第22課時　三角形全等 (60分) 一、選擇題(每題5分，共20分) 1．[2016·宜昌]如圖22－1，在方格紙中，以AB為一邊作△ABP，使之與△ABC全等，從P1，P2，P3，P4四個點中找出符合條件的點P，則點P有 (C) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【解析】　要使△ABP與△ABC全等，點P到AB的距離應(yīng)該等于點C到AB的距離，即3個單位長度，故點P的位置可以是P1，P3，P4三個． 圖22－1 　　圖22－2 2．如圖22－2，下列條件中，不能證明△ABD≌△ACD的是 (D) A．BD＝DC，AB＝AC B．∠ADB＝∠ADC，BD＝CD C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C，BD＝DC 【解析】　當(dāng)BD＝DC，AB＝AC時，因為AD＝AD，由SSS可得△ABD≌△ACD，故A正確；當(dāng)∠ADB＝∠ADC，BD＝CD時，因為AD＝AD，由SAS可得△ABD≌△ACD，故B正確；當(dāng)∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD時，因為AD＝AD，由AAS可得△ABD≌△ACD，故C正確；D不能判定△ABD≌△ACD，因為不能利用SSA判定兩三角形全等． 3．[2016·湖州]如圖22－3，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點E，BC＝5，DE＝2，則△BCE的面積等于 (C) A．10 B．7 C．5 D．4 第3題答圖 圖22－3 　　 【解析】　作EF⊥BC于F， ∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC， ∴EF＝DE＝2， ∴S△BCE＝BC·EF＝×5×2＝5. 4.[2016·寧波]如圖22－4，?ABCD中，E，F(xiàn)是對角線BD上的兩點，如果添加一個條件，使△ABE≌△CDF，則添加的條件不能為 (C) A．BE＝DF B．BF＝DE C．AE＝CF D．∠1＝∠2 圖22－4 【解析】　A．當(dāng)BE＝DF，△ABE≌△CDF(SAS)，故此選項可添加； B．當(dāng)BF＝ED，可得BE＝DF，△ABE≌△CDF(SAS)，故此選項可添加； C．當(dāng)AE＝CF無法得出△ABE≌△CDF，故此選項符合題意； D．當(dāng)∠1＝∠2，△ABE≌△CDF(ASA)，故此選項可添加． 二、填空題(每題5分，共20分) 5．[2017·長沙]如圖22－5，點B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，則DF＝__6__. 圖22－5 　　圖22－6 6．[2016·江西]如圖22－6，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA＝OB，則圖中有__3__對全等三角形． 【解析】　∵OP平分∠MON，∴∠1＝∠2， 由OA＝OB，∠1＝∠2，OP＝OP，可證得△AOP≌△BOP(SAS)， ∴AP＝BP， 又∵OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F， ∴PE＝PF，∴△PEA≌△PFB(HL)， 又∵PE＝PF，OP＝OP，∴△POE≌△POF(HL)， ∴圖中共有3對全等三角形． 7．[2016·婁底]如圖22－7，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，還需添加一個條件，你添加的條件是__∠ABD＝∠CBD或AD＝CD__(只需寫一個，不添加輔助線)． 【解析】　由已知AB＝BC，及公共邊BD＝BD，可知要使△ABD≌△CBD，已經(jīng)具備了兩個邊了，然后根據(jù)全等三角形的判定定理，應(yīng)該有兩種判定方法①SAS，②SSS.所以可添∠ABD＝∠CBD或AD＝CD. 圖22－7 8．[2016·黔東南]如圖22－8，在四邊形ABCD中，AB∥CD，連結(jié)BD.請?zhí)砑右粋€適當(dāng)?shù)臈l件__AB＝CD__，使△ABD≌△CDB.(只需寫一個) 圖22－8 【解析】　∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，而BD＝DB， ∴當(dāng)添加AB＝CD時，可根據(jù)“SAS”判定△ABD≌△CDB. 三、解答題(共20分)圖22－9 9．(10分)[2016·福州]如圖22－9，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：AC＝AD. 證明：∵∠3＝∠4， ∴∠ABC＝∠ABD. 在△ABC和△ABD中， ∴△ABC≌△ABD(ASA) ∴AC＝AD. 圖22－10 10．(10分)[2016·武漢]如圖22－10，點B，C，E，F(xiàn)在同一直線上，BC＝EF，AC⊥BC于點C，DF⊥EF于點F，AC＝DF.求證： (1)△ABC≌△DEF； (2)AB∥DE. 證明：(1)∵AC⊥BC于點C，DF⊥EF于點F， ∴∠ACB＝∠DFE＝90°， 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(SAS)； (2)∵△ABC≌△DEF， ∴∠B＝∠DEF， ∴AB∥DE. (24分) 11．(12分)[2017·杭州]如圖22－11，在△ABC中，AB＝AC，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，AE＝AF，BF與CE相交于點P，求證：PB＝PC，并請直接寫出圖中其他相等的線段． 圖22－11 證明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△ABF與△ACE中， ∴△ABF≌△ACE(SAS)， ∴∠ABF＝∠ACE， ∴∠ABC－∠ABF＝∠ACB－∠ACE， ∴∠FBC＝∠ECB， ∴PB＝PC. 相等的線段還有：PE＝PF，BE＝CF，EC＝FB，AE＝AF. 圖22－12 12．(12分)[2016·溫州]如圖22－12，點C，E，F(xiàn)，B在同一直線上，點A，D在BC異側(cè)，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D. (1)求證：AB＝CD； (2)若AB＝CF，∠B＝30°，求∠D的度數(shù)． 解：(1)證明：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠C， 在△ABE和△DCF中， ∴△ABE≌△DCF(AAS)， ∴AB＝CD； (2)∵△ABE≌△DCF， ∴AB＝CD，BE＝CF， ∵AB＝CF，∠B＝30°， ∴CD＝CF， ∠C＝∠B＝30°， ∴△CDF是等腰三角形， ∴∠D＝×(180°－30°)＝75°. (16分) 13．(16分)[2016·株洲]如圖22－13，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的一條角平分線．點O，E，F(xiàn) 分別在BD，BC，AC上，且四邊形OECF是正方形． (1)求證：點O在∠BAC的平分線上； (2)若AC＝5，BC＝12，求OE的長． 　　 圖22－13　　　　　　 第13題答圖 解：(1)證明：過點O作OM⊥AB于點M， ∵BD是∠ABC的平分線， ∴OE＝OM， ∵四邊形OECF是正方形， ∴OE＝OF， ∴OF＝OM， ∵OM⊥AB，OF⊥AD， ∴AO是∠BAC的角平分線， 即點O在∠BAC的平分線上； (2)∵在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12， ∴AB＝＝＝13， 設(shè)CE＝CF＝x，BE＝BM＝y(tǒng)，AM＝AF＝z， ∴ 解得 ∴OE＝CE＝CF＝2. 6