第7講　一元二次方程及其應(yīng)用 1．定義 只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程叫做一元二次方程．通?？蓪懗扇缦碌囊话阈问剑篴x2＋bx＋c＝0，其中a、b、c分別叫做二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項． 2．解法 (1)直接開平方法：方程符合x2＝m(m≥0)或(x±m)2＝n(n≥0)的形式； (2)配方法：①二次項系數(shù)化為1；②移項；③配方：方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方；④原方程寫成a(x＋h)2＝k的形式；⑤當k≥0時，直接開平方求解； (3)公式法：①化為一般形式；②確定a，b，c的值；③求出b2－4ac的值；④當b2－4ac≥0時，將a，b，c的值代入得x＝； (4)因式分解法：①將方程右邊化為0；②將方程左邊進行因式分解；③令每個因式為零，得兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，得原方程的兩個根． 3．一元二次方程的根的判別式 對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其根的判別式為b2－4ac(或記為“Δ”)． (1)b2－4ac＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根； (2)b2－4ac＝0?方程有兩個相等的實數(shù)根； (3)b2－4ac＜0?方程沒有實數(shù)根； (4)b2－4ac≥0?方程有實數(shù)根． 4．一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根分別為x1，x2，則有x1＋x2＝－，x1x2＝． 5．一元二次方程的實際應(yīng)用常見類型及關(guān)系 (1)增長率問題：設(shè)a為原來量，m為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量，則a(1＋m)n＝b；當m為平均下降率時，n為下降次數(shù)，b為下降后的量，則有a(1－m)n＝b. (2)幾何圖形問題： ①面積問題：S長方形＝ab(a，b分別表示長和寬)； S正方形＝a2(a表示邊長)； S圓＝πr2(r表示圓的半徑)； ②體積問題：V長方體＝abh(a、b、h分別表示長、寬、高)； V正方體＝a3(a表示邊長)； V圓錐＝πr2h(r表示底面圓的半徑，h表示高)； 考點1：一元二次方程的解法 【例題1】嘉淇同學(xué)用配方法推導(dǎo)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式時，對于b2－4ac＞0的情況，她是這樣做的：由于a≠0，方程ax2＋bx＋c＝0變形為： x2＋x＝－，……第一步 x2＋x＋()2＝－＋()2，……第二步 (x＋)2＝，……第三步 x＋＝(b2－4ac＞0)，……第四步 x＝.……第五步 (1)嘉淇的解法從第四步開始出現(xiàn)錯誤；事實上，當b2－4ac＞0時，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是x＝； (2)用配方法解方程：x2－2x－24＝0. 解：x2－2x＝24， x2－2x＋1＝24＋1， (x－1)2＝25， x－1＝±5， x＝1±5， ∴x1＝－4，x2＝6. 歸納：一元二次方程有四種解法：因式分解法、直接開平方法、配方法和公式法． (1)若一元二次方程缺少常數(shù)項，且方程的右邊為0，可考慮用因式分解法求解； (2)若一元二次方程可分解因式或缺少一次項，可考慮用因式分解法或直接開平方法求解； (3)若一元二次方程的二次項系數(shù)為1，且一次項的系數(shù)是偶數(shù)時或常數(shù)項非常大時，可考慮用配方法求解； (4)若用以上三種方法都不容易求解時，可考慮用公式法求解． 考點2：一元二次方程的實際應(yīng)用 【例題2】(2019?湖北宜昌?10分)HW公司2018年使用自主研發(fā)生產(chǎn)的“QL”系列甲、乙、丙三類芯片共2800萬塊，生產(chǎn)了2800萬部手機，其中乙類芯片的產(chǎn)量是甲類芯片的2倍，丙類芯片的產(chǎn)量比甲、乙兩類芯片產(chǎn)量的和還多400萬塊．這些“QL”芯片解決了該公司2018年生產(chǎn)的全部手機所需芯片的10%． (1)求2018年甲類芯片的產(chǎn)量； (2)HW公司計劃2020年生產(chǎn)的手機全部使用自主研發(fā)的“QL”系列芯片．從2019年起逐年擴大“QL”芯片的產(chǎn)量，2019年、2020年這兩年，甲類芯片每年的產(chǎn)量都比前一年增長一個相同的百分數(shù)m%，乙類芯片的產(chǎn)量平均每年增長的百分數(shù)比m%小1，丙類芯片的產(chǎn)量每年按相同的數(shù)量遞增.2018年到2020年，丙類芯片三年的總產(chǎn)量達到1.44億塊．這樣，2020年的HW公司的手機產(chǎn)量比2018年全年的手機產(chǎn)量多10%，求丙類芯片2020年的產(chǎn)量及m的值． 【考點】一元二次方程應(yīng)用題． 【分析】(1)設(shè)2018年甲類芯片的產(chǎn)量為x萬塊，由題意列出方程，解方程即可； (2)2018年萬塊丙類芯片的產(chǎn)量為3x+400＝1600萬塊，設(shè)丙類芯片的產(chǎn)量每年增加的熟練為y萬塊，則1600+1600+y+1600+2y＝14400，解得：y＝3200，得出丙類芯片2020年的產(chǎn)量為1600+2×3200＝8000萬塊，2018年HW公司手機產(chǎn)量為2800÷10%＝28000萬部，由題意得出400(1+m%)2+2×400(1+m%﹣1)2+8000＝28000×(1+10%)，設(shè)m%＝t，化簡得：3t2+2t﹣56＝0，解得：t＝4，或t＝﹣（舍去），即可得出答案． 【解答】解：(1)設(shè)2018年甲類芯片的產(chǎn)量為x萬塊， 由題意得：x+2x+（x+2x）+400＝2800，解得：x＝400， 答：2018年甲類芯片的產(chǎn)量為400萬塊； (2)2018年萬塊丙類芯片的產(chǎn)量為3x+400＝1600萬塊， 設(shè)丙類芯片的產(chǎn)量每年增加的數(shù)量為y萬塊， 則1600+1600+y+1600+2y＝14400，解得：y＝3200， ∴丙類芯片2020年的產(chǎn)量為1600+2×3200＝8000萬塊， 2018年HW公司手機產(chǎn)量為2800÷10%＝28000萬部， 400(1+m%)2+2×400(1+m%－1)2+8000＝28000×(1+10%)， 設(shè)m%＝t，化簡得：3t2+2t－56＝0， 解得：t＝4，或t＝－（舍去）， ∴t＝4，∴m%＝4，∴m＝400； 答：丙類芯片2020年的產(chǎn)量為8000萬塊，m＝400． 歸納：利用一元二次方程解決實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是根據(jù)題干尋找等量關(guān)系，從而建立方程；解方程時要注意檢驗方程的根是否符合實際意義． 考點3： 一元二次方程與其它問題的綜合應(yīng)用 【例題3】（2018?重慶）在美麗鄉(xiāng)村建設(shè)中，某縣政府投入專項資金，用于鄉(xiāng)村沼氣池和垃圾集中處理點建設(shè)．該縣政府計劃：2018年前5個月，新建沼氣池和垃圾集中處理點共計50個，且沼氣池的個數(shù)不低于垃圾集中處理點個數(shù)的4倍． （1）按計劃，2018年前5個月至少要修建多少個沼氣池？ （2）到2018年5月底，該縣按原計劃剛好完成了任務(wù)，共花費資金78萬元，且修建的沼氣池個數(shù)恰好是原計劃的最小值．據(jù)核算，前5個月，修建每個沼氣池與垃圾集中處理點的平均費用之比為1：2．為加大美麗鄉(xiāng)村建設(shè)的力度，政府計劃加大投入，今年后7個月，在前5個月花費資金的基礎(chǔ)上增加投入10a%，全部用于沼氣池和垃圾集中處理點建設(shè)．經(jīng)測算：從今年6月起，修建每個沼氣池與垃圾集中處理點的平均費用在2018年前5個月的基礎(chǔ)上分別增加a%，5a%，新建沼氣池與垃圾集中處理點的個數(shù)將會在2018年前5個月的基礎(chǔ)上分別增加5a%，8a%，求a的值． 【分析】（1）設(shè)2018年前5個月要修建x個沼氣池，則2018年前5個月要修建（50﹣x）個垃圾集中處理點，根據(jù)沼氣池的個數(shù)不低于垃圾集中處理點個數(shù)的4倍，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出結(jié)論； （2）根據(jù)單價=總價÷數(shù)量可求出修建每個沼氣池的平均費用，進而可求出修建每個垃圾集中點的平均費用，設(shè)y=a%結(jié)合總價=單價×數(shù)量即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之即可得出y值，進而可得出a的值． 【解答】（1）設(shè)2018年前5個月要修建x個沼氣池，則2018年前5個月要修建（50﹣x）個垃圾集中處理點， 根據(jù)題意得：x≥4（50﹣x）， 解得：x≥40． 答：按計劃，2018年前5個月至少要修建40個沼氣池． （2）修建每個沼氣池的平均費用為78÷[40+（50﹣40）×2]=1.3（萬元）， 修建每個垃圾處理點的平均費用為1.3×2=2.6（萬元）． 根據(jù)題意得：1.3×（1+a%）×40×（1+5a%）+2.6×（1+5a%）×10×（1+8a%）=78×（1+10a%）， 設(shè)y=a%，整理得：50y2﹣5y=0， 解得：y1=0（不合題意，舍去），y2=0.1， ∴a的值為10． 一、選擇題： 1. （2018?臨沂）一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化為（　?。? A．（y+）2=1 B．（y﹣）2=1 C．（y+）2= D．（y﹣）2= 【答案】B 【解答】y2﹣y﹣=0 y2﹣y= y2﹣y+=1 （y﹣）2=1 故選：B． 2. （2019?湖南懷化?4分）一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（　　） A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝2 【答案】C 【解答】解：∵x2+2x+1＝0， ∴（x+1）2＝0， 則x+1＝0， 解得x1＝x2＝﹣1， 故選：C． 3. （2019?河北省?2分）小剛在解關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）時，只抄對了a＝1，b＝4，解出其中一個根是x＝﹣1．他核對時發(fā)現(xiàn)所抄的c比原方程的c值小2．則原方程的根的情況是（　?。? A．不存在實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．有一個根是x＝﹣1 D．有兩個相等的實數(shù)根 【答案】A 【解答】解：∵小剛在解關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）時，只抄對了a＝1，b＝4，解出其中一個根是x＝﹣1， ∴（﹣1）2﹣4+c＝0， 解得：c＝3， 故原方程中c＝5， 則b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0， 則原方程的根的情況是不存在實數(shù)根． 4. 2019?山東省聊城市?3分）若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有實數(shù)根，則k的取值范圍為（　　） A．k≥0 B． k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠2 【答案】D 【解答】解：（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0， ∵關(guān)于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有實數(shù)根， ∴， 解得：k≥且k≠2． 故選：D． 5. （2018?嘉興）歐幾里得的《原本》記載，形如x2+ax=b2的方程的圖解法是：畫Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜邊AB上截取BD=．則該方程的一個正根是（　　） A．AC的長 B．AD的長 C．BC的長 D．CD的長 【答案】B 【解答】歐幾里得的《原本》記載，形如x2+ax=b2的方程的圖解法是：畫Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜邊AB上截取BD=， 設(shè)AD=x，根據(jù)勾股定理得：（x+）2=b2+（）2， 整理得：x2+ax=b2， 則該方程的一個正根是AD的長， 故選：B． 二、填空題： 6. （2018年四川省南充市）若2n（n≠0）是關(guān)于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，則m﹣n的值為　﹣?。? 【答案】﹣． 【解答】解：∵2n（n≠0）是關(guān)于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根， ∴4n2﹣4mn+2n=0， ∴4n﹣4m+2=0， ∴m﹣n=﹣． 故答案是：﹣． 7. （2018?黃岡）一個三角形的兩邊長分別為3和6，第三邊長是方程x2﹣10x+21=0的根，則三角形的周長為　 ?。? 【答案】16． 【解答】解：解方程x2﹣10x+21=0得x1=3、x2=7， ∵3＜第三邊的邊長＜9， ∴第三邊的邊長為7． ∴這個三角形的周長是3+6+7=16． 故答案為：16． 8.（2018年四川省內(nèi)江市）已知關(guān)于x的方程ax2+bx+1=0的兩根為x1=1，x2=2，則方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的兩根之和為　1?。? 【答案】1 【解答】解：設(shè)x+1=t，方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的兩根分別是x3，x4， ∴at2+bt+1=0， 由題意可知：t1=1，t2=2， ∴t1+t2=3， ∴x3+x4+2=3 故答案為：1 9. （2018?黔南州）三角形的兩邊長分別為3和6，第三邊的長是方程x2﹣6x+8=0的解，則此三角形周長是　 ?。? 【答案】13 【解答】x2﹣6x+8=0， （x﹣2）（x﹣4）=0， x﹣2=0，x﹣4=0， x1=2，x2=4， 當x=2時，2+3＜6，不符合三角形的三邊關(guān)系定理，所以x=2舍去， 當x=4時，符合三角形的三邊關(guān)系定理，三角形的周長是3+6+4=13， 故答案為：13． 三、解答題： 10. 解方程：x2－1＝2(x＋1)． 【解答】　解：方法一(因式分解法)： (x＋1)(x－1)＝2(x＋1)， (x＋1)(x－3)＝0. ∴x＋1＝0或x－3＝0. ∴x1＝－1，x2＝3. 方法二(配方法)： 整理，得x2－2x＝3. 配方，得(x－1)2＝4. 兩邊開平方，得x－1＝±2. 解得x1＝－1，x2＝3. 方法三(公式法)： 整理成一般形式為x2－2x－3＝0. ∵a＝1，b＝－2，c＝－3， ∴Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0. ∴x＝＝1±2. ∴x1＝－1，x2＝3. 11. 已知，一個矩形周長為56厘米． (1)當矩形面積為180平方厘米時，長、寬分別為多少？ (2)能圍成面積為200平方厘米的矩形嗎？請說明理由． 【分析】　(1)設(shè)矩形的一邊長為未知數(shù)，用周長公式表示出另一邊長，根據(jù)矩形的面積公式列出相應(yīng)方程求解即可；(2)同樣列出方程，若方程有解則可，否則就不可以． 【解答】　解：(1)設(shè)矩形的長為x厘米，則另一邊長為(28－x)厘米，依題意，得 x(28－x)＝180.解得x1＝10(舍去)，x2＝18. 則28－x＝28－18＝10. 答：長為18厘米，寬為10厘米． (2)不能圍成面積為200平方厘米的矩形． 理由：設(shè)矩形的長為x厘米，則寬為(28－x)厘米，依題意，得 x(28－x)＝200，即x2－28x＋200＝0， 則b2－4ac＝282－4×200＝784－800＜0，∴原方程無解． 故不能圍成一個面積為200平方厘米的矩形． 12. （2019·廣西賀州·8分）2016年，某貧困戶的家庭年人均純收入為2500元，通過政府產(chǎn)業(yè)扶持，發(fā)展了養(yǎng)殖業(yè)后，到2018年，家庭年人均純收入達到了3600元． （1）求該貧困戶2016年到2018年家庭年人均純收入的年平均增長率； （2）若年平均增長率保持不變，2019年該貧困戶的家庭年人均純收入是否能達到4200元？ 【分析】（1）設(shè)該貧困戶2016年到2018年家庭年人均純收入的年平均增長率為x，根據(jù)該該貧困戶2016年及2018年家庭年人均純收入，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其中正值即可得出結(jié)論； （2）根據(jù)2019年該貧困戶的家庭年人均純收入＝2018年該貧困戶的家庭年人均純收入 （1+增長率），可求出2019年該貧困戶的家庭年人均純收入，再與4200比較后即可得出結(jié)論． 【解答】解：（1）設(shè)該貧困戶2016年到2018年家庭年人均純收入的年平均增長率為x， 依題意，得：2500（1+x）2＝3600， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）． 答：該貧困戶2016年到2018年家庭年人均純收入的年平均增長率為20%． （2）3600×（1+20%）＝4320（元）， 4320＞4200． 答：2019年該貧困戶的家庭年人均純收入能達到4200元． 13. 已知關(guān)于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0. (1)求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根； (2)已知方程的一個根為x＝0，求代數(shù)式(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5的值．(要求先化簡，再求值) 【解析】：(1)證明：∵Δ＝(2m＋1)2－4m(m＋1)＝1＞0. ∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根． (2)∵x＝0是此方程的一個根， ∴把x＝0代入方程中得到m(m＋1)＝0. ∴原式＝4m2－4m＋1＋9－m2＋7m－5 ＝3m2＋3m＋5 ＝3m(m＋1)＋5 ＝5. 14. （2019?四川省廣安市?10分）已知關(guān)于的一元二次方程. （1）求證：無論為任何實數(shù)，此方程總有兩個實數(shù)根； （2）若方程的兩個實數(shù)根為、，滿足，求的值； （3）若△的斜邊為5，另外兩條邊的長恰好是方程的兩個根、，求的內(nèi)切圓半徑. 【解析】 （1）證明：， 無論為任何實數(shù)時，此方程總有兩個實數(shù)根. （2）由題意得：，， ，，即， 解得：； （3）解方程得：，， 根據(jù)題意得：，即， 設(shè)直角三角形的內(nèi)切圓半徑為，如圖， 由切線長定理可得：， 直角三角形的內(nèi)切圓半徑=； 15. (2018·張家口一模)已知n邊形的對角線共有條(n是不小于3的整數(shù))； (1)五邊形的對角線共有5條； (2)若n邊形的對角線共有35條，求邊數(shù)n； (3)若n邊形的邊數(shù)增加1，對角線總數(shù)增加9，求邊數(shù)n. 【解析】：（1）5 (2)＝35， 整理，得n2－3n－70＝0. 解得n＝10或n＝－7(舍去)． 所以邊數(shù)n＝10. (3)根據(jù)題意，得－＝9. 解得n＝10. 所以邊數(shù)n＝10. 16. （2018東營）關(guān)于x的方程2x2﹣5xsinA+2=0有兩個相等的實數(shù)根，其中∠A是銳角三角形ABC的一個內(nèi)角． （1）求sinA的值； （2）若關(guān)于y的方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0的兩個根恰好是△ABC的兩邊長，求△ABC的周長． 【分析】（1）利用判別式的意義得到△=25sin2A﹣16=0，解得sinA=； （2）利用判別式的意義得到100﹣4（k2﹣4k+29）≥0，則﹣（k﹣2）2≥0，所以k=2，把k=2代入方程后解方程得到y(tǒng)1=y2=5，則△ABC是等腰三角形，且腰長為5． 分兩種情況：當∠A是頂角時：如圖，過點B作BD⊥AC于點D，利用三角形函數(shù)求出AD=3，BD=4，再利用勾股定理求出BC即得到△ABC的周長； 當∠A是底角時：如圖，過點B作BD⊥AC于點D，在Rt△ABD中，AB=5，利用三角函數(shù)求出AD得到AC的長，從而得到△ABC的周長． 【解答】（1）根據(jù)題意得△=25sin2A﹣16=0， ∴sin2A=， ∴sinA=或 ， ∵∠A為銳角， ∴sinA=； （2）由題意知，方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0有兩個實數(shù)根， 則△≥0， ∴100﹣4（k2﹣4k+29）≥0， ∴﹣（k﹣2）2≥0， ∴（k﹣2）2≤0， 又∵（k﹣2）2≥0， ∴k=2， 把k=2代入方程，得y2﹣10y+25=0， 解得y1=y2=5， ∴△ABC是等腰三角形，且腰長為5． 分兩種情況： 當∠A是頂角時：如圖，過點B作BD⊥AC于點D，在Rt△ABD中，AB=AC=5 ∵sinA=， ∴AD=3，BD=4∴DC=2， ∴BC= ． ∴△ABC的周長為10+； 當∠A是底角時：如圖，過點B作BD⊥AC于點D，在Rt△ABD中，AB=5， ∵sinA=， ∴A D=DC=3， ∴AC=6． ∴△ABC的周長為16， 綜合以上討論可知：△ABC的周長為10+或16． 13