課時作業(yè)(五十二)　拋物線 一、選擇題 1．(2016石家莊模擬)若拋物線y2＝2px上一點P(2，y0)到其準(zhǔn)線的距離為4，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．y2＝4x B．y2＝6x C．y2＝8x D．y2＝10x 解析：由題意可知p>0，因為拋物線y2＝2px，所以其準(zhǔn)線方程為x＝－，因為點P(2，y0)到其準(zhǔn)線的距離為4，所以|－－2|＝4，所以p＝4，故拋物線方程為y2＝8x。故選C。 答案：C 2．設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M在C上，|MF|＝5。所以MF為直徑的圓過點(0,2)，則C的方程為(　　) A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 解析：由已知得拋物線的焦點F，設(shè)點A(0,2)，拋物線上點M，則＝，＝。由已知得，＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M。 由|MF|＝5得，＝5，又p>0，解得p＝2或p＝8，故選C。 答案：C 3．(2016鄭州模擬)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，P，Q是拋物線上的兩個點，若△PQF是邊長為2的正三角形，則p的值是(　　) A．2 B．2＋ C.1 D.－1 解析：F，設(shè)P，Q(y1≠y2)。由拋物線定義及|PF|＝|QF|，得＋＝＋，所以y＝y(tǒng)，又y1≠y2，所以y1＝－y2，所以|PQ|＝2|y1|＝2，|y1|＝1，所以|PF|＝＋＝2，解得p＝2。 答案：A 4．(2016濟南模擬)已知直線y＝k(x＋2)(k>0)與拋物線C：y2＝8x相交于A，B兩點，F(xiàn)為C的焦點，若|FA|＝2|FB|，則k的值為(　　) A. B. C. D. 解析： 設(shè)拋物線C：y2＝8x的準(zhǔn)線為l：x＝－2，直線y＝k(x＋2)(k＞0)恒過定點P(－2,0)，如圖過A，B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|＝2|FB|，則|AM|＝2|BN|，點B為AP的中點，連接OB，則|OB|＝|FA|，所以|OB|＝|BF|，點B的橫坐標(biāo)為1，故點B的坐標(biāo)為(1,2)，把B點坐標(biāo)代入直線方程得k的值為。 答案：C 5．(2016孝感模擬)直線l經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點，且與拋物線交于A，B兩點，若AB中點的橫坐標(biāo)為3，則線段AB的長為(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：設(shè)拋物線y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l0，A(xA，yA)，B(xB，yB)，C是AB的中點，其坐標(biāo)為(xC，yC)，分別過點A，B作直線l0的垂線，垂足分別為M，N，由拋物線的定義得|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝xA＋1＋xB＋1＝xA＋xB＋2＝2xC＋2＝8。 答案：D 6．(2016武漢模擬)如圖，已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F恰好是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點，且兩條曲線交點的連線過點F，則該雙曲線的離心率為(　　) A. B．2 C.＋1 D.－1 解析：由題意，因為兩條曲線交點的連線過點F， 所以兩條曲線的一個交點為， 代入雙曲線方程得－＝1， 又＝c， 所以－4＝1，化簡得c4－6a2c2＋a4＝0， 所以e4－6e2＋1＝0， 所以e2＝3＋2＝(1＋)2， 所以e＝＋1， 故選C。 答案：C 二、填空題 7．已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上的點P(a，－2)到焦點的距離為3，則拋物線的方程是________。 解析：由題意可設(shè)拋物線的方程為x2＝－2py(p>0)，拋物線上的點P(a，－2)到焦點的距離即為點P到準(zhǔn)線y＝的距離，所以＋2＝3，解得p＝2，所以拋物線的方程為x2＝－4y。 答案：x2＝－4y 8．已知直線y＝a交拋物線y＝x2于A，B兩點。若該拋物線上存在點C，使得∠ACB為直角，則a的取值范圍為________。 解析：設(shè)直線y＝a與y軸交于M點，若拋物線y＝x2上存在C點使得∠ACB＝90，只要以|AB|為直徑的圓與拋物線y＝x2有除A，B外的交點即可，即使|AM|≤|MO|，所以≤a，所以a≥1或a≤0，因為由題意知a＞0，所以a≥1。 答案：[1，＋∞) 9．(2016寧波模擬)已知拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線與雙曲線－＝1(a>0，b>0)交于A，B兩點，點F為拋物線的焦點，若△FAB為直角三角形，則雙曲線離心率的取值范圍是________。 解析：拋物線焦點F(1,0)，由題意0<a<1，且∠AFB＝90并被x軸平分，所以點(－1,2)在雙曲線上，得－＝1，即b2＝＝c2－a2，即c2＝＋a2＝，所以e2＝＝＝1＋， 因為0<a<1，所以e2>5，故e>。 答案：(，＋∞) 三、解答題 10．(2016杭州模擬)已知曲線C上的動點P(x，y)滿足到點F(0,1)的距離比到直線l：y＝－2的距離小1。 (1)求曲線C的方程； (2)動點E在直線l上，過點E分別作曲線C的切線EA，EB，切點為A，B。直線AB是否恒過定點，若是，求出定點坐標(biāo)，若不是，請說明理由。 解析：(1)因為動點P(x，y)滿足到點F(0,1)的距離比到直線l：y＝－2的距離小1，所以動點P(x，y)滿足到點F(0,1)的距離與直線l′：y＝－1的距離相等。 所以曲線C是以F(0,1)為焦點，y＝－1為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線C的方程是：x2＝4y。 (2)設(shè)E(a，－2)，切點為， 由x2＝4y得y＝， 所以y′＝，所以＝， 解得：x0＝a， 所以A， B， 化簡直線AB方程得： y－2＝x，所以直線AB恒過定點(0,2)。 11．已知頂點在原點，焦點在y軸上的拋物線過點P(2,1)。 (1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 (2)過點P作直線l與拋物線有且只有一個公共點，求直線l的方程。 (3)過點Q(1,1)作直線交拋物線于A，B兩點，使得Q恰好平分線段AB，求直線AB的方程。 解析：(1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝2py，把點P(2,1)代入可得4＝2p，所以p＝2，故所求的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y。 (2)①當(dāng)斜率不存在時，直線方程為x＝2，符合題意； ②當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線方程為y－1＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋1， 聯(lián)立方程可得整理可得x2－4kx＋8k－4＝0。 因為直線與拋物線只有一個公共點， 所以Δ＝16k2－32k＋16＝0， 所以k＝1。 綜上可得，直線l的方程為x－y－1＝0或x＝2。 (3)由題意可知，AB的斜率存在，設(shè)AB的方程為y－1＝k′(x－1)，代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程x2＝4y可得x2－4k′x＋4k′－4＝0，所以x1＋x2＝4k′＝2， 所以k′＝，所以AB的方程為y－1＝(x－1)， 即x－2y＋1＝0。 12．已知拋物線C：y2＝2px的焦點坐標(biāo)為F(1,0)，過F的直線交拋物線C于A，B兩點，直線AO，BO分別與直線m：x＝－2相交于M，N兩點。 (1)求拋物線C的方程。 (2)證明△ABO與△MNO的面積之比為定值。 解析：(1)由焦點坐標(biāo)為(1,0)，可知＝1， 所以p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x。 (2)當(dāng)直線AB垂直于x軸時，△ABO與△MNO相似，所以＝2＝， 當(dāng)直線AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB方程為y＝k(x－1)， 設(shè)M(－2，yM)，N(－2，yN)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由整理得k2x2－(4＋2k2)x＋k2＝0，所以x1x2＝1， 所以＝＝ ＝＝＝， 綜上＝。