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1、考點14 三角形及其全等 一、三角形的基礎(chǔ)知識 1．三角形的概念 由三條線段首尾順次相接組成的圖形，叫做三角形． 2．三角形的三邊關(guān)系 （1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊． 推論：三角形的兩邊之差小于第三邊． （2）三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用： ①判斷三條已知線段能否組成三角形；②當(dāng)已知兩邊時，可確定第三邊的范圍；③證明線段不等關(guān)系． 3．三角形的內(nèi)角和定理及推論 三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°． 推論：①直角三角形的兩個銳角互余；②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角．

2、 4．三角形中的重要線段 （1）三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線． （2）在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線． （3）從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）． （4）連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半． 二、全等三角形 1．三角形全等的判定定理： （1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）； （2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩

3、個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）； （3）邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）； （4）對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）． 2．全等三角形的性質(zhì)： （1）全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等； （2）全等三角形的周長相等，面積相等； （3）全等三角形對應(yīng)的中線、高線、角平分線、中位線都相等． 考向一 三角形的三邊關(guān)系 在判斷三條線段能否組成一個三角形時，可以根據(jù)兩條較短線段的長度之和是否大于第三條線段

4、的長度來判斷． 典例1 小芳有兩根長度為6 cm和9 cm的木條，她想釘一個三角形木框，桌上有下列長度的幾根木條，她應(yīng)該選擇長度為__________的木條． A．2 cm B．3 cm C．12 cm D．15 cm 【答案】C 【解析】設(shè)木條的長度為x cm，則9–6

5、形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角． 典例2 小桐把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中，，，，則等于 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如圖， ∵，， ∵，， ∴ = =， 故選C． 2．如圖，CE是△ABC的外角的平分線，若，則__________． 3．如圖，在△ABC中，∠ACB=68°，若P為△ABC內(nèi)一點，且∠1=∠2，則∠BPC=__________． 考向三 三角形中的重要線段 三角形的高、中線、角平分線是三條線段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中線可得線段之間的關(guān)

6、系，由三角形的角平分線可得角之間的關(guān)系．另外，要注意區(qū)分三角形的中線和中位線．中線：連接三角形一個頂點和它對邊中點的線段；中位線：連接三角形兩條邊中點的線段. 典例3 在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，AC中點，連接DF，F(xiàn)E，則四邊形DBEF的周長是 A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【解析】∵D、E、F分別為AB、BC、AC中點，∴DF=BC=2，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB， ∴四邊形DBEF為平行四邊形，∴四邊形DBEF的周長=2（DF+EF）=2×（2+）=7，故選B． 【名師點睛】三

7、角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半． 典例4 在△ABC中，∠BAC=115°，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，則∠EAG的度數(shù)為 A．50° B．40° C．30° D．25° 【答案】A 【解析】∵∠BAC=115°，∴∠B+∠C=65°， ∵DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線， ∴EA=EB，GA=GC， ∴∠EAB=∠B，∠GAC=∠C， ∴∠EAG=∠BAC–（∠EAB+∠GAC）=∠BAC–（∠B+∠C）=50°， 故選A． 4．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于

8、D點，AB=4，BD=5，點P是線段BC上的一動點，則PD的最小值是__________． 考向四 全等三角形 1．從判定兩個三角形全等的方法可知，要判定兩個三角形全等，需要知道這兩個三角形分別有三個元素（其中至少有一個元素是邊）對應(yīng)相等，這樣就可以利用題目中的已知邊（角）準(zhǔn)確地確定要補(bǔ)充的邊（角），有目的地完善三角形全等的條件，從而得到判定兩個三角形全等的思路： （1）已知兩邊 （2）已知一邊、一角 （3）已知兩角 2．若題中沒有全等的三角形，則可根據(jù)題中條件合理地添加輔助線，如運用作高法、倍長中線法、截長補(bǔ)短法、分解圖形法等來解決運動、拼接、旋轉(zhuǎn)等探究性題目．

9、典例5 如圖，點B、F、C、E在同一條直線上，AB∥DE，∠A=∠D，BF=EC． （1）求證：△ABC≌△DEF； （2）若∠A=120°，∠B=20°，求∠DFC的度數(shù)． 【解析】（1）∵AB∥DE， ∴∠B=∠E， ∵BF=EC ∴BF+FC=EC+CF， 即BC=EF， 在△ABC和△DEF中，， ∴△ABC≌△DEF． （2）∵∠A=120°，∠B=20°， ∴∠ACB=40°， 由（1）知△ABC≌△DEF，∴∠ACB=∠DFE， ∴∠DFE=40°，∴∠DFC=40°． 【名師點睛】本題考查了全等三角形的判定方法，①三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，

10、簡記為“SSS”； ②兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡記為“SAS”；③兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡記為“ASA”；④兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡記為“AAS”；⑤斜邊及一直角邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，根據(jù)這幾種判定方法解答即可． 5．如圖，OA=OB，∠A=∠B，有下列3個結(jié)論：①△AOD≌△BOC，②△ACE≌△BDE，③點E在∠O的平分線上，其中正確的結(jié)論個數(shù)是 A．0 B．1 C．2 D．3 6．如圖，在△BCE中，AC⊥BE，AB=AC，點A、點F分別在BE、CE上，BF、AC相交于點D，BD=CE．求證：

11、AD=AE． 1．下列線段，能組成三角形的是 A．2 cm，3 cm，5 cm B．5 cm，6 cm，10 cm C．1 cm，1 cm，3 cm D．3 cm，4 cm，8 cm 2．下列圖形不具有穩(wěn)定性的是 A．正方形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形 3．直角三角形中兩銳角之差為20°，則較大銳角為 A．45° B．55° C．65° D．50° 4．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為點E，DE=1，則BC= A． B．2 C．3

12、 D．+2 5．如圖所示，AB=DB，BC=BE，欲證△ABE≌△DBC，則需補(bǔ)充的條件是 A．∠A=∠D B．∠E=∠C C．∠A=∠C D．∠1=∠2 6．如圖，△ABC中，H是高AD、BE的交點，且BH=AC，則∠ABC=__________． 7．如圖，已知方格紙中是4個相同的正方形，則∠1＋∠2＋∠3=__________度． 8．如圖，已知AB∥CF，E為DF的中點，若AB=8，CF=5，則BD=__________． 9．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中線，AF⊥BD，F(xiàn)為垂足，過點C作AB的平行線交AF的延長線于點E

13、． 求證：（1）∠ABD=∠FAD； （2）AB=2CE． 10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D，F(xiàn)分別在AB，AC上，CF=CB．連接CD，將線段CD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得CE，連接EF． （1）求證：△BCD≌△FCE； （2）若EF∥CD．求∠BDC的度數(shù)． 11．如圖，操場上有兩根旗桿CA與BD之間相距12 m，小強(qiáng)同學(xué)從B點沿BA走向A，一定時間后他到達(dá)M點，此時他測得CM和DM的夾角為90°，且CM=DM，已知旗桿AC的高為3 m，小強(qiáng)同學(xué)行走的速度為0.5 m/s，則： （1）請你求出另一旗桿BD的高度；

14、 （2）小強(qiáng)從M點到達(dá)A點還需要多長時間？ 1．（2019?徐州）下列長度的三條線段，能組成三角形的是 A．，， B．，，12 C．，， D．，， 2．（2019?百色）三角形的內(nèi)角和等于 A． B． C． D． 3．（2019?荊門）將一副直角三角板按如圖所示的位置擺放，使得它們的直角邊互相垂直，則的度數(shù)是 A． B． C． D． 4．（2019?大慶）如圖，在△ABC中，BE是∠ABC的平分線，CE是外角∠ACM的平分線，BE與CE相交于點E，若∠A=60°，則∠BEC是 A．15° B．30°

15、C．45° D．60° 5．（2019?長春）如圖，在中，為鈍角．用直尺和圓規(guī)在邊上確定一點．使，則符合要求的作圖痕跡是 A． B． C． D． 6．（2019?張家界）如圖，在中，，，，BD平分，則點D到AB的距離等于 A．4 B．3 C．2 D．1 7．（2019?梧州）如圖，是的邊的垂直平分線，為垂足，交于點，且 ，則的周長是 A．12 B．13 C．14 D．15 8．（2019?臨沂）如圖，是上一點，交于點，，，若，，則的長是 A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 9．（2019?河南）

16、如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=4，BC=3．分別以點A，C為圓心，大于AC長為半徑作弧，兩弧交于點E，作射線BE交AD于點F，交AC于點O．若點O是AC的中點，則CD的長為 A．2 B．4 C．3 D． 10．（2019?宿遷）一副三角板如圖擺放（直角頂點重合），邊與交于點，，則等于 A． B． C． D． 11．（2019?青島）如圖，BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，垂足為F．若∠ABC=35°，∠C=50°，則∠CDE的度數(shù)為 A．35° B．40° C．45° D．50° 12．

17、（2019?濱州）如圖，在和中，， 連接交于點，連接．下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分．其中正確的個數(shù)為 A．4 B．3 C．2 D．1 13．（2019?蘭州）在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，則∠B=__________． 14．（2019?長沙）如圖，要測量池塘兩岸相對的A，B兩點間的距離，可以在池塘外選一點C，連接AC，BC，分別取AC，BC的中點D，E，測得DE=50 m，則AB的長是__________m． 15．（2019?成都）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E都在邊BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，則CE的長為_____

18、_____． 16．（2019?南通）如圖，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，則∠ACF=__________度． 17．（2019?瀘州）如圖，，和相交于點，．求證：． 18．（2019?廣州）如圖，D是AB上一點，DF交AC于點E，DE=FE，F(xiàn)C∥AB，求證：． 19．（2019?無錫）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E分別在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于點O． 求證：（1）； （2）． 變式拓展

19、 1．【答案】C 【解析】2cm+5cm<8cm，A不能組成三角形； 3cm+3cm=6cm，B不能組成三角形； 3cm+4cm＞5cm，C能組成三角形； 1cm+2cm=3cm，D不能組成三角形； 故選C． 2．【答案】85° 【解析】∵∠ACE=60°，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，∠ACD=2∠ACE=120°，∵∠ACD=∠A+∠B，∠B=35°，∴∠A=∠ACD-∠B=85°，故答案為：85°． 3．【答案】112° 【解析】∵∠1+∠PCB=∠ACB=68°，又∵∠1=∠2，∴∠2+∠PCB=68°，∵∠BPC+∠2+∠PCB=180°，∴∠BPC=

20、180°-68°=112°，故答案為：112°． 4．【答案】3 【解析】由勾股定理知AD=，BD平分∠ABC交AC于D點，所以PD=AD最小，PD=3，故答案為：3． 5．【答案】D 【解析】∵OA=OB，∠A=∠B，∠O=∠O， ∴△AOD≌△BOC（ASA），故①正確； ∴OD=CO，∴BD=AC， ∴△ACE≌△BDE（AAS），故②正確； ∴AE=BE，連接OE，∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AOE=∠BOE，∴點E在∠O的平分線上，故③正確， 故選D． 6．【解析】∵AC⊥BE，∴∠BAD=∠CAE=90°， 在Rt△ABD和Rt△ACE中，， ∴

21、Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），∴AD=AE． 考點沖關(guān) 1．【答案】B 【解析】A、3+2=5，故選項錯誤； B、5+6>10，故正確； C、1+1<3，故錯誤； D、4+3<8，故錯誤． 故選B． 2．【答案】A 【解析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性可知，只有選項A不具有穩(wěn)定性，故選A． 3．【答案】B 【解析】設(shè)兩個銳角分別為x、y，由題意得，，解得，所以最大銳角為55°． 故選B． 4．【答案】C 【解析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CD=DE=1，根據(jù)Rt△ADE可得AD=2DE=2，根據(jù)題意可得△ADB為等腰三角形，則DE為AB的中垂線，則BD=AD=2，則B

22、C=CD+BD=1+2=3．故選C． 5．【答案】D 【解析】根據(jù)全等“SAS”判定可知，要證△ABE≌△DBC還需補(bǔ)充條件AB，BE與BC，BD的夾角相等，即∠ABE=∠CBD或者∠1=∠2，故選D． 6．【答案】45° 【解析】∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠HBD+∠C=∠CAD+∠C=90°， ∴∠HBD=∠CAD， ∵在△HBD和△CAD中，， ∴△HBD≌△CAD， ∴AD=BD， ∴∠DAB=∠DBA， ∵∠ADB=90°， ∴∠ABD=45°， 即∠ABC=45° 故答案為：45°． 7．【答案】135

23、 【解析】如圖所示： 由題意可知△ABC≌△EDC，∴∠3=∠BAC， 又∵∠1+∠BAC=90°，∴∠1+∠3=90°， ∵DF=DC，∴∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=135度， 故答案為：135． 8．【答案】3 【解析】∵AB∥CF，∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，又∵DE=FE，∴△ADE≌△CFE， ∴AD=CF=5， ∵AB=8，∴BD=AB–AD=8–5=3， 故答案為：3． 9．【解析】(1)∵∠BAC=90°，∴∠FAD＋∠BAF=90°. ∵AF⊥BD，∴在Rt△ABF中，∠ABD＋∠BAF=90°， ∴∠ABD=∠FAD． (2)∵CE

24、∥AB，∠BAC=90°，∴∠ACE=90°， 在△BAD和△ACE中， ∵∠ABD=∠CAE，AB=CA，∠BAC=∠ACE=90°， ∴△BAD≌△ACE(ASA)，∴AD=CE. ∵BD為△ABC中AC邊上的中線．∴AC=2AD，∴AC=2CE. 又∵AB=AC，∴AB=2CE. 10．【解析】（1）∵將線段CD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得CE， ∴CD=CE，∠DCE=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠BCD=90°–∠ACD=∠FCE， 在△BCD和△FCE中，CB=CF， ∵BCD=∠FCE，CD=CE，CB=CF，∠BCD=∠FCE， ∴△BCD≌△

25、FCE． （2）由（1）可知△BCD≌△FCE， ∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE， ∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°， ∵EF∥CD， ∴∠E=180°–∠DCE=90°， ∴∠BDC=90°． 11．【解析】（1）如圖，∵CM和DM的夾角為90°， ∴∠1+∠2=90°，∵∠DBA=90°，∴∠2+∠D=90°，∴∠1=∠D， 在△CAM和△MBD中，， ∴△CAM≌△MBD（AAS），∴AM=DB，AC=MB， ∵AC=3m，∴MB=3m， ∵AB=12m，∴AM=9m，∴DB=9m； （2）9÷0.5=18（s）． 答

26、：小強(qiáng)從M點到達(dá)A點還需要18秒． 直通中考 1．【答案】D 【解析】∵，∴，，不能組成三角形，故選項A錯誤， ∵，∴，，不能組成三角形，故選項B錯誤， ∵，∴，，不能組成三角形，故選項C錯誤， ∵，∴，，能組成三角形，故選項D正確，故選D． 2．【答案】B 【解析】因為三角形的內(nèi)角和等于180度，故選B． 3．【答案】C 【解析】如圖， 由題意得，，∴， 由三角形的外角性質(zhì)可知，，故選C． 4．【答案】B 【解析】∵BE是∠ABC的平分線，∴∠EBM=∠ABC， ∵CE是外角∠ACM的平分線，∴∠ECM=∠ACM， 則∠BEC=∠ECM–∠EBM=

27、×（∠ACM–∠ABC）=∠A=30°，故選B． 5．【答案】B 【解析】∵且，∴，∴， ∴點是線段中垂線與的交點，故選B． 6．【答案】C 【解析】如圖，過點D作于E， ∵，，∴， ∵，BD平分，∴，即點D到AB的距離為2，故選C． 7．【答案】B 【解析】∵是的邊的垂直平分線，∴，∵，∴的周長是：．故選B． 8．【答案】B 【解析】∵，∴，， 在和中，，∴，∴， ∵，∴．故選B． 9．【答案】A 【解析】如圖，連接FC，則AF=FC． ∵AD∥BC，∴∠FAO=∠BCO． 在△FOA與△BOC中，，∴△FOA≌△BOC（ASA）， ∴AF=BC=

28、3，∴FC=AF=3，F(xiàn)D=AD-AF=4-3=1． 在△FDC中，∵∠D=90°，∴CD2+DF2=FC2，∴CD2+12=32，∴CD=2．故選A． 10．【答案】A 【解析】由題意知，，∵，∴， 在中，，故選A． 11．【答案】C 【解析】∵BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，∴∠ABD=∠EBD=∠ABC=，∠AFB=∠EFB=90°， ∴∠BAF=∠BEF=90°-17.5°，∴AB=BE，∴AF=EF，∴AD=ED，∴∠DAF=∠DEF， ∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，∴∠BED=∠BAD=95°，∴∠CDE=95°-50°=45°，故選C． 1

29、2．【答案】B 【解析】∵，∴，即， 在和中，，∴，∴，①正確； ∴，由三角形的外角性質(zhì)得：， ∴°，②正確； 作于，于，如圖所示： 則°， 在和中，，∴，∴，∴平分，④正確，正確的個數(shù)有3個，故選B． 13．【答案】70° 【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C， ∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=（180°-40°）=70°．故答案為：70°． 14．【答案】100 【解析】∵點D，E分別是AC，BC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴AB=2DE=2×50=100 m． 故答案為：100． 15．【答案】9 【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BAD

30、和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE， ∴BD=CE=9，故答案為：9． 16．【答案】70 【解析】∵∠ABC=90°，AB=AC，∴∠CBF=180°–∠ABC=90°，∠ACB=45°， 在Rt△ABE和Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠BCF=∠BAE=25°，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，故答案為：70． 17．【解析】∵，∴，， 在和中，， ∴， ∴． 18．【解析】∵FC∥AB， ∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F， 所以在△ADE與△CFE中，， ∴△ADE≌△CFE． 19．【解析】（1）∵AB=AC， ∴∠ECB=∠DBC， 在與中，， ∴≌． （2）由（1）≌， ∴∠DCB=∠EBC， ∴OB=OC．