?。?
14.如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn),且BE:EC=2:1,AE與BD交于點(diǎn)F,則△AFD與四邊形DEFC的面積之比是 .
15.如圖,已知梯形AECF中,已知點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn),AF∥BC,CG=3,GA=1,若△AEG的面積為1,那么四邊形BDGC的面積為 .
16.如圖,在平行四邊形ABCD中,M、N為AB的三等分點(diǎn),DM、DN分別交AC于P、Q兩點(diǎn),則AP:PQ:QC= ?。?
三、解答題:(共36分)
17.已知:平行四邊形ABCD,E是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),CE與AD、BD交于G、F.
求證:CF2=GF?EF.
18.(8分)已知:如圖AD?AB=AF?AC,求證:△DEB∽△FEC.
19.以長(zhǎng)為2的線段AB為邊作正方形ABCD,取AB的中點(diǎn)P,連接PD,在BA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F,使PF=PD,以AF為邊作正方形AMEF,點(diǎn)M在AD上.
(1)求AM,DM的長(zhǎng);
(2)求證:AM2=AD?DM;
(3)根據(jù)(2)的結(jié)論你能找出圖中的黃金分割點(diǎn)嗎?
20.已知:如圖,AD是Rt△ABC的角平分線,AD的垂直平分線EF交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,求證:FD2=FB?FC.
21.已知,如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)C作CE⊥AD,垂足為E,CE的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F,過點(diǎn)E作EG∥BC交AB于點(diǎn)G,AE?AD=16,.
(1)求AC的長(zhǎng);
(2)求EG的長(zhǎng).
《第四章 圖形的相似》
參考答案與試題解析
一、選擇題:
1.如圖,在平行四邊形ABCD中,E為DC的中點(diǎn),AE交BD于點(diǎn)F,S△DEF=12cm2,則S△AOB的值為( ?。?
A.12cm2 B.24cm2 C.36cm2 D.48cm2
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB=DC=2DE,OD=OB,DC∥AB,求出△DFE∽△BFA,推出===, =()2=, ==,求出△AFB的面積是48cm2,△ADF的面積是24cm2,求出△ABD的面積即可.
【解答】解:∵E為DC的中點(diǎn),
∴DC=2DE,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB=DC=2DE,OD=OB,DC∥AB,
∴△DFE∽△BFA,
∴===, =()2=()2=, ==,
∵S△DEF=12cm2,
∴△AFB的面積是48cm2,△ADF的面積是24cm2,
∴△ABD的面積是72cm2,
∵DO=OB,
∴△ADO和△ABO的面積相等,
∴S△AOB的值為72cm2=36cm2,
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定,平行四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用,解此題的關(guān)鍵是求出△AFB的面積和△ADF的面積.
2.如圖,△ABC,AB=12,AC=15,D為AB上一點(diǎn),且AD=AB,在AC上取一點(diǎn)E,使以A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似,則AE等于( ?。?
A. B.10
C.或10 D.以上答案都不對(duì)
【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì).
【專題】分類討論.
【分析】△ADE與△ABC相似,則存在兩種情況,即△AED∽△ACB,也可能是△AED∽△ABC,應(yīng)分類討論,求解.
【解答】解:如圖
(1)當(dāng)∠AED=∠C時(shí),即DE∥BC
則AE=AC=10
(2)當(dāng)∠AED=∠B時(shí),△AED∽△ABC
∴,即
AE=
綜合(1),(2),故選C.
【點(diǎn)評(píng)】會(huì)利用相似三角形求解一些簡(jiǎn)單的計(jì)算問題.
3.(3分)在直角三角形中,兩直角邊分別為3和4,則這個(gè)三角形的斜邊與斜邊上的高的比為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】勾股定理.
【分析】本題主要利用勾股定理和面積法求高即可.
【解答】解:∵在直角三角形中,兩直角邊分別為3和4,
∴斜邊為5,
∴斜邊上的高為=.(由直角三角形的面積可求得)
∴這個(gè)三角形的斜邊與斜邊上的高的比為5: =.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理和利用面積法求高,此題考查了學(xué)生對(duì)直角三角形的掌握程度.
4.點(diǎn)P是△ABC中AB邊上的一點(diǎn),過點(diǎn)P作直線(不與直線AB重合)截△ABC,使截得的三角形與原三角形相似,滿足這樣條件的直線最多有( ?。?
A.2條 B.3條 C.4條 D.5條
【考點(diǎn)】相似三角形的判定.
【專題】常規(guī)題型;壓軸題.
【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定作輔助線即可求得這樣的直線有幾條.
【解答】解:(1)作∠APD=∠C
∵∠A=∠A
∴△APD∽△ABC
(2)作PE∥BC
∴△APE∽△ABC
(3)作∠BPF=∠C
∵∠B=∠B
∴△FBP∽△ABC
(4)作PG∥AC
∴△PBG∽△ABC
所以共4條
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定的運(yùn)用.
5.如圖,小正方形的邊長(zhǎng)均為1,則下列圖中的三角形(陰影部分)與△ABC相似的是( ?。?
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定.
【專題】網(wǎng)格型.
【分析】根據(jù)網(wǎng)格中的數(shù)據(jù)求出AB,AC,BC的長(zhǎng),求出三邊之比,利用三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似判斷即可.
【解答】解:根據(jù)題意得:AB==,AC=,BC=2,
∴AC:BC:AB=:2: =1::,
A、三邊之比為1::2,圖中的三角形(陰影部分)與△ABC不相似;
B、三邊之比為::3,圖中的三角形(陰影部分)與△ABC不相似;
C、三邊之比為1::,圖中的三角形(陰影部分)與△ABC相似;
D、三邊之比為2::,圖中的三角形(陰影部分)與△ABC不相似.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定,熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵.
6.正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,E是BC中點(diǎn),DE交AC于F,若DE=12,則EF等于( ?。?
A.8 B.6 C.4 D.3
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì).
【專題】壓軸題;探究型.
【分析】先根據(jù)題意畫出圖形,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,E是BC中點(diǎn),所以CE=AD,由相似三角形的判定定理得出△CEF∽△ADF,再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得出==,再根據(jù)DF=DE﹣EF即可得出EF的長(zhǎng).
【解答】解:如圖所示:
∵四邊形ABCD是正方形,E是BC中點(diǎn),
∴CE=AD,
∵AD∥BC,
∴∠ADF=∠DEC,∠AFD=∠EFC,
∴△CEF∽△ADF,
∴==, =,即=,
解得EF=4.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì),先根據(jù)題意判斷出△CEF∽△ADF,再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行解答是解答此題的關(guān)鍵.
7.已知正方形ABCD,E是CD的中點(diǎn),P是BC邊上的一點(diǎn),下列條件中不能推出△ABP與△ECP相似的是( ?。?
A.∠APB=∠EPC B.∠APE=90 C.P是BC的中點(diǎn) D.BP:BC=2:3
【考點(diǎn)】相似三角形的判定;正方形的性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】利用兩三角形相似的判定定理,做題即可.
【解答】解:利用三角形相似的判定方法逐一進(jìn)行判斷.A、B可用兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似;D可用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行判斷.只有C中P是BC的中點(diǎn)不可推斷.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】考查相似三角形的判定定理:
(1)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.
(2)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.
(3)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.
(4)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)直角三角形相似.
8.如圖,矩形ABCD中,BE⊥AC于F,E恰是CD的中點(diǎn),下列式子成立的是( ?。?
A.BF2=AF2 B.BF2=AF2 C.BF2>AF2 D.BF2<AF2
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);矩形的性質(zhì);射影定理.
【分析】此題即是探求BF2與AF2之間的關(guān)系.利用△ABF∽△CEF所得比例線段探究求解.
【解答】解:根據(jù)射影定理可得BF2=AFCF;
∵△ABF∽△CEF,
∴CF:AF=CE:AB=1:2
∴BF2=AFAF=AF2.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了射影定理及三角形的相似的性質(zhì).
9.(3分)如圖,正方形ABCD的面積為1,M是AB的中點(diǎn),連接CM、DM、AC,則圖中陰影部分的面積為( ?。?
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得到△AME∽△CDE,根據(jù)相似三角形的邊對(duì)應(yīng)邊成比例,求得EH,EF的長(zhǎng),從而即可求得陰影部分的面積.
【解答】解:如圖,過點(diǎn)E作HF⊥AB
∵AM∥CD,
∴∠DCE=∠EAM,∠CDE=∠EMA,
∴△AME∽△CDE
∴AM:DC=EH:EF=1:2,F(xiàn)H=AD=1
∴EH=,EF=.
∴陰影部分的面積=S正﹣S△AME﹣S△CDE﹣S△MBC=1﹣﹣﹣=.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),找出各線段之間的比例關(guān)系是本題解題的關(guān)鍵.
10.在坐標(biāo)系中,已知A(﹣3,0),B(0,﹣4),C(0,1),過點(diǎn)C作直線L交x軸于點(diǎn)D,使得以點(diǎn)D,C,O為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似,這樣的直線一共可以作出( ?。?
A.6條 B.3條 C.4條 D.5條
【考點(diǎn)】相似三角形的判定;坐標(biāo)與圖形性質(zhì).
【專題】常規(guī)題型;分類討論.
【分析】△AOB是直角三角形,所作的以點(diǎn)D,C,O為頂點(diǎn)的三角形中∠COD=90度,OC與AD可能是對(duì)應(yīng)邊,這樣就可以求出CD的長(zhǎng)度,以C為圓心,以所求的長(zhǎng)度為半徑作圓,圓與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),因而這樣的直線就是兩條.同理,當(dāng)OC與BD是對(duì)應(yīng)邊時(shí),又有兩條滿足條件的直線,共有四條.
【解答】解:以點(diǎn)D,C,O為頂點(diǎn)的三角形中∠COD=90度,
當(dāng)OC與AO是對(duì)應(yīng)邊,以C為圓心,以CD的長(zhǎng)度為半徑作圓,圓與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),因而這樣的直線就是兩條.
同理,當(dāng)OC與OB是對(duì)應(yīng)邊時(shí),又有兩條滿足條件的直線,
所以共有四條.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的相似,注意到分兩種情況進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵.
二、填空題:
11.如圖,把一個(gè)矩形紙片ABCD沿AD和BC的中點(diǎn)連線EF對(duì)折,要使矩形AEFB與原矩形相似,則原矩形長(zhǎng)與寬的比為 .
【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比相等,設(shè)出原來矩形的長(zhǎng)與寬,就可得到一個(gè)方程,解方程即可求得.
【解答】解:根據(jù)條件可知:矩形AEFB∽矩形ABCD.
∴=.
設(shè)AD=x,AB=y,則AE=x.則=,即: x2=y2.
∴=2.
∴x:y=:1.
即原矩形長(zhǎng)與寬的比為:1.
故答案為::1.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似多邊形的性質(zhì),根據(jù)相似形的對(duì)應(yīng)邊的比相等,把幾何問題轉(zhuǎn)化為方程問題,正確分清對(duì)應(yīng)邊,以及正確解方程是解決本題的關(guān)鍵.
12.已知: ===,2b+3d﹣5f=9,則2a+3c﹣5e= .
【考點(diǎn)】比例的性質(zhì).
【分析】根據(jù)等比性質(zhì)解答即可.
【解答】解:∵ ===,
∴=,
∵2b+3d﹣5f=9,
∴2a+3c﹣5e=9=6.
故答案為:6.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì),熟記并理解等比性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
13.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,MN⊥AB于M,AM=8cm,AC=AB,BC=15cm,則四邊形BCNM的面積為 .
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】由△AMN∽△ACB,推出==,由AC:AB=4:5,設(shè)AC=4k,AB=5k,則BC=3k,由BC=15,推出k=5,AC=20,AB=25,根據(jù)四邊形BCNM的面積=S△ABC﹣S△AMN即可解決問題.
【解答】解:∵M(jìn)N⊥AB,
∴∠AMN=∠C=90,
∵∠A=∠A,
∴△AMN∽△ACB,
∴==,
∵AC:AB=4:5,設(shè)AC=4k,AB=5k,則BC=3k,
∵BC=15,
∴3k=15,
∴k=5,AC=20,AB=25,
∴MN=6,AN=8,
∴四邊形BCNM的面積=S△ABC﹣S△AMN=2015﹣86=126.
故答案為126.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問題,屬于中考??碱}型.
14.如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn),且BE:EC=2:1,AE與BD交于點(diǎn)F,則△AFD與四邊形DEFC的面積之比是 ?。?
【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】根據(jù)題意,先設(shè)CE=x,S△BEF=a,再求出S△ADF的表達(dá)式,利用四部分的面積和等于正方形的面積,得到x與a的關(guān)系,那么兩部分的面積比就可以求出來.
【解答】解:設(shè)CE=x,S△BEF=a,
∵CE=x,BE:CE=2:1,
∴BE=2x,AD=BC=CD=AD=3x;
∵BC∥AD∴∠EBF=∠ADF,
又∵∠BFE=∠DFA;
∴△EBF∽△ADF
∴S△BEF:S△ADF===,那么S△ADF=a.
∵S△BCD﹣S△BEF=S四邊形EFDC=S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF,
∴x2﹣a=9x2﹣3x?2x﹣,
化簡(jiǎn)可求出x2=;
∴S△AFD:S四邊形DEFC=: =: =9:11,故答案為9:11.
【點(diǎn)評(píng)】此題運(yùn)用了相似三角形的判定和性質(zhì),還用到了相似三角形的面積比等于相似比的平方.
15.如圖,已知梯形AECF中,已知點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn),AF∥BC,CG=3,GA=1,若△AEG的面積為1,那么四邊形BDGC的面積為 ?。?
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);梯形.
【分析】先求出△AFG的面積,然后找出S△CEG=9S△AFG=3,再求出S△AFD=2S△AFC=2=,S△DEB=S△AFD=,最后用面積差即可.
【解答】解:AF∥BC,CG=3,GA=1,
∴,
∴FG=EF,
∵AF∥BC,
∴,
∵D是AB的中點(diǎn),
∴AD=BD,
∴ED=FD,
∴FD=EF,
∵=,
∴S△AFG=S△AEG=,
∵AF∥BC,
∴△CEG∽△AFG,
∴,
∴S△CEG=9S△AFG=3,
∵FG=EF,F(xiàn)D=EF,
∴FD=2FG,
∴DG=FG,
∴S△AFD=2S△AFC=2=,
∵△BED≌△AFD,
∴S△DEB=S△AFD=,
∴S四邊形BDGC的面積=S△CGE﹣S△BED
=3﹣
=.
【點(diǎn)評(píng)】此題是相似三角形的性質(zhì)和判定,主要考查了相似三角形的性質(zhì),面積比等于相似比的平分,等底的兩三角形面積的比等于高的比,解本題的關(guān)鍵是求出△AFG的面積.
16.如圖,在平行四邊形ABCD中,M、N為AB的三等分點(diǎn),DM、DN分別交AC于P、Q兩點(diǎn),則AP:PQ:QC= ?。?
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)題意,可得出△AMP∽△CDP和△ANQ∽△CDQ,可分別得到AP、PQ、QC的關(guān)系式,進(jìn)而求出AP、PQ、QC的比值.
【解答】解:由已知得:△AMP∽△CDP,
∴AM:CD=AP:PC=AP:(PQ+QC)=,即:3AP=PQ+QC,①
△ANQ∽△CDQ,
∴AN:CD=AQ:QC=(AP+PQ):QC=,即2QC=3(AP+PQ),②
解①、②得:AQ=AC,PQ=AQ﹣AP=AC,QC=AC﹣AQ=AC,
∴AP:PQ:QC=5:3:12.
【點(diǎn)評(píng)】主要考查了三角形相似的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì),要熟練掌握靈活運(yùn)用.
三、解答題:(共36分)
17.已知:平行四邊形ABCD,E是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),CE與AD、BD交于G、F.
求證:CF2=GF?EF.
【考點(diǎn)】平行線分線段成比例;平行四邊形的性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AD∥BC,AB∥CD,再根據(jù)平行線分線段成比例定理得=, =,利用等量代換得到=,然后根據(jù)比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
【解答】證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴=, =,
∴=,
即CF2=GF?EF.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線),所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.也考查了平行四邊形的性質(zhì).
18.(8分)已知:如圖AD?AB=AF?AC,求證:△DEB∽△FEC.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定.
【專題】證明題.
【分析】利用兩邊對(duì)應(yīng)比值相等,且夾角相等的兩三角形相似,進(jìn)而得出即可.
【解答】證明:∵AD?AB=AF?AC,
∴=,
又∵∠A=∠A,
∴△DEB∽△FEC.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定,熟練掌握判定定理是解題關(guān)鍵.
19.以長(zhǎng)為2的線段AB為邊作正方形ABCD,取AB的中點(diǎn)P,連接PD,在BA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F,使PF=PD,以AF為邊作正方形AMEF,點(diǎn)M在AD上.
(1)求AM,DM的長(zhǎng);
(2)求證:AM2=AD?DM;
(3)根據(jù)(2)的結(jié)論你能找出圖中的黃金分割點(diǎn)嗎?
【考點(diǎn)】黃金分割;勾股定理;正方形的性質(zhì).
【分析】(1)由勾股定理求PD,根據(jù)AM=AF=PF﹣PA=PD﹣PA,DM=AD﹣AM求解;
(2)由(1)計(jì)算的數(shù)據(jù)進(jìn)行證明;
(3)根據(jù)(2)的結(jié)論得: =,根據(jù)黃金分割點(diǎn)的概念,則點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn).
【解答】(1)解:在Rt△APD中,PA=AB=1,AD=2,
∴PD==,
∴AM=AF=PF﹣PA=PD﹣PA=﹣1,
DM=AD﹣AM=2﹣(﹣1)=3﹣;
(2)證明:∵AM2=(﹣1)2=6﹣2,AD?DM=2(3﹣)=6﹣2,
∴AM2=AD?DM;
(3)點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn).理由如下:
∵AM2=AD?DM,
∴═=,
∴點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn).
【點(diǎn)評(píng)】此題綜合考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理和黃金分割的概念.先求得線段AM,DM的長(zhǎng),然后求得線段AM和AD,DM和AM之間的比,根據(jù)黃金分割的概念進(jìn)行判斷.
20.已知:如圖,AD是Rt△ABC的角平分線,AD的垂直平分線EF交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,求證:FD2=FB?FC.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】首先連接AF,可證得△AFC∽△BFA,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例證得FA2=FB?FC,則可得FD2=FB?FC.
【解答】證明:連接AF,
∵EF是AD的垂直平分線,
∴AF=DF,
∴∠FAE=∠FDE,
∵∠FAE=∠FAB+∠BAD,∠FDE=∠C+∠CAD,且∠BAD=∠CAD,
∴∠FAB=∠C,
∵∠AFB是公共角,
∴△AFB∽△CFA,
∴,
∴FA2=FB?FC,
即FD2=FB?FC.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)以及角平分線的定義.此題難度適中,注意掌握輔助線的作法,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
21.已知,如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)C作CE⊥AD,垂足為E,CE的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F,過點(diǎn)E作EG∥BC交AB于點(diǎn)G,AE?AD=16,.
(1)求AC的長(zhǎng);
(2)求EG的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);角平分線的性質(zhì);勾股定理;三角形中位線定理.
【專題】幾何圖形問題.
【分析】(1)∠CAD是公共角,∠ACB=∠AEC=90,所以△ACE和△ADC相似,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例,列出比例式整理即可得到AC2=AE?AD,代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可;
(2)根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)度為8,再根據(jù)AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D,CE⊥AD證明△ACE和△AFE全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等,CE=EF,最后根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半EG=BC.
【解答】解:(1)∵CE⊥AD,
∴∠AEC=90,
∵∠ACB=90,
∴∠AEC=∠ACB,
又∠CAE=∠CAE,
∴△ACE∽△ADC,
∴,
即AC2=AE?AD,
∵AE?AD=16,
∴AC2=16,
∴AC=4;
(2)在△ABC中,BC===8,
∵AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D,
∴∠CAE=∠FAE,
∵CE⊥AD,
∴∠AEC=∠AEF=90,
在△ACE和△AFE中,
,
∴△ACE≌△AFE(ASA),
∴CE=EF,
∵EG∥BC,
∴EG=BC=8=4.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似,相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例,三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質(zhì),熟練掌握性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵,難度適中.