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課時作業(yè)(六十二)　幾何概型 　　　　　　　　　　　 一、選擇題 1．(2016韶關調研)在區(qū)間[0,2]之間隨機抽取一個數x，則x滿足2x－1≥0的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：區(qū)間[0,2]看作總長度為2，區(qū)間[0,2]中滿足2x－1≥0的只有，長度為，P＝＝。 答案：A 2．(2016廣州一模)任取實數a，b∈[－1,1]，則a，b滿足|a－2b|≤2的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：如圖所示，則事件|a－2b|≤2所表示的區(qū)域為圖中的陰影部分所表示的區(qū)域，易知直線a－2b＝－2分別交直線a＝－1與y軸于點E，F(xiàn)(0,1)。 所以|BE|＝，|BF|＝1。 所以S△BEF＝|BE||BF|＝1＝，易得△DHG≌△BEF。 因此S△DGH＝S△BEF＝， 故陰影部分的面積S＝S四邊形ABCD－2S△BEF＝22－2＝。 由幾何概型的概率公式知，事件|a－2b|≤2的概率P＝＝＝＝，故選D。 答案：D 3．(2016長春三調)已知點P，Q為圓C：x2＋y2＝25上的任意兩點，且|PQ|＜6，若PQ中點組成的區(qū)域為M，在圓C內任取一點，則該點落在區(qū)域M上的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：PQ中點組成的區(qū)域M如圖陰影部分所示，那么在C內部任取一點落在M內的概率為＝，故選B。 答案：B 4．(2016陜西五校聯(lián)考)已知△ABC外接圓O的半徑為1，且＝－，∠C＝，從圓O內隨機取一個點M，若點M取自△ABC內的概率恰為，則△ABC的形狀為(　　) A．直角三角形 B．等邊三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形 解析：由題意得＝， 所以CACB＝3。 在△ABC中，由于OA＝OB＝1，∠AOB＝120， 所以AB＝。 由余弦定理得AB2＝CA2＋CB2－2CACBcos，即CA2＋CB2＝6， 所以CA＝CB＝，△ABC的形狀為等邊三角形。 答案：B 5．(2016長沙聯(lián)考)點P在邊長為1的正方形ABCD內運動，則動點P到頂點A的距離|PA|≤1的概率為(　　) A. B. C. D．π 解析：如圖，滿足|PA|≤1的點P在如圖所示陰影部分運動，則動點P到頂點A的距離|PA|≤1的概率為＝＝。 答案：C 6．(2016東莞一模)已知A(2,1)，B(1，－2)，C，動點P(a，b)滿足0≤≤2，且0≤≤2，則點P到點C的距離大于的概率為(　　) A．1－π B.π C．1－ D. 解析：∵＝2a＋b，＝a－2b， 又0≤≤2，且0≤≤2， ∴表示的區(qū)域如圖陰影部分所示，而|PC|＝＞， 而|OD|＝，∴P＝＝1－π。 答案：A 二、填空題 7．(2016湖北八校二聯(lián))記集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}和集合B＝{(x，y)|x＋y－2≤0，x≥0，y≥0}表示的平面區(qū)域分別為Ω1和Ω2，若在區(qū)域Ω1內任取一點M(x，y)，則點M落在區(qū)域Ω2的概率為__________。 解析：作圓O：x2＋y2＝4，區(qū)域Ω1就是圓O內部(含邊界)，其面積為4π，區(qū)域Ω2就是圖中△OAB內部(含邊界)，其面積為2，因此所求概率為＝。 答案： 8．(2016濟南一模)如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，有一動點在此長方體內隨機運動，則此動點在三棱錐A－A1BD內的概率為__________。 解析：設事件M＝“動點在三棱錐A－A1BD內”， P(M)＝ ＝ ＝ ＝＝。 答案： 9．(2016北京豐臺區(qū)一模)設不等式組表示的平面區(qū)域為M，不等式組(0≤t≤4)表示的平面區(qū)域為N。在M內隨機取一個點，這個點在N內的概率為P。 ①當t＝1時，P＝__________； ②P的最大值是__________。 解析：不等式組表示的平面區(qū)域為M，如圖所示， 區(qū)域M的面積是48＝16，區(qū)域N是長為2t，寬為4－t的長方形，面積為2t(4－t)， 在M內隨機取一個點，這個點在N內的概率P＝。 ①當t＝1時，P＝＝； ②P＝＝＝≤＝。 答案：　 三、解答題 10．求下列概率： (1)已知x∈(－1,1)，求x2＜1的概率； (2)已知x，y∈(－1,1)，求x2＋y2＜1的概率； (3)已知x，y，z∈(－1,1)，求x2＋y2＋z2＜1的概率。 解析：(1)x∈(－1,1)的結果是任意的且有無限個，屬于幾何概型。 設x2＜1為事件A，則事件A構成的區(qū)域長度是1－(－1)＝2，全部結果構成的區(qū)域長度是1－(－1)＝2，則P(A)＝＝1，即x2＜1的概率是1。 (2)x，y∈(－1,1)的結果是任意的且有無限個，屬于幾何概型。 設x2＋y2＜1為事件B，則事件B構成的區(qū)域面積是平面直角坐標系中以原點為圓心、半徑為1的圓的面積π，全部結果構成的區(qū)域面積是平面直角坐標系中直線x＝1，y＝1圍成的正方形的面積22＝4，則P(B)＝，即x2＋y2＜1的概率是。 (3)x，y，z∈(－1,1)的結果是任意的且有無限個，屬于幾何概型。 設x2＋y2＋z2＜1為事件C， 則事件C構成的區(qū)域體積是空間直角坐標系中以原點為球心、半徑為1的球的體積， 全部結果構成的區(qū)域體積是空間直角坐標系中平面x＝1，y＝1，z＝1圍成的正方體的體積23＝8，則P(C)＝＝，即x2＋y2＋z2＜1的概率是。 11．已知復數z＝x＋yi(x，y∈R)在復平面上對應的點為M。 (1)設集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，從集合P中隨機取一個數作為x，從集合Q中隨機取一個數作為y，求復數z為純虛數的概率； (2)設x∈[0,3]，y∈[0,4]，求點M落在不等式組所表示的平面區(qū)域內的概率。 解析：(1)記“復數z為純虛數”為事件A。 ∵組成復數z的所有情況共有12個：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每種情況出現(xiàn)的可能性相等，屬于古典概型， 其中事件A包含的基本事件共2個：i,2i， ∴所求事件的概率為P(A)＝＝。 (2)依條件可知，點M均勻地分布在平面區(qū)域{(x，y)|}內，屬于幾何概型。 該平面區(qū)域的圖形為右圖中矩形OABC圍成的區(qū)域，面積為S＝34＝12。 而所求事件構成的平面區(qū)域為 {(x，y)|}，其圖形如圖中的三角形OAD(陰影部分)。 又直線x＋2y－3＝0與x軸、y軸的交點分別為A(3,0)，D(0，)， ∴△OAD的面積為S1＝3＝。 ∴所求事件的概率為P＝＝＝。 12．已知函數f(x)＝ax2－2bx＋a(a，b∈R)。 (1)若a從集合{0,1,2,3}中任取一個元素，b從集合{0,1,2,3}中任取一個元素，求方程f(x)＝0恰有兩個不相等實根的概率； (2)若b從區(qū)間[0,2]中任取一個數，a從區(qū)間[0,3]中任取一個數，求方程f(x)＝0沒有實根的概率。 解析：(1)∵a從集合{0,1,2,3}中任取一個元素，b從集合{0,1,2,3}中任取一個元素， ∴a，b取值的情況是：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(0,3)，(1,3)，(2,3)，(3,3)，其中第一個數表示a的取值，第二個數表示b的取值，即基本事件總數為16。 設“方程f(x)＝0恰有兩個不相等的實根”為事件A， 當a＞0，b≥0時，方程f(x)＝0恰有兩個不相等實根的充要條件為b＞a且a≠0， 當b＞a且a≠0時，a，b取值的情況有(1,2)，(1,3)，(2,3)， 即事件A包含的基本事件數為3， ∴方程f(x)＝0恰有兩個不相等實根的概率P(A)＝。 (2)∵b從區(qū)間[0,2]中任取一個數，a從區(qū)間[0,3]中任取一個數， 則試驗的全部結果構成區(qū)域Ω＝{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}， 這是一個矩形區(qū)域，其面積SΩ＝23＝6， 設“方程f(x)＝0沒有實根”為事件B，則事件B所構成的區(qū)域為M＝{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a＞b}， 其面積SM＝6－22＝4，由幾何概型的概率計算公式可得：方程f(x)＝0沒有實根的概率P(A)＝＝＝。