課時訓練(十三)反比例函數(shù)及其應用 |夯 實 基 礎| 一、選擇題 1．[2017·沈陽]點A(－2，5)在反比例函數(shù)y＝(k≠0)的圖象上，則k的值是(　　) A．10 B．5 C．－5 D．－10 2．[2017·株洲]模擬關于反比例函數(shù)y＝－，下列說法正確的是(　　) A．圖象過(1，2)點 B．圖象在第一、三象限 C．當x>0時，y隨x的增大而減小 D．當x<0時，y隨x的增大而增大 3．[2017·懷化]模擬若反比例函數(shù)y＝的圖象位于第二、四象限，則k的取值可能是(　　) A．0 B．2 C．3 D．4 4．[2017·宜昌]某學校要種植一塊面積為100 m2的長方形草坪，要求兩邊長均不小于5 m，則草坪的一邊長y(單位：m)隨另一邊長x(單位：m)的變化而變化的圖象可能是圖K13－1中的(　　) 圖K13－1 5．[2017·濰坊]一次函數(shù)y＝ax＋b與反比例函數(shù)y＝，其中ab＜0，a、b為常數(shù)，它們在同一坐標系中的圖象可以是(　　) 圖K13－2 6．[2016·長春]如圖K13－3，在平面直角坐標系中，點P(1，4)，Q(m，n)在函數(shù)y＝(x>0)的圖象上，當m>1時，過點P分別作x軸、y軸的垂線，垂足為點A，B；過點Q分別作x軸、y軸的垂線，垂足為點C，D.QD交PA于點E，隨著m的增大，四邊形ACQE的面積(　　) A．減小 B．增大 C．先減小后增大 D．先增大后減小 圖K13－3 　　　圖K13－4 7．[2017·懷化]如圖K13－4，A，B兩點在反比例函數(shù)y＝的圖象上，C，D兩點在反比例函數(shù)y＝的圖象上，AC⊥y軸于點E，BD⊥y軸于點F，AC＝2，BD＝1，EF＝3，則k1－k2的值是(　　) A．6 B．4 C．3 D．2 二、填空題 8．[2017·菏澤]直線y＝kx(k>0)與雙曲線y＝交于A(x1，y1)和B(x2，y2)兩點，則3x1y2－9x2y1的值為________． 9．[2017·株洲]如圖K13－5，一塊含30°、60°、90°的直角三角板，直角頂點O位于坐標原點，斜邊AB垂直于x軸，頂點A在函數(shù)y1＝(x>0)的圖象上，頂點B在函數(shù)y2＝(x>0)的圖象上，∠ABO＝30°，則＝________． 圖K13－5 　　圖K13－6 10．[2016·揚州]如圖K13－6，點A在函數(shù)y＝(x＞0)的圖象上，且OA＝4，過點A作AB⊥x軸于點B，則△ABO的周長為________． 三、解答題 11．[2017·岳陽]如圖K13－7，直線y＝x＋b與雙曲線y＝(k為常數(shù)，k≠0)在第一象限內(nèi)交于點A(1，2)，且與x軸、y軸交于B，C兩點． (1)求直線和雙曲線的解析式； (2)點P在x軸上，且△BCP的面積等于2，求P點的坐標． 圖K13－7 12．[2017·麗水]麗水某公司將“麗水山耕”農(nóng)副產(chǎn)品運往杭州市場進行銷售．記汽車的行駛時間為t小時，平均速度為v千米/時(汽車行駛速度不超過100千米/時)．根據(jù)經(jīng)驗，v，t的一組對應值如下表： v(千米/時) 75 80 85 90 95 t(小時) 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 (1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出平均速度v(千米/時)關于行駛時間t(小時)的函數(shù)表達式； (2)汽車上午7：30從麗水出發(fā)，能否在上午10：00之前到達杭州市場？請說明理由； (3)若汽車到達杭州市場的行駛時間t滿足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范圍． |拓 展 提 升| 13．[2017·岳陽]已知點A在函數(shù)y1＝－(x>0)的圖象上，點B在直線y2＝kx＋1＋k(k為常數(shù)，且k≥0)上，若A，B兩點關于原點對稱，則稱點A，B為函數(shù)y1，y2圖象上的一對“友好點”．請問這兩個函數(shù)圖象上的“友好點”對數(shù)的情況為(　　) A．有1對或2對 B．只有1對 C．只有2對 D．有2對或3對 14．[2015·邵陽]如圖K13－8，已知直線y＝x＋k和雙曲線y＝(k為正整數(shù))交于A，B兩點． (1)當k＝1時，求A，B兩點的坐標． (2)當k＝2時，求△AOB的面積． (3)當k＝1時，△OAB的面積記為S1；當k＝2時，△OAB的面積記為S2；….依此類推，當k＝n時，△OAB的面積記為Sn，若S1＋S2＋…＋Sn＝，求n的值．[提示：12＋22＋…＋n2＝] 圖K13－8 參考答案 1．D 2．D　[解析] ∵當x＝1時，y＝－2，∴圖象過點(1，－2)，∴A錯誤；∵k＝－2＜0，∴函數(shù)圖象位于二、四象限，在各自象限內(nèi)y隨x的增大而增大，故B、C錯誤；選項D正確．故選D. 3．A　[解析] 由于反比例函數(shù)y＝的圖象位于第二、四象限，所以k－1＜0，解得k＜1，只有選項A符合條件，故選A. 4．C　[解析] 由題意得y＝，由兩邊長均不小于5 m，可得5≤x≤20，符合題意的選項只有C. 5．C　[解析] ∵ab＜0，∴a、b異號．選項A中由一次函數(shù)的圖象可知a＞0，b＜0，則a＞b，由反比例函數(shù)的圖象可知a－b＜0，即a＜b，產(chǎn)生矛盾，故A錯誤；選項B中由一次函數(shù)的圖象可知a＜0，b＞0，則a＜b，由反比例函數(shù)的圖象可知a－b＞0，即a＞b，產(chǎn)生矛盾，故B錯誤；選項C中由一次函數(shù)的圖象可知a＞0，b＜0，則a＞b，由反比例函數(shù)的圖象可知a－b＞0，即a＞b，與一次函數(shù)一致，故C正確；選項D中由一次函數(shù)的圖象可知a＜0，b＜0，則ab＞0，這與題設矛盾，故D錯誤． 6．B　[解析] 因為點P(1，4)在函數(shù)y＝(x>0)的圖象上，所以k＝4，又點Q(m，n)也在函數(shù)圖象上，所以mn＝4，QE＝m－1，QC＝n，所以四邊形ACQE的面積為(m－1)n＝mn－n＝－n＋4，當m增大時，n減小，－n＋4是增大的，故選B. 7．D　[解析] 連接OA、OC、OD、OB，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知S△AOE＝S△BOF＝|k1|＝k1，S△COE＝S△DOF＝|k2|＝－k2，∵S△AOC＝S△AOE＋S△COE，∴AC·OE＝×2OE＝OE＝(k1－k2)…①，∵S△BOD＝S△DOF＋S△BOF，∴BD·OF＝×(EF－OE)＝×(3－OE)＝－OE＝(k1－k2)…②，由①②兩式解得OE＝1，則k1－k2＝2. 8．36　[解析] 由圖象可知點A(x1，y1)，B(x2，y2)關于原點對稱，∴x1＝－x2，y1＝－y2，把(x1，y1)代入y＝，得x1y1＝6，所以3x1y2－9x2y1＝－3x1y1＋9x1y1＝－18＋54＝36. 9．－　[解析] 在Rt△ACO與Rt△BCO中，∠A＝60°，∠B＝30°，設AC＝a，則OC＝a，BC＝3a，則可知A(a，a)，B(a，－3a)．故k1＝a2，k2＝－3 a2，故＝－. 10．2 ＋4　[解析] ∵點A在函數(shù)y＝(x＞0)的圖象上，∴設點A的坐標為(n，)(n＞0)． 在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，OA＝4，∴OA2＝AB2＋OB2， 又∵AB·OB＝·n＝4，∴(AB＋OB)2＝AB2＋OB2＋2AB·OB＝42＋2×4＝24， ∴AB＋OB＝2 或AB＋OB＝－2 (舍去)， ∴C△ABO＝AB＋OB＋OA＝2 ＋4. 11．解：(1)∵直線y＝x＋b與雙曲線y＝交于點A(1，2)，∴解得 ∴y＝x＋1，y＝. (2)分別將x＝0，y＝0代入y＝x＋1求得C(0，1)，B(－1，0)，∴OC＝1，S△BCP＝·OC·BP＝2，解得BP＝4.∴當P在B左邊時，P(－5，0)；當P在B右邊時，P(3，0)． 12．解：(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可畫出v關于t的函數(shù)圖象如圖所示： 根據(jù)圖象形狀，選擇反比例函數(shù)模型進行嘗試． 設v關于t的函數(shù)表達式為v＝， ∵當v＝75時，t＝4， ∴k＝4×75＝300. ∴v＝. 將點(3.75，80)，(3.53，85)，(3.33，90)，(3.16，95)的坐標代入v＝， 驗證：＝3.75，≈3.53，≈3.33，≈3.16， ∴v與t的函數(shù)表達式為v＝(t≥3)． (2)∵10－7.5＝2.5， ∴當t＝2.5時，v＝＝120>100. ∴汽車上午7：30從麗水出發(fā)，不能在上午10：00之前到達杭州市場． (3)由圖象或反比例函數(shù)的性質(zhì)得， 當3.5≤t≤4時，75≤v≤. 答：平均速度v的取值范圍是75≤v≤. 13．A　[解析] ①當k＝0時y2＝1，y1＝－(x>0)，則一對“友好點”為A(1，－1)，B(－1，1)； ②當k≠0時，設A點坐標為(x，－)，由于A，B關于原點對稱，則可設B點坐標為(－x，－kx＋1＋k)．A、B兩點縱坐標互為相反數(shù)，因此＝－kx＋1＋k，將其化為一元二次方程，得到kx2－(1＋k)x＋1＝0，Δ＝(k－1)2≥0，因此，當k＝1時，有1對“友好點”，坐標為A(1，－1)，B(－1，1)；當k>0且k≠1時，有兩對“友好點”，因此答案為A. 14．解：(1)當k＝1時，直線y＝x＋k和雙曲線y＝化為y＝x＋1和y＝， 解方程組得或 ∴點A的坐標為(1，2)，點B的坐標為(－2，－1)． (2)當k＝2時，直線y＝x＋k和雙曲線y＝化為y＝x＋2和y＝， 解方程組 得或 ∴點A(1，3)，點B(－3，－1)． ∵直線AB與y軸的交點坐標為(0，2)， ∴S△AOB＝×2×1＋×2×3＝4. (3)當k＝1時，S1＝×1×(1＋2)＝； 當k＝2時，S2＝×2×(1＋3)＝4； … 當k＝n時，Sn＝n(1＋n＋1)＝n2＋n. ∵S1＋S2＋…＋Sn＝， ∴×(12＋22＋32＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝， 整理得×＋＝， 解得n＝6. 6