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1、
專題二 閱讀理解問題
類型一 新定義學(xué)習(xí)型
該類題目一般會(huì)構(gòu)建一個(gè)新數(shù)學(xué)概念(或定義),然后再根據(jù)新概念提出要解決的相關(guān)問題.主要目的是考查學(xué)生的自學(xué)能力和對(duì)新知識(shí)的理解與運(yùn)用能力.解決這類問題,要求學(xué)生準(zhǔn)確理解題目中所構(gòu)建的新概念,將學(xué)習(xí)的新概念和已有的知識(shí)相結(jié)合,并進(jìn)行運(yùn)用.
(2017·臨沂)在平面直角坐標(biāo)系中,如果點(diǎn)P坐標(biāo)為(m,n),向量可以用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示為=(m,n).
已知:=(x1,y1),=(x2,y2),如果x1x2+y1y2=0,那么與互相垂直,下列四組向量:
①=(2,1),=(-1,2);
②=(cos 30°,tan 45°),=(1,s
2、in 60°);
③=(-,-2),=(+,);
④=(π0,2),=(2,-1).
其中互相垂直的是_____(填上所有正確答案的序號(hào)).
【分析】 根據(jù)向量垂直的定義進(jìn)行解答.
1.(2017·濰坊)定義[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù),如[1.8]=1,[-1.4]=-2,[-3]=-3.函數(shù)y=[x]的圖象如圖所示,則方程[x]=x2的解為
( )
A.0或 B.0或2
C.1或- D.或-
2.(2016·常德)平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)M(a,b),N(c,d),規(guī)
3、定(a,b)(c,d)=(a+c,b+d),則稱點(diǎn)Q(a+c,b+d)為M,N的“和點(diǎn)”.若以坐標(biāo)原點(diǎn)O與任意兩點(diǎn)及它們的“和點(diǎn)”為頂點(diǎn)能構(gòu)成四邊形,則稱這個(gè)四邊形為“和點(diǎn)四邊形”.現(xiàn)有點(diǎn)A(2,5),B(-1,3),若以O(shè),A,B,C四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是“和點(diǎn)四邊形”,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是______________.
3.(2017·棗莊)我們知道,任意一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解:n=p×q(p,q是正整數(shù),且p≤q),在n的所有這種分解中,如果p,q兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小,我們就稱p×q是n的最佳分解,并規(guī)定:F(n)=.
例如12可以分解成1×12,2×6或3×4,因?yàn)?2-1>
4、6-2>4-3,所以3×4是12的最佳分解,所以F(12)=.
(1)如果一個(gè)正整數(shù)m是另外一個(gè)正整數(shù)n的平方,我們稱正整數(shù)m是完全平方數(shù).求證:對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m,總有F(m)=1;
(2)如果一個(gè)兩位正整數(shù)t,t=10x+y(1≤x≤y≤9,x,y為自然數(shù)),交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為36,那么我們稱這個(gè)數(shù)t為“吉祥數(shù)”,求所有“吉祥數(shù)”;
(3)在(2)所得“吉祥數(shù)”中,求F(t)的最大值.
類型二 新運(yùn)算應(yīng)用型
該類題目是指通過對(duì)所給材料的閱讀,從中獲取新的數(shù)學(xué)公式、定理、運(yùn)算法則或解題思路等,進(jìn)而運(yùn)用這些信息和已有知
5、識(shí)解決題目中提出的數(shù)學(xué)問題.解決這類問題,不僅要求所運(yùn)用的數(shù)學(xué)公式、性質(zhì)、運(yùn)算法則或解題思路與閱讀材料保持一致,還需要?jiǎng)?chuàng)造條件,準(zhǔn)確、規(guī)范、靈活地解答.
(2017·邵陽(yáng))我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》一書中,給出了著名的秦九韶公式,也叫三斜求積公式,即如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,則該三角形的面積為S=.現(xiàn)已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為1,2,,則△ABC的面積為_____.
【分析】 把三邊長(zhǎng)代入題目中的面積公式即可得出答案.
4.對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,定義一種新運(yùn)算“★”如下:a★b=若2★m=36,則實(shí)數(shù)m等于( )
6、A.8.5 B.4
C.4或-4.5 D.4或-4.5或8.5
5.(2017·湘潭)閱讀材料:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),如果a∥b,則x1·y2=x2·y1.根據(jù)該材料填空:已知a=(2,3),b=(4,m),且a∥b,則m=____.
6.(2017·日照)閱讀材料:
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離公式為d=.
例如:求點(diǎn)P0(0,0)到直線4x+3y-3=0的距離.
解:由直線4x+3y-3=0知,A=4,B=3,C=-3,
∴點(diǎn)P0(0,0)到直線4x+3y-3=0的距離為d==.
根據(jù)以
7、上材料,解決下列問題:
問題1:點(diǎn)P1(3,4)到直線y=-x+的距離為_____;
問題2:已知⊙C是以點(diǎn)C(2,1)為圓心,1為半徑的圓,⊙C與直線y=-x+b相切,求實(shí)數(shù)b的值;
問題3:如圖,設(shè)點(diǎn)P為問題2中⊙C上的任意一點(diǎn),點(diǎn)A,B為直線3x+4y+5=0上的兩點(diǎn),且AB=2,請(qǐng)求出S△ABP的最大值和最小值.
類型三 新方法應(yīng)用型
該類題目是指通過對(duì)所給材料的閱讀,從中獲取新的思想、方法或解題途徑,進(jìn)而運(yùn)用這些知識(shí)和已有的知識(shí)解決題目中提出的問題.
(2017·畢節(jié))觀察下列運(yùn)算過程:
計(jì)算:1+2+22+…+210.
解
8、:設(shè)S=1+2+22+…+210, ①
①×2得2S=2+22+23+…+211, ②
②-①得S=211-1.
所以1+2+22+…+210=211-1.
運(yùn)用上面的計(jì)算方法計(jì)算:1+3+32+…+32 017=_____.
【分析】 令S=1+3+32+33+…+32 017,然后在等式的兩邊同時(shí)乘3,然后依據(jù)材料中的方程進(jìn)行計(jì)算即可.
7.(2016·日照)一個(gè)整數(shù)的所有正約數(shù)之和可以按如下方法求得.如:
6=2×3,則6的所有正約數(shù)之和(1+3)+(2+6)=(1+2)×(1+3)=12;
12=22×3,則12的所有正約數(shù)之和(1+3)+
9、(2+6)+(4+12)=(1+2+22)×(1+3)=28;
36=22×32,則36的所有正約數(shù)之和(1+3+9)+(2+6+18)+(4+12+36)=(1+2+22)×(1+3+32)=91.
參照上述方法,那么200的所有正約數(shù)之和為( )
A.420 B.434
C.450 D.465
8.(2016·東營(yíng))在求1+3+32+33+34+35+36+37+38的值時(shí),張紅發(fā)現(xiàn):從第二個(gè)加數(shù)起每一個(gè)加數(shù)都是前一個(gè)加數(shù)的3倍,于是她假設(shè):
S=1+3+32+33+34+35+36+37+38, ?、?
然后在①式的兩邊都乘3,
得3S=3+
10、32+33+34+35+36+37+38+39, ?、?
②-①,得3S-S=39-1,即2S=39-1.
∴S=.
得到答案后,愛動(dòng)腦筋的張紅想:如果把“3”換成字母m(m≠0且m≠1),能否求出1+m+m2+m3+m4+…+m2 016的值?如能求出,其正確答案是________.
參考答案
【例1】 ①∵2×(-1)+1×2=0,∴與互相垂直;
②∵cos 30°·1+tan 45°· sin 60°=+=≠0,
∴與不垂直;③∵(-)(+)+(-2)×=3-2-1=0,∴與互相垂直;④∵π0×2+2×(-1)=2-2=0,∴與互相垂直.
故答案為①③④.
【變式訓(xùn)練】
11、
1.A 2.(1,8)或(-3,-2)或(3,2)
3.(1)證明:對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m,設(shè)m=n2(n為正整數(shù)).
∵|n-n|=0為最小,∴n×n是m的最佳分解.
∴對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m,總有F(m)==1.
(2)解:設(shè)交換t的個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t′,則t′=10y+x.
∵t為“吉祥數(shù)”,
∴t′-t=(10y+x)-(10x+y)=9(y-x)=36,∴y=x+4.
∵1≤x≤y≤9,x,y為自然數(shù),
∴滿足條件的“吉祥數(shù)”有:15,26,37,48,59.
(3)解:F(15)=,F(xiàn)(26)=,F(xiàn)(37)=,
F(48)==,F(xiàn)(59)=
12、,
∵>>>>,
∴所有“吉祥數(shù)”中,F(xiàn)(t)的最大值是.
【例2】 由題意得S==1.故答案為1.
【變式訓(xùn)練】
4.B 5.6
6.解:?jiǎn)栴}1:4
提示:直線方程整理,得3x+4y-5=0,
故A=3,B=4,C=-5,
∴點(diǎn)P1(3,4)到直線y=-x+的距離為
d==4.
問題2:直線y=-x+b整理,得3x+4y-4b=0,
故A=3,B=4,C=-4b.
∵⊙C與直線相切,∴點(diǎn)C到直線的距離等于半徑,
即=1,
整理得|10-4b|=5,解得b=或b=.
問題3:如圖,過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D.
∵在3x+4y+5=0中,A=3,
B=4,C=5,
∴圓心C(2,1)到直線AB的距離CD==3,
∴⊙C上的點(diǎn)到直線AB的最大距離為3+1=4,最小距離為3-1=2,
∴S△ABP的最大值為×2×4=4,最小值為×2×2=2.
【例3】 令S=1+3+32+33+…+32 017,
等式兩邊同時(shí)乘3得3S=3+32+33+…+32 018,
兩式相減得2S=32 018-1,∴S=.
故答案為.
【變式訓(xùn)練】
7.D 8.
5