專訓：巧求與圓有關的面積問題 名師點金：求解與圓有關的面積時，有時候可以直接運用公式求出，但大多數(shù)都要通過轉化后求其面積，常用的方法有：作差法、等積變形法、平移法、割補法等．根據圖形特點，靈活運用這些方法解題，往往會起到事半功倍的效果． 利用“作差法”求面積 1．如圖，在⊙O中，半徑OA＝6 cm，C是OB的中點，∠AOB＝120°，求陰影部分的面積． (第1題) 利用“等積變形法”求面積 2．如圖，E是半徑為2 cm的⊙O的直徑CD延長線上的一點，AB∥CD且AB＝CD，求陰影部分的面積．【導學號：31782104】 (第2題) 利用“平移法”求面積 3．如圖是兩個半圓，O為大半圓的圓心，長為18的弦AB與直徑CD平行且與小半圓相切，那么圖中陰影部分的面積等于多少？ (第3題) 利用“割補法”求面積 4．如圖，扇形OAB與扇形OCD的圓心角都是90°，連接AC，BD. (1)求證：AC＝BD； (2)若OA＝2 cm，OC＝1 cm，求圖中陰影部分的面積． (第4題) 答案 專訓 1．解：過點C作CD⊥AO，交AO的延長線于點D. ∵OB＝6 cm，C為OB的中點，∴OC＝3 cm. ∵∠AOB＝120°，∴∠COD＝60°.∴∠OCD＝30°. ∴在Rt△CDO中，OD＝OC＝ cm. ∴CD＝＝＝(cm)． ∴S△AOC＝AO·CD＝×6×＝(cm2)． 又∵S扇形OAB＝＝12π(cm2)， ∴S陰影＝S扇形OAB－S△AOC＝12π－＝(cm2)， 即陰影部分的面積為 cm2. 點撥：本題中陰影部分雖然不是規(guī)則圖形，但它的面積可以轉化為兩個規(guī)則圖形的面積差，因此我們只需分別求出一個扇形面積和一個三角形面積即可達到目的． 2．解：連接OA，OB.∵AB∥CD，∴S△ABE＝S△AOB. ∴S陰影＝S扇形OAB. ∵AB＝CD＝AO＝OB＝2 cm， ∴△OAB是等邊三角形．∴∠AOB＝60°. ∴S扇形OAB＝＝π(cm2)， 即陰影部分的面積為π cm2. 點撥：本題利用△AEB的面積等于△AOB的面積，將陰影部分面積轉化為扇形面積，體現(xiàn)了“等積變形法”的運用． (第3題) 3．解：將小半圓向右平移，使兩個半圓的圓心重合，如圖，則陰影部分的面積等于半圓環(huán)面積． 作OE⊥AB于E(易知E為切點)，連接OA，∴AE＝AB＝9. ∴陰影部分的面積＝π·OA2－π·OE2＝π(OA2－OE2)＝π·AE2＝π·92＝π. 點撥：觀察圖形可知陰影部分的面積等于大半圓的面積減去小半圓的面積，因此當小半圓在大半圓范圍內左右移動時，陰影部分面積不改變，所以我們可以通過平移，使兩個半圓圓心重合，這樣就能運用已知條件求出陰影部分的面積． 4．(1)證明：∵∠AOB＝∠COD＝90°， 即∠AOC＋∠AOD＝∠BOD＋∠AOD， ∴∠AOC＝∠BOD. 又∵AO＝BO，CO＝DO，∴△AOC≌△BOD，∴AC＝BD. (2)解：由(1)知△AOC≌△BOD，∴陰影部分的面積＝扇形OAB的面積－扇形OCD的面積． 則S陰影＝－＝＝＝π(cm2)． 點撥：本題通過割補法將不規(guī)則圖形的面積轉化為兩個規(guī)則圖形的面積的差的形式． 3