下冊·第一次質(zhì)量評估試卷 [考查范圍：上冊＋下冊第1章] 一、選擇題(每小題3分，共30分) 1．若∠A為銳角，且sin A＝，則∠A的度數(shù)為(　A　) A．30°　　　　　　B．45°　　　　　　　　C．60°　　　　　　　　D．90° 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，則BC的長是(　D　) A. B．4 C．8 D．4 3．如圖所示，廠房屋頂人字形(等腰三角形)鋼架的跨度BC＝10 m，∠B為36°，則中柱AD(D為底邊中點)的長是(　C　) A．5sin 36° m B．5cos 36° m C．5tan 36° m D．10tan 36° m 第3題圖 　　　第4題圖 4．如圖所示，點A(t，3)在第一象限，OA與x軸所夾的銳角為α， tan α＝，則t的值是(　C　) A．1 B．1.5 C．2 D．3 5．計算cos 60°－sin 45°的結(jié)果是(　B　) A. B．－ C. D. 6．一斜面的坡比i＝1∶，則坡角α滿足(　C　) A．sin α＝ B．cos α＝ C．tan α＝ D．tan α＝ 7．如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，若AC＝2，AB＝4，則tan∠BCD的值為(　B　) A. B. C. D. 第7題圖 　　　　第8題圖 　　　　第10題圖 8．直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6，8，現(xiàn)將△ABC按如圖所示那樣折疊，使點A與點B重合，折痕為DE，則cos∠CBE的值是(　A　) A. B. C. D. 9．已知拋物線y＝－x2－2x＋3與x軸交于A，B兩點，將這條拋物線的頂點記為C，連結(jié)AC，BC，則tan∠CAB的值為(　D　) A. B. C. D．2 10．如圖所示，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點D沿BC自B向C運動(點D與點B，C不重合)，作BE⊥AD于點E，CF⊥AD于點F，則BE＋CF的值(　C　) A．不變 B．增大 C．減小 D．先變大再變小 二、填空題(每小題4分，共24分) 11．tan245°－1＝__0__． 12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，則tan A的值為____． 13．若α，β均為銳角，且＋(tan β－1)2＝0，則α＋β＝__75°__． 14．如圖①為折疊椅，圖②是折疊椅撐開后的側(cè)面示意圖，其中椅腿AB和CD的長度相等，O是它們的中點．為使折疊椅既舒適又牢固，廠家將撐開后的折疊椅高度設(shè)計為32 cm，∠DOB＝100°，那么椅腿AB的長應(yīng)設(shè)計為__41.6_cm__. (結(jié)果精確到0.1 cm，參考數(shù)據(jù)：sin 50°＝cos 40°≈0.77，sin 40°＝cos 50°≈0.64，tan 40°≈0.84，tan 50°≈1.19) 第14題圖 　　　　　　　第15題圖 15．如圖所示，在△ABC中，AB＝4，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到△A1BC1 , 則陰影部分的面積為__4__． 16．已知在△ABC中，tan B＝，BC＝6，過點A作AD⊥BC于點D，且滿足BD∶CD＝2∶1，則△ABC的面積為__8或24__． 三、解答題(共66分) 17．(6分)計算： (1) 4sin260°－3tan 30°；(2)＋cos245°＋sin245°. 解：(1)原式＝4×－3×＝3－.　(2)原式＝＋1＝5. 第18題圖 18．(8分)如圖所示，在△ABC中，AB＝BC＝4，CD∥AB，過D點的直線交AC，AB于點F，E，交CB的延長線于點G，DF＝EF. (1)求證：AE＝CD. (2)若GB＝2，求BE的長． 解：(1)證明：∵CD∥AB，∴∠D＝∠AEF，在△CDF與△AEF中， ∴△CDF≌△AEF(ASA)，∴AE＝CD. (2)∵CD∥AB，∴△GBE∽△GCD，∴＝，∴＝，∵AE＝CD，∴＝，∴3BE＝AE，∵AB＝4，∴AE＋BE＝4，即4BE＝4，∴BE＝1. 第19題圖 19．(8分)如圖所示，AD是△ABC的中線，tan B＝，cos C＝，AC＝.求： (1)BC的長； (2)sin∠ADC的值． 解：(1)過點A作AE⊥BC于點E.∵cos C＝，∴∠C＝45°. 在Rt△ACE中，CE＝AC·cos C＝×＝1，∴AE＝CE＝1. 在Rt△ABE中，∵tan B＝，∴＝，∴BE＝3AE＝3， ∴BC＝BE＋CE＝4. (2)由(1)可知BC＝4，CE＝1.∵AD是△ABC的中線，∴CD＝BC＝2，∴DE＝CD－CE＝1. ∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，∴sin∠ADC＝. 第20題圖 20．(8分)如圖所示，某辦公大樓正前方有一根高度是15 m的旗桿ED，從辦公樓頂端A測得旗桿頂端E的俯角α是45°，旗桿底端D到大樓前梯坎底邊的距離DC是20 m，梯坎坡長BC是12 m，梯坎坡度i＝1∶.求大樓AB的高度．(精確到0.1 m，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45) 第20題答圖 解：延長AB交DC于點H，作EG⊥AB于點G，如圖所示，則GH＝DE＝15 m，EG＝DH， ∵梯坎坡度i＝1∶，∴BH∶CH＝1∶，設(shè)BH＝x m，則CH＝x m， 在Rt△BCH中，BC＝12 m，由勾股定理，得x2＋(x)2＝122， 解得x＝6，∴BH＝6 m，CH＝6 m， ∴BG＝GH－BH＝15－6＝9(m)， EG＝DH＝CH＋CD＝(6＋20) m， ∵∠α＝45°， ∴∠EAG＝90°－45°＝45°， ∴△AEG是等腰直角三角形， ∴AG＝EG＝6＋20(m)， ∴AB＝AG＋BG＝6＋20＋9≈39.4(m)． 第21題圖 21．(8分)如圖所示，某數(shù)學(xué)興趣小組要測量一棟五層居民樓CD的高度．該樓底層為車庫，高2.5米；上面五層居住，每層高度相等．測角儀支架離地1.5米，在A處測得五樓頂部點D的仰角為60°，在B處測得四樓頂部點E的仰角為30°，AB＝14米．求居民樓的高度．(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.73) 解：設(shè)每層樓高為x米，由題意，得MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1米， ∴DC′＝5x＋1, EC′＝4x＋1，在Rt△DC′A′中，∠D′A′C＝60°， ∴C′A′＝＝，在Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°，∴C′B′＝＝(4x＋1)， ∵A′B′＝C′B′－C′A′＝AB，∴(4x＋1)－＝14，解得x≈3.17，則居民樓高為5×3.17＋2.5≈18.4(米)． 第22題圖 22．(8分)如圖所示，二次函數(shù)y＝－x2＋x＋3的圖象與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，點D在該拋物線上，且點D的橫坐標為2，連結(jié)BC，BD，設(shè)∠OCB＝α，∠DBC＝β，求cos(α－β)的值． 第22題答圖 解：延長BD交y軸于點P， ∵∠OCB＝α，∠DBC＝β，∴∠OPB＝α－β， 令－x2＋x＋3＝0， 解得x1＝－1.2，x2＝4， ∴點A的坐標為(－1.2，0)，點B的坐標為(4，0)， x＝0時，y＝3，∴點C的坐標為(0，3)， ∵點D在該拋物線上，且點D的橫坐標為2， ∴點D的縱坐標為4，∴點D的坐標為(2，4)， ∴直線BD的解析式為：y＝－2x＋8， ∴OP＝8，PB＝＝4， ∴cos(α－β)＝cos∠OPB＝＝. 第23題圖 23．(10分)如圖所示，以△ABC的一邊AB為直徑的半圓與其他兩邊AC，BC的交點分別為D，E，且＝. (1)試判斷△ABC的形狀，并說明理由； (2)已知半圓的半徑為5，BC＝12，求sin∠ABD的值． 解：(1)△ABC為等腰三角形． 第23題答圖 理由如下：連結(jié)AE，如圖，∵＝， ∴∠DAE＝∠BAE，即AE平分∠BAC， ∵AB為直徑，∴∠AEB＝90°， ∴AE⊥BC，∴△ABC為等腰三角形． (2)∵△ABC為等腰三角形，AE⊥BC， ∴BE＝CE＝BC＝×12＝6， 在Rt△ABE中，∵AB＝10，BE＝6， ∴AE＝＝8， ∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°， ∴AE·BC＝BD·AC，∴BD＝＝， 在Rt△ABD中，∵AB＝10，BD＝，∴AD＝＝， ∴sin∠ABD＝＝＝. 24．(10分)如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線y＝－x2＋x＋3與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，點P從O出發(fā)，以每秒1個單位的速度向終點B運動，同時點Q從B出發(fā)，以每秒1個單位的速度向終點O運動，過點Q作DQ⊥x軸，交BC于點D，連結(jié)CP，DP.設(shè)運動時間為t. (1)當t＝1時，求線段PQ的長； (2)求點D的坐標(用含t的式子表示)； (3)在點P，Q的運動過程中，是否存在t的值，使△DPQ與△COP相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由． 第24題圖 解：(1)拋物線y＝－x2＋x＋3與x軸交于點A，B，與y軸交于點C， ∴A(－1，0)，B(4，0)，C(0，3)，∴OB＝4， 當t＝1時，OP＝t＝1，BQ＝t＝1， ∴PQ＝OB－OP－BQ＝4－1－1＝2. (2)∵B(4，0)，C(0，3)， ∴直線BC的解析式為y＝－x＋3， 由運動知，BQ＝t，∴OQ＝4－t， ∴DQ＝－(4－t)＋3＝t，∴D. (3)∵C(0，3)，∴OC＝3， 當0＜t＜2時， 由運動知，OP＝t，BQ＝t，∴PQ＝4－2t，由(2)知，DQ＝t， ∵DQ⊥x軸，∴∠COP＝∠DQP＝90°， ∵△DPQ與△COP相似， ∴①＝，∴＝， ∴t＝－4－4(舍)或t＝4－4， ②＝，∴＝， ∴t＝0(舍)或t＝； 當2＜t＜4時， 由運動知，OP＝t，BQ＝t，∴PQ＝2t－4， 由(2)知，DQ＝t， ∵DQ⊥x軸，∴∠COP＝∠DQP＝90°， ∵△DPQ與△COP相似， ∴①＝，∴＝，∴t＝4(舍)， ②＝，∴＝，∴t＝0(舍)或t＝. 即：△DPQ與△COP相似時，t的值為4－4或或. 8