2010年六年級數(shù)學(xué)最大公約數(shù)的專項練.doc
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2010年六年級數(shù)學(xué)最大公約數(shù)的專項練.doc
小升初數(shù)學(xué)試題最大公約數(shù)的專項練習
(1)列舉約數(shù)法
例如,求24和36的最大公約數(shù)。
顯然(24,36)=12。
(2)分解質(zhì)因數(shù)法
就是先把要求最大公約數(shù)的那幾個數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù),然后把這幾個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)相乘,所得的積就是要求的最大公約數(shù)。
例如,求12、18和54的最大公約數(shù)。
所以(12,18,54)=23=6。
(3)除數(shù)相除法(短除法)
就是先用要求最大公約數(shù)的那幾個數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除那幾個數(shù),一直除到所得的商只有公約數(shù)1為止,再把所有的除數(shù)連乘起來,乘得的積就是所求的最大公約數(shù)。
例如,求24、60和96的最大公約數(shù)。
所以(24、60、96)=2
23=12。
(4)應(yīng)用相除法
就是先用要求最大公約數(shù)的那幾個數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除那幾個數(shù),一直除到商只有公約數(shù)1為止。然后用被除數(shù)除以商。
例如,求36和54的最大公約數(shù)。
(5)輾轉(zhuǎn)相除法
也稱歐幾里得除法。
就是用大數(shù)除以小數(shù),如果能整除,小數(shù)就是所求的最大公約數(shù);如果不能整除,再用小數(shù)除以第一個余數(shù),如果能整除,第一余數(shù)就是所求的最大公約數(shù);如果不能整除,再用第一個余數(shù)除以第二個余數(shù),如果能整除,第二個余數(shù)就是所求的最大公約數(shù),如果不能整除,再像上面那樣繼續(xù)除下去,直到余數(shù)為0為止,最后的那個除數(shù)就是所求的最大公約數(shù)。如果最后的除數(shù)是1,那么原來的兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)。
例如,求621和851的最大公約數(shù)。
則(621,851)=23。
(6)輾轉(zhuǎn)相減法
在求幾個數(shù)的最大公約數(shù)時,可從任一大數(shù)中減去任意小數(shù)的任意倍數(shù),同時作幾個減法。
理論根據(jù):
定理1:如果甲、乙二數(shù)的差是乙數(shù),那么甲、乙二數(shù)的最大公約數(shù)就是乙數(shù)。
即:如果a-b=b,那么(a,b)=b。(本文字母都是自然數(shù))
證明:∵a-b=b,
∴a=2b,即 b|2b→b|a。
又∵b|b,∴( a,b)=b。
定理2:如果兩個數(shù)的差不等于零,那么這兩個數(shù)的最大公約數(shù)就是減數(shù)與差數(shù)的最大公約數(shù)。
即:如果a-b=c(a>b),
那么(a,b)=(b,c)。
可理解為差與小數(shù)成倍數(shù)關(guān)系,差就是所求的最大公約數(shù);如果差與小數(shù)不成倍數(shù)關(guān)系,差與小數(shù)的最大公約數(shù)就是所求的最大公約數(shù)。
∵a-b=c,
因此t是b、c的公約數(shù)。
又設(shè)(p2,p1-p2)=m(m>1),則
故(P2,P1-P2)=m不能成立,只能是:(P2,P1-P2)=1。說明t不但是b、c的公約數(shù),而且是最大公約數(shù)。即:
(b,c)=t,
∴(a,b)=(b,c)。
例如,429-143=286,
∴(429,143)=(143,286)。
又∵143|286,
∴(143,286)=143。
因此(429,143)=143。
根據(jù)上面的兩個定理求(a,b)。
設(shè)a>b,
①當 b|a時,則(a,b)=b。
②當b a時,則a-b=p1,即(a,b)=(b,P1)。
其中當P1|b時,則(b,P1)=P1。
當P1 b時,則b-P1=P2,即(b,P1)=(P1,P2)。
……
照此依次減下去,被減數(shù)、減數(shù)在逐漸減小,差也隨著相對減小,最后必能得到一個ppn=0。這時pn-1=pn-2,所以(pn-2,pn-1)=pn-1。由此得出:
(a,b)=(b,p1)=(p1,p2)=(p2,p3)=……=(pn-2,pn-1)=pn-1。
這種方法稱輾轉(zhuǎn)相減法。
實例說明:如21和12。21可以看成是3的7倍,12可看成3的4倍;用3的7倍減去3的4倍一定還是3 的倍數(shù),得3的3倍,然后用3的4倍減去3的3倍結(jié)果是3的1倍。因此(21,12)=3。
應(yīng)用中貴在靈活。求解過程中,可隨時截取判斷。
例1 求1105和1547的最大公約數(shù)。
1547-1105=422, (1)
1105-4222=211, (2)
422-221=211, (3)
211-211=0。 (4)
沒必要輾轉(zhuǎn)相減到最后,由式子(2)知221與442成倍數(shù)關(guān)系,則(1105,1547)=221。
例2 求971和 601的最大公約數(shù)。
∵971-601=370, (1)
601-370=231, (2)
370-231=139, (3)
231-139=92 , (4)
139-92=47, (5)
……
1-1=0,
∴(971,601)=1。
由(5)式可知(92,47)=1,便可斷定
(971,601)=1。
例3 求27090、21672、11352和8127的最大公約數(shù)。
用這種方法約簡分數(shù)、判斷互質(zhì)數(shù)等。例略。
(7)小數(shù)縮倍法
就是求兩個數(shù)的最大公約數(shù)時,如果這兩個數(shù)不成倍數(shù)關(guān)系,就把小數(shù)依次除以2、3、4……,直到除得的商是較大數(shù)的約數(shù)為止,那個商就是所求的最大約數(shù)。
例如,求45和75的最大公約數(shù)。
453=15,15|75,則(45,75)=15。
(8)差除法
如果兩個數(shù)的差能整除較小的數(shù),那么這個差就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)。
已知a-b=c,且c|b(a>b)。
求證(a ,b)=c。
證明:由 c|b,設(shè) b=cq。
于是 a=b+c=cq+c=c(q+1)。
在a=c(q+1)和b=cq中,
因為(q+1,q)=1,
所以(a,b)=c。
例如,求91和98的最大公約數(shù)。
∵ 98-91=7, 7|91,
∴(91,98)=7。
(9)倍差除法
當出現(xiàn)找出的差不能整除小數(shù)時,把小數(shù)再擴大幾倍,使之略超過大數(shù),用新得的數(shù)減去大數(shù)的差去除小數(shù)。
例4 求112與420的最大公約數(shù)。
1124=448, 448-420=28,
28|112,
則(11,420)=28。
例5 求168與630的最大公約數(shù)。
1684=672, 672-630=42,
42|168,
則(168,630)=42。
能夠這樣解的依據(jù)是什么呢?現(xiàn)證明如下(字母均為自然數(shù))。
如果nb-a=c,c<b<a,且c|b,
那么(a,b)=c。
證明:設(shè)t是a,b的公約數(shù),則t|a,t|b,
∴nb-a=c,且c<b<a,
∵t|nb,t|c,
因此,a,b的公約數(shù)一定是b、c的公約數(shù)。
同理也可證明b、c的公約數(shù)一定是a、b的公約數(shù)。所以a、b的最大公約數(shù)等于b、c的最大公約數(shù)。即:
(a,b)=(b,c )。
又∵c|b,
∴(a,b)=(b,c)=c。
或用差的從大到小的因數(shù)試除。
例6 求161和115的最大公約數(shù)。
161-115=46。
∵46 115,
而23|115,
∴(161,115)=23。
例7 求95和152的最大公約數(shù)。
∵ 952-152=38,
且38 95,
但19|95,
∴(95,152)=19。
這種方法,也適用于求三個以上數(shù)的最大公約數(shù)。
例8 求217,62和93的最大公約數(shù),
因為217-62-93=62,
且31|62、31|93,
所以(217,62,93 )=31。
例9求 418、494和 589的最大公約數(shù)。
因為494-418=76,76 418,
418-(765)=38,38|76,
則(418,494)=38。
而589-(3815)=19,19|38,
所以(418,494,589)=19。
例10 判斷255和182是否互質(zhì)。
255-182=73,73 182,
182-(732)=36,36 73,
而73-(362)=1,
所以(255,182)=1,即為互質(zhì)數(shù)。
4862-2618=2244,
2618-2244=374,374|2244,
(10)分數(shù)法
把求最大公約數(shù)的兩個數(shù),寫為真分數(shù),逐次約成最簡分數(shù)。原分數(shù)的分子(或分母)除以最簡分數(shù)的分子(或分母),商就是最大公約數(shù)。
例如,求24、30和36的最大公約數(shù)。
則(2430)=6。
則(6,36)=6。
所以(24,30,36)=6。
(11)用商法
例如,求64與48的最大公約數(shù)。
先把兩個數(shù)寫成除法的形式,大數(shù)作被除數(shù),小數(shù)作除數(shù)(除數(shù)為大于1的自然數(shù))。所得的商寫成最簡分數(shù)。
這兩個數(shù)的最大公約數(shù)等于除數(shù)除以商的分母。即:483=16,∴(64,48)=16。
如果,兩個數(shù)相除,商為整數(shù),那么,這兩個數(shù)的最大公約數(shù)是除數(shù)。
這種方法也適用于求兩個以上的數(shù)的最大公約數(shù)。例如,求36、30和20的最大公約數(shù)。
所以(36,30,20)=2。
(12)利用等式關(guān)系
利用(am,bm)=m(a,b)。
例如,求36與54的最大公約數(shù)。
(36,54)=(182,183)
=18(2,3)=18。
利用(an,bn)=(a,b)n。
例如,求64與216的最大公約數(shù)。
(64,216)=(43,63)
=(4,6)3=23=8。
利用若(a,b)=1,則(ac,b)=(c,b )。
例1 求46與253的最大公約數(shù)。
(46,253)=(46,1123)
=(46,23)=23。
例2 求12,286的最大公約數(shù)。
(12,286)=2(6,143)
=2(6,1113)=2(6,13)=2。
例3 求245、315和560的最大公約數(shù)。
(245,315,560)=5(49,63,112)
=5(49, 63, 284)=5(49,63,28)
=57(7,9,4)=35。
(13)口訣查找法
就是用乘法口訣對照求最大公約數(shù)的那幾個數(shù),看哪個因數(shù)是求最大公約數(shù)的那幾個數(shù)的約數(shù),再進一步判斷那個公約數(shù)是不是所求的最大公約數(shù)。
例如,求56和72的最大公約數(shù)。
看56與72,立即想到乘法口訣“七八五十六”與“八九七十二”。8是56與72的公約數(shù),56的另一個約數(shù)7與72的另一個約數(shù)9成互質(zhì)數(shù),所以公約數(shù)8就是56與72的最大公約數(shù)。
(14)特征心算法
根據(jù)求最大公約數(shù)的那幾個數(shù)所具有的能被某些數(shù)整除的特征確定。
例如,求24和30的最大公約數(shù)。
根據(jù)24和30能同時被2整除的特征,記下2;
再根據(jù)24和30還能同時被3整除,記下3;
由2乘3得6,24與30分別除以6的商分別是4與5,4與 5互質(zhì),則(24,30)=6。