《2020年中考數學基礎題型提分講練 專題20 以相似三角形為背景的證明與計算（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020年中考數學基礎題型提分講練 專題20 以相似三角形為背景的證明與計算（含解析）（32頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、專題20 以相似三角形為背景的證明與計算 考點分析 【例1】（2019·遼寧中考真題）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC邊上一點，連接AD，分別以CD和AD為直角邊作Rt△CDE和Rt△ADF，使∠DCE＝∠ADF＝90°，點E，F在BC下方，連接EF． （1）如圖1，當BC＝AC，CE＝CD，DF＝AD時， 求證：①∠CAD＝∠CDF， ②BD＝EF； （2）如圖2，當BC＝2AC，CE＝2CD，DF＝2AD時，猜想BD和EF之間的數量關系？并說明理由． 【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）BD＝EF，理由見解析. 【解析】 （1）證明：①∵∠AC

2、B＝90°， ∴∠CAD+∠ADC＝90°， ∵∠CDF+∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝∠CDF； ②作FH⊥BC交BC的延長線于H， 則四邊形FECH為矩形， ∴CH＝EF， 在△ACD和△DHF中， ， ， ， ， ，即， ； （2）， 理由如下：作交的延長線于， 則四邊形為矩形， ， ，， ， ，即，GF＝2CD， ∵BC＝2AC，CE＝2CD， ∴BC＝DG，GF＝CE， ∴BD＝CG， ∵GF∥CE，GF＝CE，∠G＝90°， ∴四邊形FECG為矩形， ∴CG＝EF， ∴BD＝EF． 【點睛】 此題考查相似三角形

3、的判定與性質，全等三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，解題關鍵在于作輔助線和掌握各判定定理. 【例2】 （2019·遼寧中考真題）如圖，中，，DE垂直平分AB，交線段BC于點E（點E與點C不重合），點F為AC上一點，點G為AB上一點（點G與點A不重合），且． （1）如圖1，當時，線段AG和CF的數量關系是　 　． （2）如圖2，當時，猜想線段AG和CF的數量關系，并加以證明． （3）若，，，請直接寫出CF的長． 【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）2.5或5 【解析】 解：（1）相等，理由：如圖1，連接AE， ∵DE垂直平分AB， ， ， ， ，

4、，， ， ， ， ， ， ， ； 故答案為：； （2）， 理由：如圖2，連接AE， ， ， ， ∵DE垂直平分AB， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ； （3）①當G在DA上時，如圖3，連接AE， ∵DE垂直平分AB， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 過A作于點H， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②當點G在BD上，如圖4，同（1）可得，， ， ， ， ， 綜上所述，CF的長為2.5或5． 【點睛】 本題考查了等腰三

5、角形的性質，線段垂直平分線的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵． 考點集訓 1．（2019·山東中考真題）如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點D，E分別是邊BC，AC的中點，連接DE，將△EDC繞點C按順時針方向旋轉，記旋轉角為α. （1）問題發(fā)現 ① 當時， ；② 當時， （2）拓展探究 試判斷：當0°≤α＜360°時，的大小有無變化？請僅就圖2的情況給出證明. （3）問題解決 當△EDC旋轉至A、D、E三點共線時，直接寫出線段BD的長. 【答案】（1）①

6、,②.（2）無變化；理由參見解析.（3），. 【解析】 （1）①當α=0°時， ∵Rt△ABC中，∠B=90°， ∴AC=， ∵點D、E分別是邊BC、AC的中點， ∴,BD=8÷2=4， ∴． ②如圖1， ， 當α=180°時， 可得AB∥DE， ∵， ∴ （2）如圖2， ， 當0°≤α＜360°時，的大小沒有變化， ∵∠ECD=∠ACB， ∴∠ECA=∠DCB， 又∵， ∴△ECA∽△DCB， ∴． （3）①如圖3， ， ∵AC=4，CD=4，CD⊥AD， ∴AD= ∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°， ∴四邊形ABCD是矩形， ∴

7、BD=AC=． ②如圖4，連接BD，過點D作AC的垂線交AC于點Q，過點B作AC的垂線交AC于點P， ， ∵AC=，CD=4，CD⊥AD， ∴AD=， ∵點D、E分別是邊BC、AC的中點， ∴DE==2， ∴AE=AD-DE=8-2=6， 由（2），可得 ， ∴BD=． 綜上所述，BD的長為或． 2．（2019·江蘇初三期末）如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E為AB的中點， （1）求證：AC2=AB?AD； （2）求證：CE∥AD； （3）若AD=4，AB=6，求的值． 【答案】（1）見解析（2）見解析（3）． 【解析

8、】 解：（1）證明：∵AC平分∠DAB ∴∠DAC=∠CAB． ∵∠ADC=∠ACB=90° ∴△ADC∽△ACB． ∴ 即AC2=AB?AD． （2）證明：∵E為AB的中點 ∴CE=AB=AE ∴∠EAC=∠ECA． ∵∠DAC=∠CAB ∴∠DAC=∠ECA ∴CE∥AD． （3）∵CE∥AD ∴△AFD∽△CFE ∴． ∵CE=AB ∴CE=×6=3． ∵AD=4 ∴ ∴． 3．（2019·四川中考真題）如圖，，DB平分∠ADC，過點B作交AD于M．連接CM交DB于N． （1）求證：；（2）若，求MN的長． 【答案】（1）見解析；（2）.

9、 【解析】 證明：（1）∵DB平分， ，且， （2） ，且 ，且， ， 且 【點睛】 考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理，直角三角形的性質，求MC的長度是本題的關鍵． 4．（2019·江蘇泰州中學附屬初中初三月考）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．動點M從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒3cm的速度向定點A運動，同時動點N從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒2cm的速度向點B運動，運動時間為t秒（0＜t＜），連接MN． （1）若△BMN與△ABC相似，求t的值； （2）連接AN，CM，若AN⊥

10、CM，求t的值． 【答案】（1）△BMN與△ABC相似時，t的值為或；（2）t= 【解析】 （1）由題意知，BM=3tcm，CN=2tcm，∴BN=（8﹣2t）cm，BA==10（cm），當△BMN∽△BAC時，，∴，解得：t=； 當△BMN∽△BCA時，，∴，解得：t=， ∴△BMN與△ABC相似時，t的值為或； （2）過點M作MD⊥CB于點D，由題意得：DM=BMsinB==（cm），BD=BMcosB==（cm），BM=3tcm，CN=2tcm，∴CD=（）cm，∵AN⊥CM，∠ACB=90°，∴∠CAN+∠ACM=90°，∠MCD+∠ACM=90°，∴∠CAN=∠MCD

11、，∵MD⊥CB，∴∠MDC=∠ACB=90°，∴△CAN∽△DCM，∴，∴，解得t=． 考點：1．相似三角形的判定與性質；2．解直角三角形；3．動點型；4．分類討論；5．綜合題；6．壓軸題． 5．（2019·湖北中考真題）在中，，，是上一點，連接 （1）如圖1，若，是延長線上一點，與垂直，求證： （2）過點作，為垂足，連接并延長交于點. ①如圖2，若，求證： ②如圖3，若是的中點，直接寫出的值（用含的式子表示） 【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；② 【解析】 (1)延長交于點， ∵與垂直，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，

12、∴； (2)①過點作交的延長線于點， ∵，∴與垂直， 由(1)，得， ∵， ∴，即； ②過點C作CD//BP交AB的延長線于點D，延長AM交CD于點H， ∴∠PCH=∠BPQ， ∵，∴⊥， ∴∠BPM=∠CHM=90°， 又∵∠BMP=∠CMH，BM=CM， ∴△BPM≌△CHM， ∴BP=CH，PM=HM， ∴PH=2PM， ∵∠PMB=∠BMA，∠ABM=∠BPM=90°， ∴△ABM∽△BPM， ∴， 在Rt△PCH中，tan∠PCH=， ∴tan∠BPQ=， 又∵BC=2BM，， ∴tan∠BPQ=. 【點睛】 本題考查了全等三角形

13、的判定與性質，相似三角形的判定與性質，三角函數，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵.注意數形結合思想的運用. 6．（2019·遼寧初三期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，點P、D分別是BC、AC邊上的點，且∠APD=∠B, （1）求證：AC?CD=CP?BP； （2）若AB=10，BC=12，當PD∥AB時，求BP的長． 【答案】（1）證明見解析；（2）. 【解析】 解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C． ∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C． ∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC， ∴∠BAP=∠DPC， ∴△ABP∽△

14、PCD， ∴， ∴AB?CD=CP?BP． ∵AB=AC， ∴AC?CD=CP?BP； （2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP． ∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C． ∵∠B=∠B， ∴△BAP∽△BCA， ∴． ∵AB=10，BC=12， ∴， ∴BP=． “點睛”本題主要考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、平行線的性質、三角形外角的性質等知識，把證明AC?CD=CP?BP轉化為證明AB?CD=CP?BP是解決第（1）小題的關鍵，證到∠BAP=∠C進而得到△BAP∽△BCA是解決第（2）小題的關鍵． 7．（2019·山西初三期末）如圖，△ABC和

15、△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點P為射線BD，CE的交點． （1）求證：BD=CE； （2）若AB=2，AD=1，把△ADE繞點A旋轉，當∠EAC=90°時，求PB的長； 【答案】（1）證明見解析；（2）PB的長為或． 【解析】 解：（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°， ∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE， ∴△ADB≌△AEC， ∴BD=CE． （2）解：①當點E在AB上時，BE=AB﹣AE=1． ∵∠EAC=90°， ∴CE==． 同（1）可證△ADB≌△AEC， ∴∠DBA

16、=∠ECA． ∵∠PEB=∠AEC， ∴△PEB∽△AEC， ∴， ∴， ∴PB=． ②當點E在BA延長線上時，BE=3． ∵∠EAC=90°， ∴CE==． 同（1）可證△ADB≌△AEC， ∴∠DBA=∠ECA． ∵∠BEP=∠CEA， ∴△PEB∽△AEC， ∴， ∴， ∴PB=． 綜上所述，PB的長為或． 【點睛】 本題主要考查的是旋轉的性質、等腰三角形的性質、全等三角形的性質和判定、相似三角形的性質和判定，證明得△PEB∽△AEC是解題的關鍵． 8．（2019·山東初三）如圖①，在四邊形ABCD中，AC⊥BD于點E，AB=AC=BD，點M為B

17、C中點，N為線段AM上的點，且MB=MN. （1）求證：BN平分∠ABE； （2）若BD=1，連結DN，當四邊形DNBC為平行四邊形時，求線段BC的長； （3）如圖②，若點F為AB的中點，連結FN、FM，求證：△MFN∽△BDC． 【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析. 【解析】 （1）∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵M為BC的中點， ∴AM⊥BC， 在Rt△ABM中，∠MAB+∠ABC=90°， 在Rt△CBE中，∠EBC+∠ACB=90°， ∴∠MAB=∠EBC， 又∵MB=MN， ∴△MBN為等腰直角三角形， ∴

18、∠MNB=∠MBN=45°， ∴∠EBC+∠NBE=45°，∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°， ∴∠NBE=∠ABN，即BN平分∠ABE； （2）設BM=CM=MN=a， ∵四邊形DNBC是平行四邊形， ∴DN=BC=2a， 在△ABN和△DBN中， ∵， ∴△ABN≌△DBN（SAS）， ∴AN=DN=2a， 在Rt△ABM中，由AM2+MB2=AB2可得（2a+a）2+a2=1， 解得：a=±（負值舍去）， ∴BC=2a=； （3）∵F是AB的中點， ∴在Rt△MAB中，MF=AF=BF， ∴∠MAB=∠FMN， 又∵∠MAB=∠CBD， ∴∠FMN=

19、∠CBD， ∵， ∴， ∴△MFN∽△BDC． 點睛：本題主要考查相似形的綜合問題，解題的關鍵是掌握等腰三角形三線合一的性質、直角三角形和平行四邊形的性質及全等三角形與相似三角形的判定與性質等知識點． 9．（2019·河南中考真題）在，，．點P是平面內不與點A，C重合的任意一點．連接AP，將線段AP繞點P逆時針旋轉α得到線段DP，連接AD，BD，CP． （1）觀察猜想 如圖1，當時，的值是　 　，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數是　 ?。? （2）類比探究 如圖2，當時，請寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數，并就圖2的情形說明理由． （3）解決問

20、題 當時，若點E，F分別是CA，CB的中點，點P在直線EF上，請直接寫出點C，P，D在同一直線上時的值． 【答案】（1）1，（2）45°（3）， 【解析】 解：（1）如圖1中，延長CP交BD的延長線于E，設AB交EC于點O． ， ， ，， ， ，， ， ， ，線BD與直線CP相交所成的較小角的度數是， 故答案為1，． （2）如圖2中，設BD交AC于點O，BD交PC于點E． ， ， ， ， ，， ， ， 直線BD與直線CP相交所成的小角的度數為． （3）如圖3﹣1中，當點D在線段PC上時，延長AD交BC的延長線于H． ，， ，

21、， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， A，D，C，B四點共圓， ，， ， ，設，則，， c． 如圖3﹣2中，當點P在線段CD上時，同法可證：，設，則，， ， ． 【點睛】 本題屬于相似形綜合題，考查了旋轉變換，等邊三角形的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題． 10．（2019·山東初三期中）如圖1，在四邊形ABCD中，點E、F分別是AB、CD的中點，過點E作AB的垂線，過點F

22、作CD的垂線，兩垂線交于點G，連接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC． （1）求證：AD＝BC； （2）求證：△AGD∽△EGF； （3）如圖2，若AD、BC所在直線互相垂直，求的值． 【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3） 【解析】 （1）∵GE是AB的垂直平分線，∴GA=GB．同理GD=GC． 在△AGD和△BGC中，∵GA=GB，∠AGD=∠BGC，GD=GC， ∴△AGD≌△BGC．∴AD=BC． （2）∵∠AGD=∠BGC， ∴∠AGB=∠DGC． 在△AGB和△DGC中，，∠AGB=∠DGC， ∴△AGB∽△DGC． ∴，又∠AGE=∠DGF，

23、∴∠AGD=∠EGF，∴△AGD∽△EGF． （3）如圖，延長AD交GB于點M，交BC的延長線于點H，則AH⊥BH． 由△AGD≌△BGC，知∠GAD=∠GBC， 在△GAM和△HBM中，∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB． ∴∠AGB=∠AHB=90°， ∴∠AGE=∠AGB=45°， ∴ 又△AGD∽△EGF， ∴ 11．（2019·溫江中學實驗學校初三期中）如圖①，△ABC與△CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一條直線上，點M、N分別是斜邊AB、DE的中點，點P為AD的中點，連接AE、BD． （1）猜想PM與PN的數量關系及位置關系，請直接寫出結

24、論； （2）現將圖①中的△CDE繞著點C順時針旋轉α（0°＜α＜90°），得到圖②，AE與MP、BD分別交于點G、H．請判斷（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由； （3）若圖②中的等腰直角三角形變成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如圖③，寫出PM與PN的數量關系，并加以證明． 【答案】（1）PM=PN，PM⊥PN，理由見解析；（2）理由見解析；（3）PM=kPN；理由見解析 【解析】 （1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下： ∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形， ∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°． 在△ACE和△BCD中

25、， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE=BD，∠EAC=∠CBD， ∵點M、N分別是斜邊AB、DE的中點，點P為AD的中點， ∴PM=BD，PN=AE， ∴PM=PM， ∵∠NPD=∠EAC，∠MPN=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°， ∴∠MPA+∠NPC=90°， ∴∠MPN=90°， 即PM⊥PN； （2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形， ∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°． ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE． ∴∠ACE=∠BCD． ∴△ACE≌△BCD． ∴AE=BD，∠CAE=∠CBD． 又∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠

26、CBD， ∴∠BHO=∠ACO=90°． ∵點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點， ∴PM=BD，PM∥BD； PN=AE，PN∥AE． ∴PM=PN． ∴∠MGE+∠BHA=180°． ∴∠MGE=90°． ∴∠MPN=90°． ∴PM⊥PN． （3）PM=kPN ∵△ACB和△ECD是直角三角形， ∴∠ACB=∠ECD=90°． ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE． ∴∠ACE=∠BCD． ∵BC=kAC，CD=kCE， ∴=k． ∴△BCD∽△ACE． ∴BD=kAE．

27、 ∵點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點， ∴PM=BD，PN=AE． ∴PM=kPN． 考點：相似形綜合題． 12．（2019·山東初三期中）（提出問題） （1）如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結CN．求證：∠ABC=∠ACN． （類比探究） （2）如圖2，在等邊△ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，（1）中結論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由． （拓展延伸） （3）如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為

28、邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結CN．試探究∠ABC與∠ACN的數量關系，并說明理由． 【答案】見解析 【解析】 解：（1）證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°． ∴∠BAM=∠CAN． ∵在△BAM和△CAN中，， ∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN． （2）結論∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下： ∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°． ∴∠BAM=∠CAN． ∵在△BAM和△CAN中，， ∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠

29、ABC=∠ACN． （3）∠ABC=∠ACN．理由如下： ∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN，∴底角∠BAC=∠MAN． ∴△ABC∽△AMN．∴． 又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM=∠CAN. ∴△BAM∽△CAN．∴∠ABC=∠ACN． 13．（2019·福建省莆田擢英中學初三月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點P為AC邊上的一點，將線段AP繞點A順時針方向旋轉（點P對應點P′），當AP旋轉至AP′⊥AB時，點B、P、P′恰好在同一直線上，此時作P′E⊥AC于點E （1）求證：∠CBP=∠ABP； （2）

30、求證：AE=CP； （3）當，BP′=時，求線段AB的長． 【解析】 （1）證明：∵AP′是AP旋轉得到， ∴AP=AP′， ∴∠APP′=∠AP′P， ∵∠C=90°，AP′⊥AB， ∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°， 又∵∠BPC=∠APP′， ∴∠CBP=∠ABP； （2）證明：如圖，過點P作PD⊥AB于D， ∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°， ∴CP=DP， ∵P′E⊥AC， ∴∠EAP′+∠AP′E=90°， 又∵∠PAD+∠EAP′=90°， ∴∠PAD=∠AP′E， 在△APD和△P′AE中， ， ∴△APD≌

31、△P′AE（AAS）， ∴AE=DP， ∴AE=CP； （3）解：∵， ∴設CP=3k，PE=2k， 則AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k， 在Rt△AEP′中，P′E==4k， ∵∠C=90°，P′E⊥AC， ∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠EPP′=90°， ∵∠BPC=∠EPP′， ∴∠CBP=∠EP′P， 又∵∠CBP=∠ABP，∴∠ABP=∠EP′P， 又∵∠BAP′=∠P′EP=90°， ∴△ABP′∽△EPP′， ∴， 即， 解得P′A=AB， 在Rt△ABP′中，AB2+P′A2=BP′2， 即AB2+AB2=（5）

32、2， 解得AB=10． 考點：1.全等三角形的判定與性質；2.角平分線的性質；3.勾股定理；4.相似三角形的判定與性質． 14．（2019·遼寧中考真題）如圖1，在中，，，點M是AB的中點，連接MC，點P是線段BC延長線上一點，且，連接MP交AC于點H．將射線MP繞點M逆時針旋轉交線段CA的延長線于點D． （1）找出與相等的角，并說明理由． （2）如圖2，，求的值． （3）在（2）的條件下，若，求線段AB的長． 【答案】（1）；理由見解析；（2）；（3）. 【解析】 （1）． 理由如下：∵，， ∴． ∴． 由旋轉的性質知，． ∴； （2）如圖，過點C作交M

33、P于點G． ∴，． ∵，點M是AB的中點， ∴． ∴． ∴． ∵． ∴． ∵， ∴． 在與中， ∴． ∴． ∵． ∴． ∵， ∴． ∴． 設，則，． 在中，． ∴． ∴； （3）如圖，由（2）知．則． ∵． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 由（2）知，，則． ∴，． ∵，． ∴． ∴． ∴，即． 解得，（舍去）． ∴． 【點睛】 考查了幾何變換綜合題．解題的關鍵是掌握全等三角形的判定（ASA）與性質，旋轉的性質，直角三角形的性質，相似三角形的判定與性質等知識點，解題過程中，注意方程思想在求相關線段長度時的靈活運用．