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小升初數(shù)學(xué)試題最大公約數(shù)的專項(xiàng)練習(xí) （1）列舉約數(shù)法 例如，求24和36的最大公約數(shù)。 顯然（24，36）=12。 （2）分解質(zhì)因數(shù)法 就是先把要求最大公約數(shù)的那幾個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，然后把這幾個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)相乘，所得的積就是要求的最大公約數(shù)。 例如，求12、18和54的最大公約數(shù)。 所以（12，18，54）＝23＝6。 （3）除數(shù)相除法（短除法） 就是先用要求最大公約數(shù)的那幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除那幾個(gè)數(shù)，一直除到所得的商只有公約數(shù)1為止，再把所有的除數(shù)連乘起來，乘得的積就是所求的最大公約數(shù)。 例如，求24、60和96的最大公約數(shù)。 　 所以（24、60、96）＝2 23＝12。 （4）應(yīng)用相除法 就是先用要求最大公約數(shù)的那幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除那幾個(gè)數(shù)，一直除到商只有公約數(shù)1為止。然后用被除數(shù)除以商。 例如，求36和54的最大公約數(shù)。 　 （5）輾轉(zhuǎn)相除法 也稱歐幾里得除法。 就是用大數(shù)除以小數(shù)，如果能整除，小數(shù)就是所求的最大公約數(shù)；如果不能整除，再用小數(shù)除以第一個(gè)余數(shù)，如果能整除，第一余數(shù)就是所求的最大公約數(shù)；如果不能整除，再用第一個(gè)余數(shù)除以第二個(gè)余數(shù)，如果能整除，第二個(gè)余數(shù)就是所求的最大公約數(shù)，如果不能整除，再像上面那樣繼續(xù)除下去，直到余數(shù)為0為止，最后的那個(gè)除數(shù)就是所求的最大公約數(shù)。如果最后的除數(shù)是1，那么原來的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。 例如，求621和851的最大公約數(shù)。 則（621，851）＝23。 （6）輾轉(zhuǎn)相減法 在求幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)時(shí)，可從任一大數(shù)中減去任意小數(shù)的任意倍數(shù)，同時(shí)作幾個(gè)減法。 理論根據(jù)： 定理1：如果甲、乙二數(shù)的差是乙數(shù)，那么甲、乙二數(shù)的最大公約數(shù)就是乙數(shù)。 即：如果a－b＝b，那么（a，b）＝b。（本文字母都是自然數(shù)） 證明：∵a－b＝b， ∴a＝2b，即 b｜2b→b｜a。 又∵b｜b，∴（ a，b）＝b。 定理2：如果兩個(gè)數(shù)的差不等于零，那么這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)就是減數(shù)與差數(shù)的最大公約數(shù)。 即：如果a－b＝c（a＞b）， 那么（a，b）＝（b，c）。 可理解為差與小數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，差就是所求的最大公約數(shù)；如果差與小數(shù)不成倍數(shù)關(guān)系，差與小數(shù)的最大公約數(shù)就是所求的最大公約數(shù)。 ∵a－b＝c， 因此t是b、c的公約數(shù)。 又設(shè)（p2，p1－p2）=m（m＞1），則 故（P2，P1－P2）＝m不能成立，只能是：（P2，P1－P2）＝1。說明t不但是b、c的公約數(shù)，而且是最大公約數(shù)。即： （b，c）＝t， ∴（a，b）＝（b，c）。 例如，429－143＝286， ∴（429，143）＝（143，286）。 又∵143｜286， ∴（143，286）＝143。 因此（429，143）＝143。 根據(jù)上面的兩個(gè)定理求（a，b）。 設(shè)a＞b， ①當(dāng) b｜a時(shí)，則（a，b）＝b。 ②當(dāng)b a時(shí)，則a－b＝p1，即（a，b）＝（b，P1）。 其中當(dāng)P1｜b時(shí)，則（b，P1）＝P1。 當(dāng)P1 b時(shí)，則b－P1＝P2，即（b，P1）＝（P1，P2）。 …… 照此依次減下去，被減數(shù)、減數(shù)在逐漸減小，差也隨著相對(duì)減小，最后必能得到一個(gè)ppn=0。這時(shí)pn-1＝pn-2，所以（pn-2，pn-1）=pn-1。由此得出： （a，b）＝（b，p1）＝（p1，p2）＝（p2，p3）＝……＝（pn-2，pn-1）＝pn-1。 這種方法稱輾轉(zhuǎn)相減法。 實(shí)例說明：如21和12。21可以看成是3的7倍，12可看成3的4倍；用3的7倍減去3的4倍一定還是3 的倍數(shù)，得3的3倍，然后用3的4倍減去3的3倍結(jié)果是3的1倍。因此（21，12）＝3。 應(yīng)用中貴在靈活。求解過程中，可隨時(shí)截取判斷。 例1 求1105和1547的最大公約數(shù)。 1547－1105＝422， （1） 1105－4222＝211， （2） 422－221＝211， （3） 211－211＝0。 （4） 沒必要輾轉(zhuǎn)相減到最后，由式子（2）知221與442成倍數(shù)關(guān)系，則（1105，1547）＝221。 例2 求971和 601的最大公約數(shù)。 ∵971－601＝370， （1） 601－370＝231， （2） 370－231＝139， （3） 231－139＝92 ， （4） 139－92＝47， （5） …… 1－1＝0， ∴（971，601）＝1。 由（5）式可知（92，47）＝1，便可斷定 （971，601）=1。 例3 求27090、21672、11352和8127的最大公約數(shù)。 用這種方法約簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)、判斷互質(zhì)數(shù)等。例略。 （7）小數(shù)縮倍法 就是求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)時(shí)，如果這兩個(gè)數(shù)不成倍數(shù)關(guān)系，就把小數(shù)依次除以2、3、4……，直到除得的商是較大數(shù)的約數(shù)為止，那個(gè)商就是所求的最大約數(shù)。 例如，求45和75的最大公約數(shù)。 453＝15，15｜75，則（45，75）＝15。 （8）差除法 如果兩個(gè)數(shù)的差能整除較小的數(shù)，那么這個(gè)差就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。 已知a－b＝c，且c｜b（a＞b）。 求證（a ，b）＝c。 證明：由 c｜b，設(shè) b＝cq。 于是 a＝b＋c＝cq＋c＝c（q＋1）。 在a＝c（q＋1）和b＝cq中， 因?yàn)椋╭＋1，q）＝1， 所以（a，b）＝c。 例如，求91和98的最大公約數(shù)。 ∵ 98－91＝7， 7｜91， ∴（91，98）＝7。 （9）倍差除法 當(dāng)出現(xiàn)找出的差不能整除小數(shù)時(shí)，把小數(shù)再擴(kuò)大幾倍，使之略超過大數(shù)，用新得的數(shù)減去大數(shù)的差去除小數(shù)。 例4 求112與420的最大公約數(shù)。 1124＝448， 448－420＝28， 28｜112， 則（11，420）＝28。 例5 求168與630的最大公約數(shù)。 1684=672， 672－630＝42， 42｜168， 則（168，630）＝42。 能夠這樣解的依據(jù)是什么呢？現(xiàn)證明如下（字母均為自然數(shù)）。 如果nb－a＝c，c＜b＜a，且c｜b， 那么（a，b）＝c。 證明：設(shè)t是a，b的公約數(shù)，則t｜a，t｜b， ∴nb－a＝c，且c＜b＜a， ∵t｜nb，t｜c(diǎn)， 因此，a，b的公約數(shù)一定是b、c的公約數(shù)。 同理也可證明b、c的公約數(shù)一定是a、b的公約數(shù)。所以a、b的最大公約數(shù)等于b、c的最大公約數(shù)。即： （a，b）=（b，c ）。 又∵c｜b， ∴（a，b）＝（b，c）＝c。 或用差的從大到小的因數(shù)試除。 例6 求161和115的最大公約數(shù)。 161－115＝46。 ∵46 115， 而23｜115， ∴（161，115）＝23。 例7 求95和152的最大公約數(shù)。 ∵ 952－152＝38， 且38 95， 但19｜95， ∴（95，152）＝19。 這種方法，也適用于求三個(gè)以上數(shù)的最大公約數(shù)。 例8 求217，62和93的最大公約數(shù)， 因?yàn)?17－62－93＝62， 且31｜62、31｜93， 所以（217，62，93 ）=31。 例9求 418、494和 589的最大公約數(shù)。 因?yàn)?94－418＝76，76 418， 418－（765）＝38，38｜76， 則（418，494）＝38。 而589－（3815）＝19，19｜38， 所以（418，494，589）＝19。 例10 判斷255和182是否互質(zhì)。 255－182＝73，73 182， 182－（732）＝36，36 73， 而73－（362）＝1， 所以（255，182）＝1，即為互質(zhì)數(shù)。 4862－2618＝2244， 2618－2244＝374，374｜2244， （10）分?jǐn)?shù)法 把求最大公約數(shù)的兩個(gè)數(shù)，寫為真分?jǐn)?shù)，逐次約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。原分?jǐn)?shù)的分子（或分母）除以最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分子（或分母），商就是最大公約數(shù)。 例如，求24、30和36的最大公約數(shù)。 則（2430）＝6。 　 則（6，36）＝6。 所以（24，30，36）＝6。 （11）用商法 例如，求64與48的最大公約數(shù)。 先把兩個(gè)數(shù)寫成除法的形式，大數(shù)作被除數(shù)，小數(shù)作除數(shù)（除數(shù)為大于1的自然數(shù)）。所得的商寫成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。 這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)等于除數(shù)除以商的分母。即：483＝16，∴（64，48）＝16。 如果，兩個(gè)數(shù)相除，商為整數(shù)，那么，這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是除數(shù)。 這種方法也適用于求兩個(gè)以上的數(shù)的最大公約數(shù)。例如，求36、30和20的最大公約數(shù)。 所以（36，30，20）＝2。 （12）利用等式關(guān)系 利用（am，bm）＝m（a，b）。 例如，求36與54的最大公約數(shù)。 （36，54）＝（182，183） ＝18（2，3）＝18。 利用（an，bn）＝（a，b）n。 例如，求64與216的最大公約數(shù)。 （64，216）＝（43，63） ＝（4，6）3=23=8。 利用若（a，b）＝1，則（ac，b）＝（c，b ）。 例1 求46與253的最大公約數(shù)。 （46，253）＝（46，1123） ＝（46，23）＝23。 例2 求12，286的最大公約數(shù)。 （12，286）＝2（6，143） ＝2（6，1113）＝2（6，13）＝2。 例3 求245、315和560的最大公約數(shù)。 （245，315，560）＝5（49，63，112） ＝5（49， 63， 284）＝5（49，63，28） ＝57（7，9，4）＝35。 （13）口訣查找法 就是用乘法口訣對(duì)照求最大公約數(shù)的那幾個(gè)數(shù)，看哪個(gè)因數(shù)是求最大公約數(shù)的那幾個(gè)數(shù)的約數(shù)，再進(jìn)一步判斷那個(gè)公約數(shù)是不是所求的最大公約數(shù)。 例如，求56和72的最大公約數(shù)。 看56與72，立即想到乘法口訣“七八五十六”與“八九七十二”。8是56與72的公約數(shù)，56的另一個(gè)約數(shù)7與72的另一個(gè)約數(shù)9成互質(zhì)數(shù)，所以公約數(shù)8就是56與72的最大公約數(shù)。 （14）特征心算法 根據(jù)求最大公約數(shù)的那幾個(gè)數(shù)所具有的能被某些數(shù)整除的特征確定。 例如，求24和30的最大公約數(shù)。 根據(jù)24和30能同時(shí)被2整除的特征，記下2； 再根據(jù)24和30還能同時(shí)被3整除，記下3； 由2乘3得6，24與30分別除以6的商分別是4與5，4與 5互質(zhì)，則（24，30）＝6。