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首屆全國中學生數(shù)理化學科能力競賽 高二數(shù)學學科能力解題技能初賽試題 總分 試卷說明：1、本試卷共計15題，滿分為120分 2、考試時間為120分鐘 本題得分 評卷人 一、選擇題（每小題5分，共30分） 1．已知，則集合C的元素個數(shù)為（ ） （A） （B） （C） （D） 2．曲線的對稱軸之間距離的最小值為（ ） （A） （B） （C） （D） 3．設點為△ABC的邊上的一點，且滿足，則△ABP與△APC的面積之比為（ ） (A) (B) (C) (D) 4．如果關于x的方程至少有一個實根，則實數(shù)a的取值范圍是（ ） （A） ]（B） （C） （D） 5．設實數(shù)滿足條件，則的最大值為（ ） （A）23 （B）25 （C） （D）5 6．已知對于任意的，有，則（ ） （A）2008 （B）2009 (C) 2010 （D）2011 本題得分 評卷人 二、填空題（每小題5分，共30分） 7．已知均為質數(shù),且滿足,則 ． 8．已知△ABC的三邊長分別為13，14，15. 有4個半徑同為的圓、、、放在 △ABC內，并且圓與邊、相切，圓與邊、相切，圓與邊、相切，圓與圓、、相切，則 . 9．若不等式對任意正整數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 . 10．函數(shù)在R是減函數(shù)，且不等式恒成立，則與的大小關系是 . 11．已知函數(shù)同時滿足以下三個條件： （1）存在反函數(shù)； （2）點在函數(shù)的圖象上； （3）函數(shù)的反函數(shù)為． 則的前項和= ． 12．若表示不超過的最大整數(shù)（如等），則 ＝____________________． 本題得分 評卷人 三、解答題 13．（本小題滿分20分） 在數(shù)列中，已知． （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）設且的前項和為，求證：． 14．（本小題滿分20分） 已知是一個三角形的三個內角，求三元方程的所有解. 15．（本小題滿分20分） 有一個的長方體盒子，另有一個 的長方體盒子， 其中均為正整數(shù)()，并且前者的容積 是后者一半，求的最大值．