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2010年六年級數(shù)學(xué)最大公約數(shù)的專項練.doc

  • 資源ID:8199079       資源大?。?span id="mzebxcnn0" class="font-tahoma">156KB        全文頁數(shù):15頁
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2010年六年級數(shù)學(xué)最大公約數(shù)的專項練.doc

小升初數(shù)學(xué)試題最大公約數(shù)的專項練習 (1)列舉約數(shù)法 例如,求24和36的最大公約數(shù)。 顯然(24,36)=12。 (2)分解質(zhì)因數(shù)法 就是先把要求最大公約數(shù)的那幾個數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù),然后把這幾個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)相乘,所得的積就是要求的最大公約數(shù)。 例如,求12、18和54的最大公約數(shù)。 所以(12,18,54)=23=6。 (3)除數(shù)相除法(短除法) 就是先用要求最大公約數(shù)的那幾個數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除那幾個數(shù),一直除到所得的商只有公約數(shù)1為止,再把所有的除數(shù)連乘起來,乘得的積就是所求的最大公約數(shù)。 例如,求24、60和96的最大公約數(shù)。   所以(24、60、96)=2 23=12。 (4)應(yīng)用相除法 就是先用要求最大公約數(shù)的那幾個數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除那幾個數(shù),一直除到商只有公約數(shù)1為止。然后用被除數(shù)除以商。 例如,求36和54的最大公約數(shù)。   (5)輾轉(zhuǎn)相除法 也稱歐幾里得除法。 就是用大數(shù)除以小數(shù),如果能整除,小數(shù)就是所求的最大公約數(shù);如果不能整除,再用小數(shù)除以第一個余數(shù),如果能整除,第一余數(shù)就是所求的最大公約數(shù);如果不能整除,再用第一個余數(shù)除以第二個余數(shù),如果能整除,第二個余數(shù)就是所求的最大公約數(shù),如果不能整除,再像上面那樣繼續(xù)除下去,直到余數(shù)為0為止,最后的那個除數(shù)就是所求的最大公約數(shù)。如果最后的除數(shù)是1,那么原來的兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)。 例如,求621和851的最大公約數(shù)。 則(621,851)=23。 (6)輾轉(zhuǎn)相減法 在求幾個數(shù)的最大公約數(shù)時,可從任一大數(shù)中減去任意小數(shù)的任意倍數(shù),同時作幾個減法。 理論根據(jù): 定理1:如果甲、乙二數(shù)的差是乙數(shù),那么甲、乙二數(shù)的最大公約數(shù)就是乙數(shù)。 即:如果a-b=b,那么(a,b)=b。(本文字母都是自然數(shù)) 證明:∵a-b=b, ∴a=2b,即 b|2b→b|a。 又∵b|b,∴( a,b)=b。 定理2:如果兩個數(shù)的差不等于零,那么這兩個數(shù)的最大公約數(shù)就是減數(shù)與差數(shù)的最大公約數(shù)。 即:如果a-b=c(a>b), 那么(a,b)=(b,c)。 可理解為差與小數(shù)成倍數(shù)關(guān)系,差就是所求的最大公約數(shù);如果差與小數(shù)不成倍數(shù)關(guān)系,差與小數(shù)的最大公約數(shù)就是所求的最大公約數(shù)。 ∵a-b=c, 因此t是b、c的公約數(shù)。 又設(shè)(p2,p1-p2)=m(m>1),則 故(P2,P1-P2)=m不能成立,只能是:(P2,P1-P2)=1。說明t不但是b、c的公約數(shù),而且是最大公約數(shù)。即: (b,c)=t, ∴(a,b)=(b,c)。 例如,429-143=286, ∴(429,143)=(143,286)。 又∵143|286, ∴(143,286)=143。 因此(429,143)=143。 根據(jù)上面的兩個定理求(a,b)。 設(shè)a>b, ①當 b|a時,則(a,b)=b。 ②當b a時,則a-b=p1,即(a,b)=(b,P1)。 其中當P1|b時,則(b,P1)=P1。 當P1 b時,則b-P1=P2,即(b,P1)=(P1,P2)。 …… 照此依次減下去,被減數(shù)、減數(shù)在逐漸減小,差也隨著相對減小,最后必能得到一個ppn=0。這時pn-1=pn-2,所以(pn-2,pn-1)=pn-1。由此得出: (a,b)=(b,p1)=(p1,p2)=(p2,p3)=……=(pn-2,pn-1)=pn-1。 這種方法稱輾轉(zhuǎn)相減法。 實例說明:如21和12。21可以看成是3的7倍,12可看成3的4倍;用3的7倍減去3的4倍一定還是3 的倍數(shù),得3的3倍,然后用3的4倍減去3的3倍結(jié)果是3的1倍。因此(21,12)=3。 應(yīng)用中貴在靈活。求解過程中,可隨時截取判斷。 例1 求1105和1547的最大公約數(shù)。 1547-1105=422, (1) 1105-4222=211, (2) 422-221=211, (3) 211-211=0。 (4) 沒必要輾轉(zhuǎn)相減到最后,由式子(2)知221與442成倍數(shù)關(guān)系,則(1105,1547)=221。 例2 求971和 601的最大公約數(shù)。 ∵971-601=370, (1) 601-370=231, (2) 370-231=139, (3) 231-139=92 , (4) 139-92=47, (5) …… 1-1=0, ∴(971,601)=1。 由(5)式可知(92,47)=1,便可斷定 (971,601)=1。 例3 求27090、21672、11352和8127的最大公約數(shù)。 用這種方法約簡分數(shù)、判斷互質(zhì)數(shù)等。例略。 (7)小數(shù)縮倍法 就是求兩個數(shù)的最大公約數(shù)時,如果這兩個數(shù)不成倍數(shù)關(guān)系,就把小數(shù)依次除以2、3、4……,直到除得的商是較大數(shù)的約數(shù)為止,那個商就是所求的最大約數(shù)。 例如,求45和75的最大公約數(shù)。 453=15,15|75,則(45,75)=15。 (8)差除法 如果兩個數(shù)的差能整除較小的數(shù),那么這個差就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)。 已知a-b=c,且c|b(a>b)。 求證(a ,b)=c。 證明:由 c|b,設(shè) b=cq。 于是 a=b+c=cq+c=c(q+1)。 在a=c(q+1)和b=cq中, 因為(q+1,q)=1, 所以(a,b)=c。 例如,求91和98的最大公約數(shù)。 ∵ 98-91=7, 7|91, ∴(91,98)=7。 (9)倍差除法 當出現(xiàn)找出的差不能整除小數(shù)時,把小數(shù)再擴大幾倍,使之略超過大數(shù),用新得的數(shù)減去大數(shù)的差去除小數(shù)。 例4 求112與420的最大公約數(shù)。 1124=448, 448-420=28, 28|112, 則(11,420)=28。 例5 求168與630的最大公約數(shù)。 1684=672, 672-630=42, 42|168, 則(168,630)=42。 能夠這樣解的依據(jù)是什么呢?現(xiàn)證明如下(字母均為自然數(shù))。 如果nb-a=c,c<b<a,且c|b, 那么(a,b)=c。 證明:設(shè)t是a,b的公約數(shù),則t|a,t|b, ∴nb-a=c,且c<b<a, ∵t|nb,t|c, 因此,a,b的公約數(shù)一定是b、c的公約數(shù)。 同理也可證明b、c的公約數(shù)一定是a、b的公約數(shù)。所以a、b的最大公約數(shù)等于b、c的最大公約數(shù)。即: (a,b)=(b,c )。 又∵c|b, ∴(a,b)=(b,c)=c。 或用差的從大到小的因數(shù)試除。 例6 求161和115的最大公約數(shù)。 161-115=46。 ∵46 115, 而23|115, ∴(161,115)=23。 例7 求95和152的最大公約數(shù)。 ∵ 952-152=38, 且38 95, 但19|95, ∴(95,152)=19。 這種方法,也適用于求三個以上數(shù)的最大公約數(shù)。 例8 求217,62和93的最大公約數(shù), 因為217-62-93=62, 且31|62、31|93, 所以(217,62,93 )=31。 例9求 418、494和 589的最大公約數(shù)。 因為494-418=76,76 418, 418-(765)=38,38|76, 則(418,494)=38。 而589-(3815)=19,19|38, 所以(418,494,589)=19。 例10 判斷255和182是否互質(zhì)。 255-182=73,73 182, 182-(732)=36,36 73, 而73-(362)=1, 所以(255,182)=1,即為互質(zhì)數(shù)。 4862-2618=2244, 2618-2244=374,374|2244, (10)分數(shù)法 把求最大公約數(shù)的兩個數(shù),寫為真分數(shù),逐次約成最簡分數(shù)。原分數(shù)的分子(或分母)除以最簡分數(shù)的分子(或分母),商就是最大公約數(shù)。 例如,求24、30和36的最大公約數(shù)。 則(2430)=6。   則(6,36)=6。 所以(24,30,36)=6。 (11)用商法 例如,求64與48的最大公約數(shù)。 先把兩個數(shù)寫成除法的形式,大數(shù)作被除數(shù),小數(shù)作除數(shù)(除數(shù)為大于1的自然數(shù))。所得的商寫成最簡分數(shù)。 這兩個數(shù)的最大公約數(shù)等于除數(shù)除以商的分母。即:483=16,∴(64,48)=16。 如果,兩個數(shù)相除,商為整數(shù),那么,這兩個數(shù)的最大公約數(shù)是除數(shù)。 這種方法也適用于求兩個以上的數(shù)的最大公約數(shù)。例如,求36、30和20的最大公約數(shù)。 所以(36,30,20)=2。 (12)利用等式關(guān)系 利用(am,bm)=m(a,b)。 例如,求36與54的最大公約數(shù)。 (36,54)=(182,183) =18(2,3)=18。 利用(an,bn)=(a,b)n。 例如,求64與216的最大公約數(shù)。 (64,216)=(43,63) =(4,6)3=23=8。 利用若(a,b)=1,則(ac,b)=(c,b )。 例1 求46與253的最大公約數(shù)。 (46,253)=(46,1123) =(46,23)=23。 例2 求12,286的最大公約數(shù)。 (12,286)=2(6,143) =2(6,1113)=2(6,13)=2。 例3 求245、315和560的最大公約數(shù)。 (245,315,560)=5(49,63,112) =5(49, 63, 284)=5(49,63,28) =57(7,9,4)=35。 (13)口訣查找法 就是用乘法口訣對照求最大公約數(shù)的那幾個數(shù),看哪個因數(shù)是求最大公約數(shù)的那幾個數(shù)的約數(shù),再進一步判斷那個公約數(shù)是不是所求的最大公約數(shù)。 例如,求56和72的最大公約數(shù)。 看56與72,立即想到乘法口訣“七八五十六”與“八九七十二”。8是56與72的公約數(shù),56的另一個約數(shù)7與72的另一個約數(shù)9成互質(zhì)數(shù),所以公約數(shù)8就是56與72的最大公約數(shù)。 (14)特征心算法 根據(jù)求最大公約數(shù)的那幾個數(shù)所具有的能被某些數(shù)整除的特征確定。 例如,求24和30的最大公約數(shù)。 根據(jù)24和30能同時被2整除的特征,記下2; 再根據(jù)24和30還能同時被3整除,記下3; 由2乘3得6,24與30分別除以6的商分別是4與5,4與 5互質(zhì),則(24,30)=6。

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