第9講　不等式(組)及其應(yīng)用 1．不等式的基本性質(zhì) 性質(zhì)1：不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，不等號方向不改變；如果a＞b，那么a±c>b±c； 性質(zhì)2：不等式兩邊乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號方向不改變；如果a＞b，c＞0，那么ac>bc，>； 性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號方向改變；如果a＞b，c＜0，那么ac<bc，< . 2．一元一次不等式 (1)定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，且不等式左右兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式． (2)解一元一次不等式的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1(注意不等號方向是否改變)． (3)解集在數(shù)軸上表示： ①畫數(shù)軸?、诙ㄟ吔纭、鄱ǚ较? x＞a　 x＜a　 x≥a　 x≤a　 3.一元一次不等式組 (1)定義：一般地，關(guān)于同一個未知數(shù)的幾個不等式聯(lián)立在一起，就組成了一個一元一次不等式組． (2)一元一次不等式組的解集：組成一元一次不等式組的幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集． 注意：不等式的解可以是一個或多個數(shù)值，而不等式組的解集是包含所有使不等式成立的解的集合． (3)解一元一次不等式組的步驟：①分別解每個一元一次不等式；②在數(shù)軸上表示各不等式的解集；③確定各不等式解集的公共部分；④得到不等式組的解集； (4)幾種常見的不等式組的解集(a>b，且a、b為常數(shù))： 不等式 組(a>b) 圖示 解集 口訣 x≥a 同大取大 x≤b 同小取小 a≤x≤b 大小、小大 中間找 無解 小小、大大 找不到 4.一元一次不等式的應(yīng)用 (1)列不等式解應(yīng)用題的基本步驟： ①審題；②設(shè)元；③找出能夠包含未知數(shù)的不等量關(guān)系；④列出不等式；⑤解不等式；⑥在不等式的解中找出符合題意的未知數(shù)的值；⑦寫出答案． (2)列不等式解應(yīng)用題涉及的題型常與方案設(shè)計型問題相聯(lián)系，如最大利潤、最優(yōu)方案等，一般所求問題中有“至少(≥)”、“最多(≤)”、“不低于(≥)”、“超過(＞)”、“不大于(≤)”等詞，要正確理解這些詞的含義． 考點1：解一元一次不等式 【例題1】（2018廣西桂林）（6.00分）解不等式＜x+1，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來． 【解析】：去分母，得：5x﹣1＜3x+3， 移項，得：5x﹣3x＜3+1， 合并同類項，得：2x＜4， 系數(shù)化為1，得：x＜2， 將不等式的解集表示在數(shù)軸上如下： 歸納：1. 本題主要考查解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是掌握解不等式的步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數(shù)為1；2．將不等式(組)的解集直觀地表示在數(shù)軸上，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想；3．在畫圖時，先確定邊界點，解集包含邊界點，則邊界點是實心圓點；解集不包含邊界點，則邊界點是空心圓圈，再確定方向(大向右，小向左)． 考點2：解一元一次不等式組 【例題2】(2018·自貢)解不等式組并在數(shù)軸上表示其解集． 【解答】解：解不等式①，得x≤2. 解不等式②，得x＞1. ∴不等式組的解集為1＜x≤2. 將其表示在數(shù)軸上，如圖所示． 歸納：在數(shù)軸上表示解集時，大于號向右，小于號向左，有等號的用實心圓點，無等號的用空心圓圈． (1)在解不等式的過程注意不等式性質(zhì)3的使用，即給不等式兩邊同時乘以(或除以)一個負數(shù)，不等號要改變方向；(2)求不等式組的整數(shù)解時，“實心”點所表示的實數(shù)如果是整數(shù)，則該點也是所求整數(shù)解，如果不是整數(shù)，要從離該點最近的整數(shù)點開始算起；“空心”點所在的實數(shù)如果是整數(shù)，則該點不是整數(shù)解，如果不是整數(shù)，則要從解集中離該點最近的整數(shù)點開始算起． 考點3：一元一次不等式的實際應(yīng)用 【例題3】（2019湖南益陽10分）為了提高農(nóng)田利用效益，某地由每年種植雙季稻改為先養(yǎng)殖小龍蝦再種植一季水稻的“蝦?稻”輪作模式．某農(nóng)戶有農(nóng)田20畝，去年開始實施“蝦?稻”輪作，去年出售小龍蝦每千克獲得的利潤為32元（利潤＝售價﹣成本）．由于開發(fā)成本下降和市場供求關(guān)系變化，今年每千克小龍蝦的養(yǎng)殖成本下降25%，售價下降10%，出售小龍蝦每千克獲得利潤為30元． （1）求去年每千克小龍蝦的養(yǎng)殖成本與售價； （2）該農(nóng)戶今年每畝農(nóng)田收獲小龍蝦100千克，若今年的水稻種植成本為600元/畝，稻谷售價為25元/千克，該農(nóng)戶估計今年可獲得“蝦?稻”輪作收入不少于8萬元，則稻谷的畝產(chǎn)量至少會達到多少千克？ 【分析】（1）設(shè)去年每千克小龍蝦的養(yǎng)殖成本與售價分別為x元、y元，由題意列出方程組，解方程組即可； （2）設(shè)今年稻谷的畝產(chǎn)量為z千克，由題意列出不等式，就不等式即可． 【解答】解：（1）設(shè)去年每千克小龍蝦的養(yǎng)殖成本與售價分別為x元、y元， 由題意得：， 解得：； 答：去年每千克小龍蝦的養(yǎng)殖成本與售價分別為8元、40元； （2）設(shè)今年稻谷的畝產(chǎn)量為z千克， 由題意得：20×100×30+20×2.5z﹣20×600≥80000， 解得：z≥640； 答：稻谷的畝產(chǎn)量至少會達到640千克． 歸納：本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用；根據(jù)題意列出方程組或不等式是解題的關(guān)鍵．歸納總結(jié)：1.利用不等式(組)解決實際問題，關(guān)鍵是要抓住題目中表示不等關(guān)系的語句，列出不等式，問題的答案不僅要根據(jù)解集，還要根據(jù)使實際問題有意義確定．2．在利用不等式組解決實際問題中的方案選擇、優(yōu)化設(shè)計以及最大利潤等問題時，為防止漏解和便于比較，我們常用分類討論的思想方法，對方案的優(yōu)劣進行探討． 考點4：一元一次不等式與其它知識的綜合應(yīng)用 【例題4】(2018·河北中考預(yù)測)如圖，在數(shù)軸上有A，B，C，D四點，點A對應(yīng)的數(shù)為a，點B對應(yīng)的數(shù)為3，點D對應(yīng)的數(shù)為t，若CD＝4，且在數(shù)軸上移動． (1)若2AB表示的數(shù)始終位于點A的左側(cè)，求a的取值范圍，并把解集表示在數(shù)軸上； (2)當t為何值，且是整數(shù)時，點B落在C，D兩點之間． 【解析】：(1)∵AB＝3－a，2AB表示的數(shù)始終位于點A的左側(cè)， ∴2(3－a)<a，解得a>2. ∵a<3， ∴a的取值范圍為2<a<3. 在數(shù)軸上表示如圖． (2)∵CD＝4，且當點B落在C，D兩點之間， ∴解得3<t<7. ∵t是整數(shù)， ∴t可以取4，5或6. 一、選擇題： 1. (2019甘肅省隴南市)（3分）不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（　?。? A．x≤3 B．x≤﹣3 C．x≥3 D．x≥﹣3 【答案】A 【解答】解：去括號，得2x+9≥3x+6， 移項，合并得﹣x≥﹣3 系數(shù)化為1，得x≤3； 故選：A． 2. （2018?湖北荊門?3分）已知關(guān)于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整數(shù)解為2，則實數(shù)m的取值范圍是（　?。? A．4≤m＜7 B．4＜m＜7 C．4≤m≤7 D．4＜m≤7 【答案】A 【解答】解：解不等式3x﹣m+1＞0，得：x＞， ∵不等式有最小整數(shù)解2， ∴1≤＜2， 解得：4≤m＜7， 故選：A． 3. （2018?山東濱州?3分）把不等式組中每個不等式的解集在同一條數(shù)軸上表示出來，正確的為（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：解不等式x+1≥3，得：x≥2， 解不等式﹣2x﹣6＞﹣4，得：x＜﹣1， 將兩不等式解集表示在數(shù)軸上如下： 故選：B． 4. （2019?湖南懷化?4分）為了落實精準扶貧政策，某單位針對某山區(qū)貧困村的實際情況，特向該村提供優(yōu)質(zhì)種羊若干只．在準備配發(fā)的過程中發(fā)現(xiàn)：公羊剛好每戶1只；若每戶發(fā)放母羊5只，則多出17只母羊，若每戶發(fā)放母羊7只，則有一戶可分得母羊但不足3只．這批種羊共（　　）只． A．55 B．72 C．83 D．89 【答案】C 【解答】解：設(shè)該村共有x戶，則母羊共有（5x+17）只， 由題意知， 解得：＜x＜12， ∵x為整數(shù)， ∴x＝11， 則這批種羊共有11+5×11+17＝83（只）， 故選：C． 5. 2018·臺灣·分）如圖的宣傳單為菜克印刷公司設(shè)計與印刷卡片計價方式的說明，妮娜打算請此印刷公司設(shè)計一款母親節(jié)卡片并印刷，她再將卡片以每張15元的價格販售．若利潤等于收入扣掉成本，且成本只考慮設(shè)計費與印刷費，則她至少需印多少張卡片，才可使得卡片全數(shù)售出后的利潤超過成本的2成？（　?。? A．112 B．121 C．134 D．143 【答案】C 【解答】解：設(shè)妮娜需印x張卡片， 根據(jù)題意得：15x﹣1000﹣5x＞0.2（1000+5x）， 解得：x＞133， ∵x為整數(shù)， ∴x≥134． 答：妮娜至少需印134張卡片，才可使得卡片全數(shù)售出后的利潤超過成本的2成． 故選：C． 二、填空題： 6. （2018?江蘇揚州?3分）不等式組的解集為　 ?。? 【答案】﹣3＜x≤． 【解答】解：解不等式3x+1≥5x，得：x≤， 解不等式＞﹣2，得：x＞﹣3， 則不等式組的解集為﹣3＜x≤， 故答案為：﹣3＜x≤． 7. （2019?貴州省銅仁市?4分）如果不等式組的解集是x＜a﹣4，則a的取值范圍是　 ?。? 【答案】a≥﹣3． 【解答】解：解這個不等式組為x＜a﹣4， 則3a+2≥a﹣4， 解這個不等式得a≥﹣3 8. （2017山東煙臺）運行程序如圖所示，從“輸入實數(shù)x”到“結(jié)果是否＜18”為一次程序操作， 若輸入x后程序操作僅進行了一次就停止，則x的取值范圍是　 　． 【答案】：x＜8． 【解答】解：依題意得：3x﹣6＜18， 解得x＜8． 故答案是：x＜8． 三、解答題： 9. 解不等式組，并求出其最小整數(shù)解． 解：令：， 解不等式①得x>－2， 解不等式②得－x≥1，不等式兩邊同乘以－得x≤－.∴原不等式組的解集為－2<x≤－. ∴原不等式組的最小整數(shù)解是－1 10. 甲、乙兩人準備整理一批新到的實驗器材．若甲單獨整理需要40分鐘完工；若甲、乙共同整理20分鐘后，乙需再單獨整理20分鐘才能完工． (1)問乙單獨整理多少分鐘完工？ (2)若乙因工作需要，他的整理時間不超過30分鐘，則甲至少整理多少分鐘才能完工？ 【解析】：(1)設(shè)乙單獨整理x分鐘完工，根據(jù)題意，得 ＋＝1.解得x＝80. 經(jīng)檢驗，x＝80是原分式方程的解，且符合題意． 答：乙單獨整理80分鐘完工． (2)設(shè)甲整理y分鐘，根據(jù)題意，得 ＋≥1.解得y≥25. 答：甲至少整理25分鐘才能完工. 11. (2018·唐山豐潤區(qū)一模)小明解不等式－≤1的過程如圖．請指出他解答過程中錯誤步驟的序號，并寫出正確的解答過程． 解：去分母，得3(1＋x)－2(2x＋1)≤1.① 去括號，得3＋3x－4x＋1≤1.② 移項，得3x－4x≤1－3－1.③ 合并同類項，得－x≤－3.④ 兩邊都除以－1，得x≤3.⑤ 【解析】：錯誤的是①②⑤，正確解答過程如下： 去分母，得3(1＋x)－2(2x＋1)≤6. 去括號，得3＋3x－4x－2≤6. 移項，得3x－4x≤6－3＋2. 合并同類項，得－x≤5. 兩邊都除以－1，得x≥－5. 12. （2019?四川省涼山州?10分）根據(jù)有理數(shù)乘法（除法）法則可知： ①若ab＞0（或＞0），則或； ②若ab＜0（或＜0），則或． 根據(jù)上述知識，求不等式（x﹣2）（x+3）＞0的解集 解：原不等式可化為：（1）或（2）． 由（1）得，x＞2， 由（2）得，x＜﹣3， ∴原不等式的解集為：x＜﹣3或x＞2． 請你運用所學(xué)知識，結(jié)合上述材料解答下列問題： （1）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集為　﹣1＜x＜3?。? （2）求不等式＜0的解集（要求寫出解答過程） 【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)乘法運算法則可得不等式組，仿照有理數(shù)乘法運算法則得出兩個不等式組，分別求解可得． （2）根據(jù)有理數(shù)除法運算法則可得不等式組，仿照有理數(shù)除法運算法則得出兩個不等式組，分別求解可得． 【解答】解：（1）原不等式可化為：①或②． 由①得，空集， 由②得，﹣1＜x＜3， ∴原不等式的解集為：﹣1＜x＜3， 故答案為：﹣1＜x＜3． （2）由＜0知①或②， 解不等式組①，得：x＞1； 解不等式組②，得：x＜﹣4； 所以不等式＜0的解集為x＞1或x＜﹣4． 13. (2018·郴州)郴州市正在創(chuàng)建“全國文明城市”，某校擬舉辦“創(chuàng)文知識”搶答賽，欲購買A、B兩種獎品以鼓勵搶答者．如果購買A種20件，B種15件，共需380元；如果購買A種15件，B種10件，共需280元． (1)A、B兩種獎品每件各多少元？ (2)現(xiàn)要購買A、B兩種獎品共100件，總費用不超過900元，那么A種獎品最多購買多少件？ 【分析】　(1)設(shè)A種獎品每件x元，B種獎品每件y元，根據(jù)“如果購買A種20件，B種15件，共需380元；如果購買A種15件，B種10件，共需280元”，列方程組求解可得；(2)設(shè)A種獎品購買a件，則B種獎品購買(100－a)件，根據(jù)總價＝單價×購買數(shù)量結(jié)合總費用不超過900元列不等式，解之取其中最大的整數(shù)即可得出結(jié)論． 【解答】　解：(1)設(shè)A種獎品每件x元，B種獎品每件y元，根據(jù)題意，得 解得 答：A種獎品每件16元，B種獎品每件4元． (2)設(shè)A種獎品購買a件，則B種獎品購買(100－a)件，根據(jù)題意，得 16a＋4(100－a)≤900.解得a≤. ∵a為整數(shù)，∴a≤41. 答：A種獎品最多購買41件． 14. （2019?山東省聊城市?8分）某商場的運動服裝專柜，對A，B兩種品牌的運動服分兩次采購試銷后，效益可觀，計劃繼續(xù)采購進行銷售．已知這兩種服裝過去兩次的進貨情況如下表： 第一次 第二次 A品牌運動服裝數(shù)/件 20 30 B品牌運動服裝數(shù)/件 30 40 累計采購款/元 10200 14400 （1）問A，B兩種品牌運動服的進貨單價各是多少元？ （2）由于B品牌運動服的銷量明顯好于A品牌，商家決定采購B品牌的件數(shù)比A品牌件數(shù)的倍多5件，在采購總價不超過21300元的情況下，最多能購進多少件B品牌運動服？ 【分析】（1）直接利用兩次采購的總費用得出等式進而得出答案； （2）利用采購B品牌的件數(shù)比A品牌件數(shù)的倍多5件，在采購總價不超過21300元，進而得出不等式求出答案． 【解答】解：（1）設(shè)A，B兩種品牌運動服的進貨單價各是x元和y元，根據(jù)題意可得： ， 解得：， 答：A，B兩種品牌運動服的進貨單價各是240元和180元； （2）設(shè)購進A品牌運動服m件，購進B品牌運動服（m+5）件， 則240m+180（m+5）≤21300， 解得：m≤40， 經(jīng)檢驗，不等式的解符合題意， ∴m+5≤×40+5＝65， 答：最多能購進65件B品牌運動服． 11