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2018屆中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題31 圓的基本性質(zhì)試題(A卷含解析)

上傳人:Sc****h 文檔編號(hào):80713474 上傳時(shí)間:2022-04-25 格式:DOC 頁數(shù):22 大?。?65.50KB
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1、 專題31 圓的基本性質(zhì) 一、選擇題 1. ( 山東聊城,9,3分)如圖所示,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,F(xiàn)是弧CD上一點(diǎn),且,連接CF并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AC,若∠ABC=105°,∠BAC=25°,則∠E的度數(shù)為 A、45° B、50° C、55° D、60° 【答案】B 【逐步提示】第一步先利用圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)求出ACD的度數(shù),第二步利用等弧所對(duì)的圓周角相等求出∠DCE,第三步利用三角形的一個(gè)外角等于不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠E的度數(shù). 【詳細(xì)解答】解:因?yàn)?,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,所以∠ADC=180°-∠ABC=180°-105

2、°=75°,又因?yàn)?,所以∠DCE=∠BAC=25°,又因?yàn)椤螦DC=∠DCE+∠E,所以∠E=∠ADC-∠DCE=75°-25°=50°,故選擇B . 【解后反思】本題考查了圓內(nèi)接四邊形及性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì),并結(jié)合三角形內(nèi)外角關(guān)系解決問題.等弧所對(duì)的圓周角相等;圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ);三角形的一個(gè)外角等于不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和. 【關(guān)鍵詞】圓內(nèi)接四邊形及性質(zhì) ;圓心角、圓周角定理;與三角形有關(guān)的線段、角;; 2.( 山東泰安,10,3分)如圖,點(diǎn)A、B、C是圓O上的三點(diǎn),且四邊形ABCO是平行四邊形,OF⊥OC交圓O于點(diǎn)F,則∠BAF等于( ) A

3、O C B F 第10題圖 A.12.5° B.15° C.20° D.22.5° 【答案】B 【逐步提示】本題考查了垂徑定理及等邊三角形的判定及性質(zhì),解題的關(guān)鍵是利用圓的有關(guān)性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)判定三角形的形狀.連接OB,由四邊形ABCO是平行四邊形,可知,再由半徑相等可得△ABO為等邊三角形,由OF⊥OC可得OF⊥AB,從而知道∠BOF的度數(shù),利用同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半,可以計(jì)算出∠BAF的度數(shù). 【詳細(xì)解答】解:連接OB,∵四邊形ABCO是平行四邊形,∴,∵OA=OB=OC,∴AB=OB=OA,∴

4、△ABO為等邊三角形,∴∠AOB=60°.又∵OF⊥OC,∴OF⊥AB,∴∠BOF=∠AOB=30°,∴∠BAF=∠BOF=15°.故選擇B . A O C B F 第10題圖 【解后反思】(1)圓周角定理能有效地把圓心角與圓周角聯(lián)系起來即在同圓或等圓中圓周角的度數(shù)等于同弧或等弧所對(duì)的圓心角的一半;(2)圓中任意兩條半徑和弦組成的三角形都是等腰三角形.此題利用平行四邊形對(duì)邊平行且相等的性質(zhì),并結(jié)合圓中半徑都相等,得到一個(gè)等邊三角形,從而求得一個(gè)60°的角,這是解決問題的關(guān)鍵所在. 【關(guān)鍵詞】平行四邊形的性質(zhì);等邊三角形;圓心角、圓周角定理. 3. ( 山東泰安

5、,17,3分)如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是⊙O的直徑,∠B=30°,CE平分∠ACB交⊙O于E,交AB于點(diǎn)D,連接AE,則的值等于( ) O C A B E D 第17題圖 A.1: B.1: C.1:2 D.2:3 【答案】D 【逐步提示】本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是掌握有關(guān)的性質(zhì)及圖形之間的聯(lián)系.因?yàn)榭梢灾馈鰽DE∽△CDB,面積比就等于相似比的平方.所以求出相似比即可.因?yàn)锳B是⊙O的直徑,∠B=30°,可知BC=ABcos30°,再

6、找出AE與AB的關(guān)系就可以了.因?yàn)镃E平分∠ACB,連接BE可知△AEB為等腰直角三角形,AE=ABcos45°.這樣就知道了,問題解決. O C A B E D 第17題圖 【詳細(xì)解答】解:連接BE,∵AB為⊙O的直徑,∴∠ACB=∠AEB=90°,在Rt△ABC中,∠B=30°,∴BC=ABcos30°=.∵ CE平分∠ACB,∴∠ACE=∠BCE=45°,∵∠BCE=∠BAE,∴∠BAE=45°,∴AE=ABcos45°=,∴=,∵∠BCE=∠BAE,∠ADE=∠CDB,∴△ADE∽△CDB,∴ 故答案為D . 【解后反思】求兩個(gè)三角形的

7、面積關(guān)系首先判斷兩個(gè)三角形是否相似,如果相似可以用相似三角形的性質(zhì):兩個(gè)相似三角形面積比等于相似比的平方去解決.此題解題的關(guān)鍵是利用直徑所對(duì)的圓周角是直角得到兩個(gè)直角三角形,然后通過特殊角的三角形函數(shù)值找到線段AE與BC的等量關(guān)系. 【關(guān)鍵詞】圓周角定理 ;特殊角的三角函數(shù)值;相似三角形的判定;相似三角形的性質(zhì) 4. ( 山東濰坊,9,3分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,⊙M與x軸相切于點(diǎn)A(8,0).與y軸分別交于點(diǎn)B(0,4)與點(diǎn)C(0,16).則圓心M到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離是( ) A.10 B. C. D. 【答案】D 【逐步提示】本題考查了垂徑定理及圖形與

8、坐標(biāo),解題的關(guān)鍵是作出輔助線,利用勾股定理進(jìn)行解答.過點(diǎn)M作MN⊥BC,交BC于點(diǎn)N,連接OM、BM,先利用垂徑定理求出BN的長(zhǎng)度,再利用勾股定理求出⊙M的半徑,然后利用勾股定理求OM的長(zhǎng)度. 【詳細(xì)解答】解:過點(diǎn)M作MN⊥BC,交BC于點(diǎn)N,連接OM、BM, 由A(8,0)、B(0,4)、C(0,16)可得:OA=8,BC=16-4=12. ∴MN=OA=8,BN=BC=6 ∴在Rt△MNB中,BM=,即⊙M的半徑為10. ∴ON=10. 在Rt△OMN中, . 故選擇D . 【解后反思】垂徑定理與勾股定理聯(lián)系密切,解此類題時(shí)需注意構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理進(jìn)行解答.

9、 【關(guān)鍵詞】垂徑定理;勾股定理;平面直角坐標(biāo)系; 5. ( 山東省煙臺(tái)市,10,3分)如圖,Rt△ABC的斜邊AB與量角器的直徑恰好重合,B點(diǎn)與0刻度線的一端重合,∠ABC=40°,射線CD繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng),與量角器外沿交于點(diǎn)D.若射線CD將△ABC分割出以BC為邊的等腰三角形,則點(diǎn)D在量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)是( ) 【答案】D 【逐步提示】由于不明確等腰三角形的邊和腰,所以要分兩種情況進(jìn)行討論:當(dāng)BC為底邊時(shí),當(dāng)BC為腰時(shí),分別求出∠BCD的度數(shù),即可求解. 在求解過程中要注意:點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上,所以點(diǎn)D在量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)等于2∠BCD的度數(shù). 【詳細(xì)解答】解:

10、∵∠ACB=90°,∴點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上. 分兩種情況進(jìn)行討論: 當(dāng)BC為底邊時(shí),∠BCD=∠ABC=40°, ∴點(diǎn)D在量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)是40°2=80°, 當(dāng)BC為腰時(shí),∠BCD==70°, ∴點(diǎn)D在量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)是70°2=140°, 故選擇D . 【解后反思】解此題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A心角、圓周角定理和等腰三角形的定義和性質(zhì). 1.圓周角定理的推論:圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半. 2.已知頂角求底角的方法:底角=. 3.解決與圓有關(guān)的角度的相關(guān)計(jì)算時(shí),一般先判斷角是圓周角還是圓心角,再轉(zhuǎn)化成同弧所對(duì)的圓周角或圓心角,然后利用圓周角定理以及推論

11、求解,特別地,當(dāng)有直徑這一條件時(shí),往往要用到直徑所對(duì)的圓周角是直角這一性質(zhì);或是當(dāng)有直角時(shí),往往要用到90°的圓周角所對(duì)的斜邊是直徑.. 4.沒有明確等腰三角形的底或腰時(shí),一定要注意分類討論.分類討論是一種重?cái)?shù)學(xué)思想,在研究數(shù)學(xué)問題時(shí),常常需要通過分類討論解決問題.分類要依據(jù)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn),且要做到不重不漏. 【關(guān)鍵詞】等腰三角形;圓周角;弧;分類討論思想; 6.(浙江杭州,8,3分)如圖,已知AC是⊙O的直徑,點(diǎn)B在圓周上(不與A.C重合),點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上,連結(jié)BD交⊙O于點(diǎn)E.若∠AOB=3∠ADB,則( ) A.DE=EB B.DE=EB C.DE

12、=DO D.DE=OB 第8題圖 第7題圖 【答案】D. 【逐步提示】本題考查了圓的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)與判斷,解題的關(guān)鍵是充分利用半徑相等、等腰三角形的兩底角相等及等角對(duì)等邊等有關(guān)性質(zhì).由四個(gè)選項(xiàng)中都是線段DE與相關(guān)線段的大小比較,且題目中條件為角之間的倍數(shù)關(guān)系,這樣就聯(lián)想到通過三角形之間的邊角關(guān)系來探索相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系了:不妨連接OE,首先由OB=OE,得到∠B=∠OEB;再由三角形的外角性質(zhì),得到∠AOB=∠B+∠D,∠OEB=∠EOD+∠D,加上已知條件∠AOB=3∠ADB,就不難推導(dǎo)出∠DOE=∠D,最后由等角對(duì)等邊,得到DE=EO=OB. 【解析】連接

13、OE,如下圖. ∵OB=OE, ∴∠B=∠OEB. ∵∠AOB=∠B+∠D,∠OEB=∠EOD+∠D,∠AOB=3∠ADB, ∴∠B=∠OEB=2∠D. ∴∠DOE=∠D. ∴DE=EO=OB. 故選擇D. 【解后反思】本題是一道探究題,由兩個(gè)角之間的3倍關(guān)系去探索線段DE與圖中相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系.如何充分利用已知條件與圖形中隱含的條件,是解題的關(guān)鍵.連接OE后,就容易利用圓的半徑相等,加上等腰三角形的性質(zhì)與判定定理及三角形的外角性質(zhì),得到圖中兩組相等的角及這兩組角的對(duì)邊也相等的結(jié)論,從而就探究出DE與圓的半徑相等的正確結(jié)論了. 【關(guān)鍵詞】圓的性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì)和判定

14、;三角形的外角性質(zhì) 7.(浙江金華,9,3分)足球射門,不考慮其他因素,僅考慮射點(diǎn)到球門AB的張角大小時(shí),張角越大,射門越好.如圖的正方形網(wǎng)格中,點(diǎn)A,B,C,D,E均在格點(diǎn)上,球員帶球沿CD方向進(jìn)攻,最好的射點(diǎn)在( ) (第9題圖) A E C D B A.點(diǎn)C B.點(diǎn)D或點(diǎn)E C.線段DE(異于端點(diǎn)) 上一點(diǎn) D.線段CD(異于端點(diǎn)) 上一點(diǎn) 【答案】C 【逐步提示】認(rèn)真審題確定解題思路,過A.B.D三點(diǎn)作圓,可以根據(jù)圓內(nèi)角、圓周角及圓外角的性質(zhì)確定各射點(diǎn)到球門AB的張角,比較各張角的大小,確定答

15、案. 【解析】連接EB.AD.DB.AC.CB,作過點(diǎn)A.B.D的圓,可以確定點(diǎn)E在圓上,點(diǎn)C在圓外,根據(jù)圓周角及圓外角的性質(zhì)可以確定∠AEB=∠ADB>∠ACB,所以最好的射點(diǎn)是線段DE(異于端點(diǎn)) 上一點(diǎn),故選擇C. 【解后反思】解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造圓,然后根據(jù)圓周角、圓內(nèi)角及圓外角的性質(zhì)確定各張角的大小,進(jìn)而得出結(jié)論. 【關(guān)鍵詞】圓周角;“網(wǎng)格”數(shù)學(xué)題型 8.(淅江麗水,10,3分)如圖,已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圓,點(diǎn)D是上一點(diǎn),BD交AC于點(diǎn)E,若BC=4,AD=,則AE的長(zhǎng)是 A.3 B.2 C.1 D.1.2 【答案】 【逐步提示】確定AC

16、=BC,△CBE∽△DAE,根據(jù)相似比判斷各選項(xiàng)中的數(shù)據(jù)是否正確. 【解析】由題意得AC=BC=4,BD=,△CBE∽△DAE,所以AE:BE=DE:CE=AD:CB=:4=,所以BE˙DE=AE˙CE,若AE=3,則BE=15>,錯(cuò)誤;若AE=2,則BE=10>,錯(cuò)誤;若AE=1,則BE=5,DE=,CE=4-1=3,此時(shí)滿足BE˙DE=AE˙CE,故AE=1;若AE=1.2,則BE=6>,錯(cuò)誤,故選擇C. 【解后反思】根據(jù)題意確定圖形中各線段間的關(guān)系,然后根據(jù)已知條件對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證得出正確的結(jié)論. 【關(guān)鍵詞】圓;相似三角形的性質(zhì);驗(yàn)證法;; 9.(四川達(dá)州,7,3分)

17、如圖,半徑為3的⊙A經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)C(0,2),B是y軸左側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點(diǎn),則tan∠OBC為 第7題圖 A. B.2 C. D. 【答案】C 【逐步提示】本題主要考查了圓中有關(guān)計(jì)算.解題的關(guān)鍵是把∠OBC的正切值轉(zhuǎn)化到直角三角形中求解.解題是:如圖,連接CD,則CD是⊙A的直徑,且∠OBC=∠ODC,在Rt△OCD中可求得tan∠ODC. 【詳細(xì)解答】解:連接CD,∵∠COD=90°,∴CD是⊙A的直徑,∠OBC=∠ODC,在Rt△OCD中,OD==4,∴tan∠ODC==故選擇C. 【解后反思】解答這類問題時(shí),往往將坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)度,進(jìn)而化歸

18、到直角三角形中,應(yīng)用三角函數(shù)定義求得三角函數(shù)值. 求銳角三角函數(shù)的方法:(1)直接定義法;(2)構(gòu)造直角三角形;(3)借助三角函數(shù)關(guān)系求值. 【關(guān)鍵詞】圓周角定理及推論;三角函數(shù) 10. ( 四川樂山,7,3分)如圖4,C、D是以線段AB為直徑的⊙O上兩點(diǎn),若CA=CD,且∠ACD=40°,則∠CAB= ( ). A.10° B.20° C.30° D.40° 【答案】B. 【逐步提示】欲求∠CAB,在Rt△ABC中,由AB是⊙O的直徑得到∠ACB=90°,所以只需知道∠ABC的度數(shù),在⊙O 中,∠ABC=∠ADC,這樣在等腰三角形ACD中,由∠ACD=40

19、°可得解. 【詳細(xì)解答】解:∵CA=CD,并且∠ACD=40°,∴∠ADC=70°.在⊙O中,∵AB為直徑,∠ACB=90°,∵∠ABC與∠ADC是⊙O中的圓周角,∴∠ABC=∠ADC=70°,∴∠CAB=∠ACB-∠ABC= 90°-70=20°,故選擇B. 【解后反思】對(duì)于圓的有關(guān)性質(zhì)的考查,一般會(huì)將圓周角、圓心角,弧、弦、弦心距等量之間的關(guān)系合并考查,解題的關(guān)鍵是明確相關(guān)性質(zhì).本題涉及到的有:①在同圓(或等圓)中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等;②直徑其所對(duì)的圓周角是90°. 【關(guān)鍵詞】等腰三角形性質(zhì);圓周角定理 11. (

20、四川省自貢市,5,4分)如圖,⊙O中,弦AB與CD交于點(diǎn)M,∠A=45°,∠AMD=75°,則∠B的度數(shù)是 A.15° B.25° C.30° D.75° 【答案】C 【逐步提示】∠B為圓周角,可以考慮將其轉(zhuǎn)移,再利用三角形的內(nèi)外角關(guān)系求解即可. 【詳細(xì)解答】解:∵∠A=45°,∠AMD=75°,∴∠C=30°,∴∠B=30°,故選擇C. 【解后反思】求角度數(shù)問題,通常手段就是轉(zhuǎn)移和分解,本題在第一步是將角分解求出∠C,再利用轉(zhuǎn)移的方法求出∠B. 【關(guān)鍵詞】三角形的內(nèi)角和;圓心角、圓周角定理 二、填空題 1. .( 山東青島,11,3分)如

21、圖,AB是⊙O的直徑,C , D是⊙O上的兩點(diǎn), 若∠BCD = 28° ,則∠ABD= °. 【答案】62 【逐步提示】∠ABD和∠ACD都是弧AD所對(duì)的圓周角,故只要求出∠ACD的度數(shù)即可; 根據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”可知∠ACB=90°,進(jìn)而由∠BCD的度數(shù)可求得∠ACD的度數(shù),問題得解. 【詳細(xì)解答】解:∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB=90°.∵∠BCD=28°,∴∠ACD=90°-28°=62°,∴∠ABD=62°,故答案為62. 【解后反思】與圓周角有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)有:半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角,90°的圓周角所對(duì)的弦是圓的直徑;同?。ɑ虻然。┧鶎?duì)的圓

22、周角等于圓心角的一半. 【關(guān)鍵詞】 圓周角;圓周角定理 2. ( 山東省棗莊市,15,4分)如圖,在半徑為3的⊙O中,直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E,連接AC,BD,若AC=2,則tan D= . A B D C O E 【答案】 【逐步提示】本題考查了有關(guān)圓周角的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是運(yùn)用直徑所對(duì)圓周角為直角及同弧所對(duì)圓周角相等把∠D與直角三角形聯(lián)系起來.連接BC,利用直徑所對(duì)圓周角為直角,解Rt△ABC,然后利用同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,即可求得tan D的值. 【詳細(xì)解答】解:連接BC,∵AB為⊙O直徑,∠ACB=90°,又∵AB=2r=6,∴B

23、C===,∵=,∴∠D=∠A,∴tan D=tan A=== ,故答案為 . A B D C O E 【解后反思】在圓中解決與角有關(guān)的問題時(shí),常用的是弧、弦、圓心角的對(duì)應(yīng)關(guān)系和圓周角定理,從而實(shí)現(xiàn)圓心角與圓周角、圓周角與圓周角的互換.若如涉及到三角函數(shù),通常利用直徑所對(duì)圓周角為直角,或構(gòu)造垂徑定理三角形求解. 【關(guān)鍵詞】 圓心角、圓周角定理;銳角三角函數(shù)值的求法 3. (重慶A,15,4分)如圖,OA,OB是⊙O的半徑,點(diǎn)C在⊙O上,連接AC,BC. 若∠AOB=120°,則∠ACB=_______度. 【答案】60 【逐步提示】∠AOB與

24、∠ACB是同弧()所對(duì)的圓心角和圓周角,則∠ACB=∠AOB. 【解析】∵∠AOB=120°,∠AOB所對(duì)的弧為,所對(duì)的圓周角為∠ACB,∴∠ACB=∠AOB=×120°=60°. 故答案為60. 【解后反思】在圓中,同弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)圓心角的一半. 【關(guān)鍵詞】圓心角、圓周角定理 4. (重慶B,15,4分)如圖,CD是⊙O的直徑,若AB⊥CD,垂足為B,∠OAB=40°,則∠C等于  度. 【答案】25 【逐步提示】利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余,由∠OAB的度數(shù)可求得∠AOB的度數(shù),再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角與圓心角的關(guān)系求解. 【解析】∵AB⊥CD,

25、∠OAB=40°,∴∠AOB=50°. ∵∠C與∠AOB分別為所對(duì)的圓周角和圓心角,∴∠C=∠AOB=25°. 故答案為25. 【解后反思】在圓中,求角的度數(shù)時(shí),首先要考慮要求的角是圓周角還是圓心角,再根據(jù)圓心角、圓周角的性質(zhì)定理求解. 在同圓中,同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半. 【關(guān)鍵詞】三角形的內(nèi)角和;圓心角、圓周角定理 5. ( 四川省巴中市,16,3分)如圖,∠A是⊙O的圓周角,∠OBC=550,則∠A= . 【答案】350. 【逐步提示】本題考查了圓心角、圓周角定理及其推論,解題的關(guān)鍵是理解并能熟練運(yùn)用圓心角、圓周角定理及其推論,在⊙O中

26、,弧BC所對(duì)的圓心角和圓周角分別是∠BOC和∠BAC,在△BOC中,OB=OC,由∠OBC=550,可以求得圓心角∠BOC的度數(shù),從而求得圓周角∠A的度數(shù). 【詳細(xì)解答】解:∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=550,∴∠BOC=700 , ∴∠A=∠BOC=350,故答案為350 . 【解后反思】解決與圓有關(guān)的角度的相關(guān)計(jì)算時(shí),一般先判斷角是圓周角還是圓心角,再轉(zhuǎn)化成同弧所對(duì)的圓周角或圓心角,利用同弧所對(duì)的圓周角相等,同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半等關(guān)系求解 【關(guān)鍵詞】圓心角、圓周角定理; 6. ( 四川省成都市,23,4分)如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AH⊥BC于點(diǎn)H,若AC=24

27、,AH=18,⊙O的半徑OC=13,則AB= . H A O C B M H A O C B 【答案】. 【逐步提示】本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定及性質(zhì)等相關(guān)知識(shí),解題的關(guān)鍵是利用直徑所對(duì)圓周角為直角及同弧所對(duì)圓周角相等,構(gòu)造相似三角形.延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)E,連接AM,證明△AMC∽△HBA,然后利用相似三角形的性質(zhì)即可求出AB的值. 【詳細(xì)解答】解:延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)M,連接AM.∵CM是⊙O的直徑,∴∠MAC=90°,∵AH⊥BC,∴∠MAC=∠AHB= 90°,又∵∠M=∠B,∴△AMC∽△HBA,∴=,∵CM=2OC=26,即=

28、,∴AB==. 【解后反思】在有關(guān)圓的問題中,有直徑通常作直徑所對(duì)的圓周角,構(gòu)造直角三角形;有弧、弦中點(diǎn),通常連弧、弦中點(diǎn)與圓心,應(yīng)用垂徑定理;有切線,連過切點(diǎn)的半徑. 【關(guān)鍵詞】圓心角、圓周角定理 ;相似三角形的判定;相似三角形的性質(zhì) 7. ( 四川南充,15,3分)如圖是由兩個(gè)長(zhǎng)方形組成的工件平面圖(單位,mm),直線l是它的對(duì)稱軸,能完全覆蓋這個(gè)平面圖形的圓面的最小半徑是 mm. 【答案】50 【逐步提示】本題考查的圓內(nèi)接四邊形,是垂徑定理,解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形,利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解答. 根據(jù)已知條件得到CM=30,AN=40,根據(jù)勾股定理列

29、方程得到OM=40,由勾股定理得到結(jié)論. 【詳細(xì)解答】解:設(shè)圓心為O,由題意知,點(diǎn)O在l上。 連接AO,CO, ∵直線l是它的對(duì)稱軸, ∴CM=30,AN=40, ∵CM2+OM2=AN2+ON2, ∴302+OM2=402+(70﹣OM)2, 解得:OM=40, ∴OC= =50, ∴能完全覆蓋這個(gè)平面圖形的圓面的最小半徑是50mm. 故答案為:50. 【解后反思】垂徑定理和勾股定理在解決圓的計(jì)算問題時(shí),經(jīng)常結(jié)合起來使用,一般需要先作輔助線構(gòu)造出直角三角形. 【關(guān)鍵詞】 勾股定理;垂徑定理;構(gòu)造法 8 ( 四川省雅安市,16,3分)如圖,在△ABC中,AB

30、 =AC = 10,以 AB 為直徑的⊙0與BC交與點(diǎn)D,與AC交于點(diǎn)E,連OD交BE于點(diǎn)M,且MD=2,則BE的長(zhǎng)為 . 【答案】8 【逐步提示】本題考查了等腰三角形性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、圓的基本性質(zhì),解題關(guān)鍵是運(yùn)用垂徑定理求出BM的長(zhǎng). 由題意,可得OD平行于AC,即OD垂直BE,在Rt△OBM中求得BM的長(zhǎng),即可求出BE的長(zhǎng). 【詳細(xì)解答】解:∵AB =AC=10,∴∠ABC=∠C,∵OB=OD,∴∠ABC=∠ODB,∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC,∵AB為⊙O的直徑,∴BE⊥AC,∴OD⊥BE,∴BM=ME,∵M(jìn)D=2,∴OM=OD-MD=5-2=3,∴BM

31、=,∴BE=2BM=8,故答案為 8 . 【解后反思】圓中涉及弦長(zhǎng)的計(jì)算,往往構(gòu)造半弦、半徑、弦心距組成的直角三角形進(jìn)行求解. 【關(guān)鍵詞】等腰三角形的性質(zhì) ;平行線的判定;平行線的性質(zhì) ;勾股定理;垂徑定理;圓心角、圓周角定理 9. ( 四川省宜賓市,13,3分)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),以點(diǎn)P(1,1)為圓心、為半徑作圓,則該圓與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 . 【答案】(0,3) 、(0,-1) 【逐步提示】如圖,圓與y軸有兩個(gè)交點(diǎn),兩個(gè)交點(diǎn)間的距離即是圓的弦AB的長(zhǎng).根據(jù)垂徑定理可求出半弦長(zhǎng)AC及BC,由于點(diǎn)E的坐標(biāo)是(1,1)可證四邊形ODEC是正方形,DE=

32、CE=CO=OD=1.由圖知OA=AC+OC,OB=BC-CO,兩交點(diǎn)坐標(biāo)可求. 【詳細(xì)解答】解:如圖,作EC⊥y軸于點(diǎn)C,ED⊥x軸于點(diǎn)D,因?yàn)辄c(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,1),所以ED=CE=OD=OC=1.在直角三角形AEC中,CE=1,AE=,所以AC=,所以O(shè)A=AC+CO=3,OB=BC-CO=1,所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,-1).故答案為:(0,3),(0,-1). 【解后反思】這是垂徑定理在直角坐標(biāo)系內(nèi)的應(yīng)用.關(guān)鍵要結(jié)合圖象找出反應(yīng)坐標(biāo)的線段及求出線段的長(zhǎng)度.易錯(cuò)點(diǎn)是忽視點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)及寫錯(cuò)橫、縱坐標(biāo)的位置. 【關(guān)鍵詞】 直角坐標(biāo)系;點(diǎn)的坐標(biāo);垂徑定理及應(yīng)用

33、 三、解答題 1. .(山東臨沂,23,9分) 如圖,A,P,B,C是圓上的四個(gè)點(diǎn),∠APC=∠CPB=60°,AP,CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D. (1)求證:△ABC是等邊三角形; (2)若∠PAC=90°,AB=,求PD的長(zhǎng). 【逐步提示】(1)由圓周角定理得出∠ABC=∠APC=∠CPB=∠BAC=60°,再由等腰三角形的判定得出△ABC是等腰三角形,進(jìn)一步得出△ABC是等邊三角形.(2)由∠PAC=90°,∠ACB=60°,可得∠D=30°;由直角三角形的性質(zhì)可得DC的長(zhǎng),得出BD的長(zhǎng);由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠PBC=90°,則∠PBD=90°;在Rt△PBD中

34、,解直角三角形求出PD的長(zhǎng). 【詳細(xì)解答】解:(1)證明:∵A,P,B,C是圓上的四個(gè)點(diǎn),∠APC=∠CPB=60°, ∴∠ABC=∠APC,∠CPB=∠BAC. 又∵∠APC=∠CPB=60°, ∴∠ABC=∠BAC=60°, ∴AC=BC,且∠BAC=60°, ∴△ABC是等邊三角形.………………………………………………4分 (2)解:∵△ABC是等邊三角形,∴∠ACB=60°,AC=AB=BC=. ∵∠PAC=90°,∴∠D=30°. ∴DC=2AC=, ∴BD=.………………………………………………………6分 ∵四邊形APBC是圓內(nèi)接四邊形,∠PAC=90°,

35、 ∴∠PBC=90°,∴∠PBD=90°. 在Rt△PBD中, PD===4.………………………………………………9分 【解后反思】(1)圓周角定理:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;(2)等邊三角形的判定:①三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形;②有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形. 【一題多解】∵△ABC是等邊三角形,∴∠ACB=60°,AC=AB=BC=. ∵∠PAC=90°,∴∠D=30°. ∴DC=2AC=,AD=6, ∴BD=. ∵四邊形APBC是圓內(nèi)接四邊形,∠PAC=90°, ∴∠PBC=90°,∴∠PBD=90°. 在Rt△PBD和Rt△CAD中,∠D是公共

36、角, ∴Rt△PBD∽R(shí)t△CAD, ∴=, 即=, ∴PD=4. 【關(guān)鍵詞】圓周角定理;等邊三角形的判定;相似三角形的判定與性質(zhì);解直角三角形 2. ( 山東濰坊,21,8分)正方形ABCD內(nèi)接于⊙O,如圖所示,在劣弧上取一點(diǎn)E,連接DE、BE,過點(diǎn)D作DF∥BE交⊙O于點(diǎn)F,連接BF、AF,且AF與DE相交于點(diǎn)G. 求證:(1)四邊形EBFD是矩形; (2)DG=BE. 【逐步提示】本題是一道圓與四邊形的綜合題,解題的關(guān)鍵是利用圓的基本性質(zhì)得到題目所需的條件,再進(jìn)行證明. (1)要證明四邊形BEDF是矩形,需證明有三個(gè)角是直角,先根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等及正

37、方形的性質(zhì),得到∠BED=∠BFD=90°,再根據(jù)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)求得第三個(gè)直角即可.(2)根據(jù)圓周角與它所對(duì)弧的關(guān)系求得∠AFD=45°,則△DFG為等腰直角三角形,再根據(jù)矩形的對(duì)邊相等得到BE=DG. 【詳細(xì)解答】證明:(1)∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O, ∴∠BED=∠BAD=90°,∠BFD=∠BCD=90°, 又∵DF∥BE, ∴∠EDF+∠BED=180°, ∴∠EDF=90°, ∴四邊形EBFD是矩形. (2)∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O, ∴的度數(shù)是90°, ∴∠AFD=45°, 又∵∠GDF=90°, ∴∠DGF=∠DFG=45°, ∴DG=DF,

38、 又∵在矩形EBFD中,BE=DF, ∴BE=DG. 【解后反思】看到求與圓有關(guān)的角,應(yīng)考慮如下幾點(diǎn)(1)同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;(2)一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半;(3)圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半(4)圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)等。 【關(guān)鍵詞】 圓的有關(guān)性質(zhì);圓周角定理;矩形的判定;正方形的性質(zhì) 3. (山東淄博,23,9分)已知,點(diǎn)M是二次函數(shù)y=ax2(a>0)圖象上的一點(diǎn),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,),直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)原點(diǎn)O與點(diǎn)M,F(xiàn)在同一個(gè)圓上,圓心Q的縱坐標(biāo)為. (1)求a的值; (2)當(dāng)O,Q,M三點(diǎn)在同一條直線上時(shí),求點(diǎn)M和點(diǎn)Q的坐標(biāo);

39、(3)當(dāng)點(diǎn)M在第一象限時(shí),過點(diǎn)M作MN⊥x軸,垂足為點(diǎn)N. 求證:MF=MN+OF. 【逐步提示】本題考查二次函數(shù),圓,勾股定理,垂徑定理,數(shù)形結(jié)合思想,解題關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí),并能據(jù)題意畫出有關(guān)圖形,能數(shù)形結(jié)合地解決問題. (1)由垂徑定理的逆定理,知圓心Q在弦OF的垂直平分線上. (2)點(diǎn)Q為OM的中點(diǎn),由此可先得點(diǎn)M的坐標(biāo),進(jìn)而求點(diǎn)Q的坐標(biāo). (3)設(shè)M(n,n2)(n>0),則N(n,0),利用勾股定理求出MF即可解決問題. 【詳細(xì)解答】解:(1)圓心Q的縱坐標(biāo)為,則點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為, ∴=1. 解得a=1. (2)由(1)知二次函數(shù)的解析式為y= x2. 當(dāng)O

40、,Q,M三點(diǎn)在同一條直線上時(shí),點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為. 將y=代入y= x2,得x=. ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,)或(-,). 點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,)或(-,). (3)設(shè)M(n,n2)(n>0),∴N(n,0). ∵F(0,),∴MN+OF= n2+. MF== n2+. ∴MF=MN+OF. 【解后反思】知道圓心在任意弦的垂直平分線上是解決(1)題的關(guān)鍵;知道圓心是直徑的中點(diǎn)是解(2)的關(guān)鍵;設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),利用勾股定理求兩點(diǎn)間的距離是解決(3)題的關(guān)鍵. 【關(guān)鍵詞】二次函數(shù),圓,勾股定理,垂徑定理,數(shù)形結(jié)合思想 4. ( 四川省成都市,20,10分)如圖在Rt△ABC中,∠ABC=90

41、°,以CB為半徑作⊙C,交AC于點(diǎn)D,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接BD、BE. ⑴求證:△ABD∽△AEB; ⑵當(dāng)=時(shí),求tanE; ⑶在⑵的條件下,作∠BAC的平分線,與BE交于點(diǎn)F,若AF=2,求⊙C的半徑. A C E B F D 【逐步提示】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定及性質(zhì)等相關(guān)知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些知識(shí)的綜合應(yīng)用.⑴利用直徑所對(duì)圓周角是直角,求得∠DBE=∠ABC=90°,然后通過∠ABD=∠CBE,∠E=∠CBE,得到∠E=∠ABD即可證明△ABD∽△AEB;⑵過B作BH⊥AE于點(diǎn)H,根據(jù)題意設(shè)AB=4x,BC=3x,利用勾股定

42、理及三角形面積公式在Rt△ABC中,求出AC、高BH及HE的長(zhǎng),再在Rt△BEH中,運(yùn)用三角函數(shù)定義即可求出tanE;⑶過F作FM⊥AE交AE于點(diǎn)M.根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出的值,再利用△EFM∽△EBH,把EM,F(xiàn)M用含x的式子表示出來,在Rt△AFM中利用勾股定理列方程求解. 【詳細(xì)解答】解:⑴∵DE為⊙C的直徑,∴∠DBE=90°,∵∠ABC=90°,∠ABD=∠CBE,∵BC=CE,∴∠CBE=∠E,∴∠ABD=∠E,又∵∠BAD=∠EAB,∴△ABD∽△AEB. ⑵過B作BH⊥AE交AE于點(diǎn)H. ∵=,設(shè)AB=4x,BC=3x,∴在Rt△ABC中,AC===5x,CE=3x,

43、∵S△ABC=AC·BH=AB·BC,∴AC·BH=AB·BC,∴BH==,∴AH===,∴HE=AC+CE-AH=5x+3x-=, ∴tanE==. A C E B F D H ⑶過F作FM⊥AE交AE于點(diǎn)M. ∵AF平分∠BAC,∴===2,∴=,∵BH∥FM,∴△EFM∽△EBH,∴===,∴EM=EH=,F(xiàn)M=BH=,∴AM=AE-ME=,在Rt△AFM中AM2+FM2=AF2,即()2+()2=22,解得x=,∴⊙C的半徑r=3x=. A C E B F D M H 【解后反思】(1)圓中涉及到直角問題時(shí),通常運(yùn)用直徑所對(duì)圓周角是直角構(gòu)造

44、直角三角形; (2)在解決直角三角形求值問題時(shí),通常運(yùn)用面積法已知三邊求斜邊上的高; (3)求線段的長(zhǎng)度有以下常用的方法:用勾股定理——適用于直角三角形;用相似三角形——適用于有相似三角形的圖形中. 【關(guān)鍵詞】勾股定理;圓心角、圓周角定理;相似三角形的判定;相似三角形的性質(zhì);方程與函數(shù)思想 5. (四川達(dá)州,22,8分)如圖,已知AB為半圓O的直徑,C為半圓O上一點(diǎn),連接AC,BC,過點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)A作半圓O的切線交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接BD并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)F. (1)求證:AE?BC=AD?AB; (2)若半圓O的直徑為10,sin∠BAC=,求AF的長(zhǎng).

45、 【逐步提示】本題考查了圓的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、解直角三角形.解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的性質(zhì),構(gòu)造直角三角形求線段AF的長(zhǎng).解題的思路是:(1)證明△ADE∽△BCA,再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可證;(2)過點(diǎn)D作DG⊥AB,由已知可依次求得OD,AD,DG,AG,BG..由已知有△BDG∽△BFA,由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例易求AF. 【詳細(xì)解答】解:(1)證明:∵AB是直徑,∴∠C=90°,∠CAB+∠ABC=90°. ∵AE是⊙O的切線,∴∠OAE=90°. ∵OD⊥AC,∴∠CAB+∠AOE=90°. ∴∠AOE=∠ABC,∠OAE∠C. ∴△ADE∽△BCA,∴=.

46、即AE?BC=AD?AB. (2)如圖,過點(diǎn)D作DG⊥AB, 在Rt△AOD中,OA=AB=5,sin∠BAC=, ∴OD=5×=3,AD==4. 在Rt△ADG中,DG=AD?sin∠BAC=4×=, ∴AG=. ∴BG=10-=. ∵∠BGD=∠BAF=90°,∠DBG=∠FBA, ∴△BG∽△BFA. ∴=. ∴=. ∴AF=. 【解后反思】求線段的長(zhǎng)度有以下常用的方法:用勾股定理——適用于已知兩邊的直角三角形中;用相似三角形的性質(zhì)——適用于有相似三角形的圖形中,銳角三角函數(shù)求線段的長(zhǎng)度——適用于已知一邊及一角的三角函數(shù)值. 【關(guān)鍵詞】圓的切線的性質(zhì)定理;圓

47、周角定理的推論;相似三角形的性質(zhì)和判定;解直角三角形 6. (四川省廣安市,25,9分)如圖,以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓,經(jīng)過A、C兩點(diǎn)且與BC邊交于點(diǎn)E.點(diǎn)D為CE的下半圓弧的中點(diǎn),連接AD,交線段EO于點(diǎn)F,若AB=BF. (1)求證:AB是⊙O的切線;(3分) (2)若CF=4,DF=,求⊙O的半徑r及sinB.(6分) 【逐步提示】本題考查了圓的性質(zhì)及切線的判定,解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定方法及解直角三角形的方法.(1)連接OD,利用等邊對(duì)等角,通過角的轉(zhuǎn)換,得出∠OAF 與∠BAF的和為90°,從而證明AC是⊙O的切線;(2)在Rt△ODF中利用勾股定理可求得

48、r的長(zhǎng),從而可求OF的長(zhǎng),在Rt△ABO中利用勾股定理可求得BO的長(zhǎng),從而求出sinB. 【詳細(xì)解答】證明:連接AO、DO. ∵D為CE的下半圓弧的中點(diǎn), ∴∠EOD=90°. ∵AB=BF,OA=OD=r, ∠BAF=∠BFA=∠OFD,∠OAD=∠ADO ∴∠BAF+∠DAO=∠OFD+∠ADO=90°即∠BAO=90° ∴AB是⊙O的切線. (2)∵OF=CF-OC=4-r,OD=r,DF=, 在Rt△OFD中,OF2+OD2=DF2即r2+(4-r)2=()2即r1=3,r2=1(舍去) ∴半徑r=3 ∴OA=3,OF=CF-OC=4-3=1,∴BO=BF+FO=

49、AB+1 在Rt△ABO中,AB2+AO2=BO2即AB2+32=(AB+1)2 ∴AB=4,BO=5 ∴sinB=. 【解后反思】判別直線是圓的切線有兩種方法,如果直線與圓有交點(diǎn),則連接交點(diǎn)與圓心,證明半徑垂直于直線即可;如果直線與圓沒有交點(diǎn),則過圓心作直線的垂線段,證垂線段等于圓的半徑即可. 【關(guān)鍵詞】切線的判定;銳角三角函數(shù);勾股定理;方程思想 7 (四川省涼山州,27,8分)如圖,已知四邊形內(nèi)接于,是的中點(diǎn),于,與及的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)、,且. (1)求證:; (2)如果,,求的值. 【逐步提示】(1)根據(jù)等弧等條件找出兩組相等的角,證明兩個(gè)三角

50、形相似;(2)通過相似三角形的性質(zhì)將∠CAD轉(zhuǎn)化為∠AEB,在Rt△AEC中考慮tan∠AEB,從而求出tan∠CAD. 【詳細(xì)解答】解:(1)∵四邊形ABCD內(nèi)接于,∴∠D+∠ABC=180°,又∠ABC+∠ABE=180°,∴∠D=∠ABE;∵,∴∠BAE=∠ACD,∴△ADC∽△EBA. (2)∵△ADC∽△EBA,∴ ,∠AEB=∠CAD;∵是的中點(diǎn),∴AB=AC=8,∴ ,即 ,又AE⊥AC,∴∠BAC=90°,∴tan∠CAD=tan∠AEB= 【解后反思】題中∠CAD并沒有處于一個(gè)直角三角形中,三角函數(shù)值不易求,所以就必須將∠CAD轉(zhuǎn)化為與之相等的∠AEB,這樣做是因?yàn)椤?/p>

51、AEB是Rt△AEC的一個(gè)銳角,容易通過三角函數(shù)的概念求出三角函數(shù)值.同時(shí)本題也可以采用以下方法構(gòu)造直角三角形:連接AO并延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)M,連接DM,則∠AMD=∠ACD且△AMD為直角三角形(∠ADM=90°),如圖所示. 【關(guān)鍵詞】三角形相似的判定與性質(zhì);銳角三角函數(shù)的定義;圓內(nèi)接四邊形及性質(zhì); 8 ( 四川省雅安市,24,10分)如圖1,AB是⊙O的直徑,E是 AB 延長(zhǎng)線上一點(diǎn),EC切⊙0于點(diǎn)C,連接AC,OP⊥AO交AC于點(diǎn)P,交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D. (1)求證:△PCD是等腰三角形; (2)CG⊥AB于H點(diǎn), 交⊙O于G點(diǎn),過B點(diǎn)作BF∥EC, 交⊙O于點(diǎn)F, 交

52、CG于Q點(diǎn),連接AF,如圖2,若sinE =,CQ =5,求 AF的值. 【逐步提示】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、平行線的性質(zhì)、切線的判定、銳角三角函數(shù)的定義,解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定方法以及圓中長(zhǎng)度計(jì)算的方法. (1) 連接OC,則OC垂直DE,可證∠3=∠4=∠5,即△PCD是等腰三角形;(2)連接BC,證CQ=BQ=5,因BF∥EC,得sin∠ABF=sinE =,求得QH=3,BH=4,設(shè)⊙0的半徑為 r,在Rt△OCH中用勾股定理求出r,再在Rt△ABF中,用銳角三角函數(shù)定義求出AF的長(zhǎng). 【詳細(xì)解答】解:(1)證明:如圖1所示,連接OC ∵EC切⊙0于點(diǎn)

53、C ∴OC⊥DE,∴∠1 +∠3 =90° ① 又∵OP⊥OA,∴∠2 +∠4=90° ② ∵OA=OC,∴∠1 =∠2 ③ 由①②③可得,∠3 =∠4 又∵∠4 =∠5,∴∠3=∠5,∴DP =DC, 即△PCD為等腰三角形. (2)解:如圖2所示,連接BC ∵EC切⊙0于C點(diǎn) ∴∠1 +∠2 =90°① 又∵OC = OB ∴∠2 =∠3 ② ∵CG⊥AB, ∴∠3 +∠4=9O°③ 由①②③可得,∠1 =∠4 ④ ∵BF∥DE,∴∠5 =∠1 ⑤ 由④⑤,得∠4 =∠5, ∴CQ =BQ, 又∵CQ =5,∴BQ=5, ∵BF∥DE,∴∠ABF=∠E, 又∵sinE =, ∴sin∠ABF=, 即QH=3,BH=4, 設(shè)⊙0的半徑為 r,在Rt△OCH中,, 解得r=10,∴AB=20, ∵AB是⊙O的直徑, ∴∠AFB= 90°, ∴sin∠ABF==,∴AF=12. 【解后反思】(1)圓中遇到切線條件,連接切點(diǎn)和圓心構(gòu)造直角是常見的輔助線; (2)圓中線段長(zhǎng)度計(jì)算常用的方法有:①用勾股定理求解;②用銳角三角函數(shù)定義求解;③用相似三角形求解. 【關(guān)鍵詞】等腰三角形的性質(zhì);等腰三角形的判定;平行線的性質(zhì);勾股定理;切線的判定與性質(zhì);銳角三角函數(shù)的定義 22

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