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1、
第28章 圓
本章總結(jié)提升
問題1 垂徑定理
垂直于弦的直徑有什么性質(zhì)?這個性質(zhì)與圓的軸對稱性有什么關(guān)系?
例1 趙州橋是我國建筑史上的一大創(chuàng)舉,它距今約1400年,歷經(jīng)無數(shù)次洪水沖擊和
8次地震卻安然無恙.如圖28-T-1,若橋的跨度AB約為40米,主拱高CD約10米,則橋弧AB所在圓的半徑R=________米.
圖28-T-1
【歸納總結(jié)】與垂徑定理有關(guān)的計(jì)算,通常需要作輔助線,常作的輔助線是連半徑、作弦心距,從而構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.
問題2 弧、弦長、圓心角的關(guān)系及圓周角定理
在同圓或等圓中,若兩個圓心角相等,則它們所
2、對的弧、弦有什么關(guān)系?這些關(guān)系和圓的中心對稱性有什么聯(lián)系? 同弧所對的圓周角和它所對的圓心角有什么關(guān)系? 圓的內(nèi)接四邊形有什么性質(zhì)?
例2[ 2017·臺州]如圖28-T-2,已知等腰直角三角形ABC,P是斜邊BC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),PE是△ABP的外接圓⊙O的直徑.
(1)求證:△APE是等腰直角三角形;
(2)若⊙O的直徑為2,求PC2+PB2的值.
圖28-T-2
【歸納總結(jié)】在解決與圓心角和圓周角有關(guān)的綜合問題時,經(jīng)常添加輔助線,利用同弧(或等弧)實(shí)現(xiàn)圓心角和圓周角之間的轉(zhuǎn)化.
問題3 弧長與扇形面積
例3 [2017·咸寧
3、]如圖28-T-3,⊙O的半徑為3,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,連接OB,OD.若∠BOD=∠BCD,則的長為( )
圖28-T-3
A.π B. C.2π D.3π
例4 如圖28-T-4,用一個半徑為30cm,面積為300πcm2的扇形鐵皮,制作一個無底
的圓錐(不計(jì)損耗),則圓錐的底面圓的半徑為( )
圖28-T-4
A.5 cm B.10 cm C.20 cm D.5π cm
例5 如圖28-T-5,在△ABC中,∠ACB=130°,∠BAC=20°,BC=4,以點(diǎn)C為圓心,CB長為半徑的圓交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E.
(1)求BD的長;
4、
(2)求陰影部分的面積.
圖28-T-5
【歸納總結(jié)】利用公式進(jìn)行計(jì)算的關(guān)鍵是找到題目中的基本圖形,找出扇形,利用已知條件確定公式中各個字母的值,然后利用公式進(jìn)行計(jì)算.
問題4 圓中的轉(zhuǎn)化思想
在圓的計(jì)算中,常常遇到求一個不規(guī)則圖形的面積問題,你是怎么處理的?
例6 [2017·貴陽]如圖28-T-6,C,D是半圓O上的三等分點(diǎn),直徑AB=4,連接AD,AC,作DE⊥AB,垂足為E,DE交AC于點(diǎn)F.
(1)求∠AFE的度數(shù);
(2)求陰影部分的面積.(結(jié)果保留π和根號)
圖28-T-6
【歸納總結(jié)】在有關(guān)圓的面積計(jì)算問題中,如果所求面積的圖形是規(guī)
5、則圖形,按規(guī)則圖形的面積公式去求,如果所求面積的圖形是不規(guī)則圖形,則需運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想,把不規(guī)則圖形的面積運(yùn)用“割補(bǔ)法”“等積變形法”“平移法”“旋轉(zhuǎn)法”等轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積來求.
“滾動”中的數(shù)學(xué)
數(shù)學(xué)來源于生活,滾動處處可見.在千姿百態(tài)的滾動中,如果我們稍加留神,將會發(fā)現(xiàn)很多有趣的數(shù)學(xué)問題就在我們身邊.
1.沿直線滾動
例1 如圖28-T-7所示,一枚直徑為d的硬幣沿著一條直線l滾動一圈,圓心經(jīng)過的距
離是多少?
圖28-T-7
解:圓心經(jīng)過的距離是πd.
例2 如圖28-T-8所示,邊長為a的正方形四邊貼著直線l向右“滾動”,當(dāng)正方形“滾動”
一周時,正方形的
6、中心O經(jīng)過的路程是多少?正方形的頂點(diǎn)A經(jīng)過的路程又是多少?
圖28-T-8
解:(1)如圖28-T-9所示,當(dāng)正方形四邊貼著直線l “滾動”一周時,正方形的中心O所經(jīng)過的路程為×aπ×4= aπ.
圖28-T-9
(2)如圖28-T-10所示,當(dāng)正方形ABCD四邊貼著直線l“滾動”一周時,頂點(diǎn)A所經(jīng)過的路程為×2 aπ+2××2aπ=.
圖28-T-10
2.沿圓周滾動
例3 如圖28-T-11所示,已知兩圓,其中大圓半徑是小圓半徑的5倍,將大圓固定.
(1)如果小圓在大圓外面貼著大圓邊緣滾動一周,那么小圓自身旋轉(zhuǎn)了幾圈?
(2)若小圓在大圓內(nèi)部貼著大圓邊緣無滑動
7、地滾動一周,那么小圓自身旋轉(zhuǎn)了幾圈?
圖28-T-11
解:(1)如圖28-T-12所示,設(shè)小圓半徑為R,則大圓半徑為5R.當(dāng)小圓在大圓外貼著大圓邊緣滾動,自身旋轉(zhuǎn)一周時,小圓圓心相對于大圓圓心的張角的度數(shù)為n°,則
2πR=,得n=60.
又因?yàn)?60÷60=6,
所以當(dāng)小圓在大圓外貼著大圓滾動一周時,小圓自身旋轉(zhuǎn)了6圈.
圖28-T-12
(2)如圖28-T-13所示,設(shè)小圓自轉(zhuǎn)一周時,小圓圓心相對于大圓圓心的張角的度數(shù)
m°,則2πR=,得m=90,360÷90=4.
所以當(dāng)小圓在大圓內(nèi)貼著大圓滾動一周時,小圓自身旋轉(zhuǎn)了4圈.
圖28-T-13
3.
8、沿正方形滾動
例4 已知半徑為1的⊙O與邊長為10的正方形ABCD,當(dāng)⊙O在正方形ABCD的內(nèi)部沿
四邊無滑動地滾動一周時,⊙O經(jīng)過的面積是多少?當(dāng)⊙O在正方形ABCD的外部沿四邊無滑動地滾動時,⊙O經(jīng)過的面積又是多少?
解:當(dāng)⊙O在正方形ABCD內(nèi)沿四邊無滑動地滾動一周時,⊙O所經(jīng)過的面積為
S=102-(10-4)2-4=60+π.
當(dāng)⊙O在正方形ABCD外沿四邊無滑動地滾動一周時,⊙O所經(jīng)過的面積為
S′=(10+4)2-102-4=80+4π.
4.沿正多邊形滾動
例5 如圖28-T-14所示,平面內(nèi)一個正五邊形與一個正方形的邊長正好相等,在它們相接的地方形成一個完
9、整的“蘋果”圖案,如果讓正方形沿著正五邊形的四周滾動,并且始終保持正方形和正五邊形有兩條邊鄰接,那么第一次恢復(fù)“蘋果”的圖案時,正方形要繞正五邊形轉(zhuǎn)________圈( )
圖28-T-14
A.10 B.5 C.4 D.上述答案均不正確
[解析] C 正方形有4條邊,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),可得當(dāng)正方形繞正五邊形轉(zhuǎn)4圈時,第一次恢復(fù)“蘋果”的圖案.
教師詳解詳析
【整合提升】
例1 25 [解析] 根據(jù)垂徑定理,得
AD=AB=20米.
設(shè)圓的半徑是R,根據(jù)勾股定理,
得R2=202+(R-10)2,
解得R=25.
故答案為25.
10、
例2 解:(1)證明:∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠C=∠ABC=45°,
∴∠AEP=∠ABP=45°.
∵PE是⊙O的直徑,
∴∠PAE=90°,
∴∠APE=∠AEP=45°,
∴AP=AE,
∴△APE是等腰直角三角形.
(2)∵AC=AB,AP=AE,∠CAB=∠PAE=90°,
∴∠CAP=∠BAE,
∴△CAP≌△BAE,
∴PC=EB.
∵PE為⊙O的直徑,∠PBE=90°,
∴PC2+PB2=EB2+PB2=PE2=22=4.
例3 C [解析] ∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,
∴∠BCD+∠A=180°.
∵∠BOD=2∠A,∠BO
11、D=∠BCD,
∴2∠A+∠A=180°,
∴∠A=60°,
∴∠BOD=120°,
∴的長為=2π.
故選C.
例4 B [解析] ∵扇形的半徑為30 cm,面積為300π cm2,
∴扇形的圓心角為=120(度),
∴扇形的弧長為=20π(cm).
∵圓錐的底面圓的周長等于它的側(cè)面展開扇形的弧長,
∴根據(jù)圓的周長公式,得2πr=20π,解得r=10,
∴圓錐的底面圓的半徑為10 cm.
故選B.
例5 解:(1)如圖,作CH⊥AB于點(diǎn)H.
由題意,知∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-20°-130°=30°.
在Rt△BCH中,
∵∠CH
12、B=90°,∠B=30°,BC=4,
∴CH=BC=2,BH=CH=2.
∵CH⊥BD,
∴DH=BH,
∴BD=2BH=4.
(2)連接CD,如圖所示.
∵BC=DC,
∴∠CDB=∠B=30°,
∴∠BCD=120°.
由(1)知,BD=4,CH=2,
∴S陰影=S扇形BCD-S△CBD=-×4×2=-4,
即陰影部分的面積為π-4.
例6 解:(1)連接OD,OC.
∵C,D是半圓O上的三等分點(diǎn),
∴∠AOD=∠COB=×180°=60°.
∴∠CAB=∠COB=30°.
∵DE⊥AB,
∴∠AFE=90°-30°=60°.
(2) 由題意及(1),可知OA=2,DE=2×sin60°=2×=,
∴S陰影=S扇形AOD-S△AOD=-×2×=π-,即陰影部分的面積為π-.
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