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3.1.1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)（說課稿） 一、教材分析 ? 本節(jié)課處于第一節(jié)課時(shí)，為接下來的二分法做好扎實(shí)的基礎(chǔ)。同時(shí)本節(jié)課是連接代數(shù)與解析幾何的一個(gè)紐帶，能夠促進(jìn)學(xué)生更好的形成數(shù)形結(jié)合的思想。對(duì)今后的學(xué)習(xí)具有不可替代的作用。 ? 學(xué)生在以往已經(jīng)對(duì)一元一次以及二次方程的性質(zhì)有所了解，學(xué)習(xí)本課難度不大 教學(xué)重點(diǎn) 1.根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷一元二次方程根的個(gè)數(shù) 2.函數(shù)零點(diǎn)的概念 3.函數(shù)零點(diǎn)存在性的判定方法 教學(xué)難點(diǎn) ? 函數(shù)零點(diǎn)的概念 ? 函數(shù)零點(diǎn)存在性的判定方法 二、教學(xué)目標(biāo) 1、知識(shí)與技能 會(huì)數(shù)形結(jié)合的理解方程的根、函數(shù)的圖像與X軸的交點(diǎn)與函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系； 會(huì)用函數(shù)圖象的交點(diǎn)解釋相應(yīng)的方程的根的意義 理解函數(shù)零點(diǎn)存在的條件 2、過程與方法 通過數(shù)形結(jié)合，類比歸納出一元二次方程的根與交點(diǎn)的關(guān)系； 理解方程的根、函數(shù)的圖像與X軸的交點(diǎn)與函數(shù)的零點(diǎn)之間的相互轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思維。 3.情感態(tài)度與價(jià)值觀 從方程的根、函數(shù)的圖像與X軸的交點(diǎn)與函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系感受數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性與完美性； 結(jié)合數(shù)形結(jié)合，函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)換的而數(shù)學(xué)思想體驗(yàn)從由具體到抽象、由特殊到一般的認(rèn)識(shí)事物的意識(shí) 。 三、教學(xué)法選擇 教法：?jiǎn)l(fā)式教學(xué) 學(xué)法：歸納類比，特殊到一般，自主探究 四、教學(xué)設(shè)計(jì) 1、課題導(dǎo)入 三次方程的Cardano公式與四次方程的Ferrari公式誕生后，世界上許多數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)愛好者尋求一般五次方程求根公式，但遲遲沒有得到解決。大約三百年之后，在1824年，挪威學(xué)者Abel終于證明了：一般的一個(gè)代數(shù)方程，如果方程的次數(shù)n≥5 ，那么此方程不可能用根式求解。即不存在根式表達(dá)的一般五次方程求根公式。這就是著名的Abel定理 設(shè)計(jì)意圖：由數(shù)學(xué)史導(dǎo)入課題，生動(dòng)有趣，且富有啟發(fā)性，并為接下來的講授做好鋪墊。同時(shí)點(diǎn)明了本節(jié)課的目的與作用。從一開始就調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。 2、一元二次方程根與函數(shù)圖像的關(guān)系 教師在黑板上寫下這3個(gè)方程‘ 觀察以下3個(gè)具體的一元二次方程及其對(duì)應(yīng)的函數(shù) (1)y=x2+2x-3與x2+2x-3=0 (2)y=x2+2x+1與x2+2x+1=0 (3)y=x2+2x+3與x2+2x+3=0 問題 1、一元二次方程的根與二次函數(shù)的圖象有什么關(guān)系？ 2、從上面三個(gè)實(shí)例中得到一般的一元二次方程的實(shí)根與相應(yīng)的二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系嗎 設(shè)計(jì)意圖： 從圖形可知選擇這3個(gè)方程的目的所在。它們分別代表著1個(gè)、2個(gè)、0個(gè)根的一元二次方程。方程簡(jiǎn)單，圖形直觀。對(duì)于學(xué)生的啟發(fā)具有積極作用。而且這2個(gè)問題從根本上緊扣著本節(jié)課的重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)，好的問題往往能啟發(fā)學(xué)生的思維。學(xué)生帶著這2個(gè)問題去思考，目的明確。不難得出接下來的結(jié)論。使學(xué)生具有一種成就感。 之后老師可以以第一個(gè)為例作出圖形并求出函數(shù)的根。同時(shí)解答問題。接下來可以借助多媒體把所有的都列表出來。 設(shè)計(jì)意圖：通過直觀的對(duì)比，學(xué)生很容易看出方程的根與函數(shù)在X軸的交點(diǎn)之間的關(guān)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。 結(jié)論： 二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根。 于是方程的根與函數(shù)圖像x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)一樣。以前我們知道對(duì)于一元二次方程的根可由△與0的大小比較來刻畫，于是函數(shù)圖像x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)便可通過△來刻畫。 設(shè)計(jì)意圖：通過前面的探究，學(xué)生已然得出結(jié)論。此時(shí)教師再把結(jié)論板書到黑板上。用比較精確地?cái)?shù)學(xué)表達(dá)出來，同時(shí)加深學(xué)生對(duì)結(jié)論的理解，為接下來的推廣做好鋪墊。 推廣結(jié)論：一般地，二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a≠0)的圖象與x軸交點(diǎn)和相應(yīng)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有何關(guān)系?（以a>0為例，a<0類似） 結(jié)論: 二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根 設(shè)計(jì)意圖：有了前面的基礎(chǔ)，推廣本結(jié)論便順理成章。至此已將要講授的結(jié)論推廣到最一般的形式。并且通過△來刻畫。使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。 3、函數(shù)零點(diǎn) 定義： 對(duì)于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)。 比如2是使得x-2=0，因此2是y=x-2的零點(diǎn)。 注意：零點(diǎn)是一個(gè)數(shù)，而不是一個(gè)坐標(biāo)。 不能說（2，0）是y=x-2的零點(diǎn) 設(shè)計(jì)意圖：由于零點(diǎn)的概念比較重要且學(xué)生易錯(cuò)，因此在講完概念后先舉個(gè)例子使學(xué)生容易理解。同時(shí)用一個(gè)錯(cuò)例來避免學(xué)生走入誤區(qū) 方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根 函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn) 函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn) 得出這個(gè)結(jié)論后我將提問：“由上面可知要求方程的根即是求其對(duì)應(yīng)的函數(shù)的零點(diǎn)。對(duì)于那些不能由求根公式求出根的方程時(shí)該怎么辦？” 設(shè)計(jì)意圖：本問具有承上啟下的作用，啟發(fā)學(xué)生用所學(xué)知識(shí)去思考，同時(shí)引出下面的探究。 4.探究： 請(qǐng)同學(xué)們觀察函數(shù)f(x)=x-2x-3的圖象，并計(jì)算f(-2)與f(1)的乘積, f(2)與f(4)的乘積,有什么特點(diǎn)？ 2 1 -1 -2 -3 -4 y=x-2x-3 -2 -1 1 2 3 4 學(xué)生不難得出：f(-2)f(1)<0，函數(shù)f(x)=x-2x-3在區(qū)間（-2,1）內(nèi)有零點(diǎn)x=1, 它是方程x-2x-3=0的一個(gè)根 同樣的,f(2)f(4)<0，函數(shù)f(x)=x-2x-3在區(qū)間（2,4）內(nèi)有零點(diǎn)x=3,它是方程 x-2x-3=0的另一個(gè)根. 設(shè)計(jì)意圖:通過自主探究的方式可以加深課堂的趣味性，同時(shí)會(huì)加深學(xué)生對(duì)該定理的理解，為下面的函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理做好基礎(chǔ) 5函數(shù)的零點(diǎn)存在性 一般地，如果函數(shù)y =f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a ,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根。 提醒學(xué)生注意定理中連續(xù)不斷的重要性。 之后問：請(qǐng)觀察這兩個(gè)圖形說明為什么它們不滿足函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理？ 設(shè)計(jì)意圖：連續(xù)不斷是函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理中一個(gè)必不可少的條件。用兩個(gè)反例來說明這個(gè)問題。簡(jiǎn)潔明了，印象較深刻。 6.例題1 求函數(shù)f(x)=lnx+2x－6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)解：用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出x、f(x)的對(duì)應(yīng)值表（表3-1）和圖象（圖3.1—3） x 0 －2 －4 －6 10 5 y 2 4 10 8 6 12 14 8 7 6 4 3 2 1 9 由表3-1和圖3.1—3可知f(2)<0,f(3)>0，即f(2)f(3)<0， 說明這個(gè)函數(shù)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點(diǎn)。由于函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù)，所以 它僅有一個(gè)零點(diǎn)。 提問： ? 這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性？(口頭證明) ? 你怎樣解釋該函數(shù)的根的情況？ 設(shè)計(jì)意圖：通過本題的訓(xùn)練學(xué)生可以較好的掌握函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理。本題采用與信息技術(shù)相結(jié)合的方式，可以叫直觀的得出結(jié)論加深印象。同時(shí)希望通過這2個(gè)提問，使學(xué)生達(dá)到學(xué)以致用的目的。 7.練習(xí) 1.作出函數(shù)的圖像，并指出其零點(diǎn)所在的大致區(qū)間 f(x)=-x3-3x+5 2.求證：方程5x2-7x-1=0的一個(gè)根在區(qū)間(-1,0)內(nèi),另一個(gè)根在區(qū)間(1,2)內(nèi). 3. .函數(shù) 的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（ B ) A.（1，2） B.（2，3） C.（3，4） D.（4，5） 4..已知函數(shù) 有一個(gè)零點(diǎn)為2，則函數(shù)g(x)=bx2-ax的零點(diǎn)是(D) A.0和2 B.2和 1 C.0和1 D.0和-0.5 設(shè)計(jì)意圖：通過4個(gè)難度逐漸增加的練習(xí)來鞏固所學(xué)內(nèi)容。 8.小結(jié) 1、二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根。 2、方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根 函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn) 函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn) 3、如果函數(shù)y =f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a ,b)內(nèi)有零點(diǎn) 9.板書 10.作業(yè) 課本P88：1（4） 2（1） 設(shè)計(jì)意圖：作業(yè)比較簡(jiǎn)單但是卻包含著本節(jié)課最重要的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生最重要的是要掌握本節(jié)課所學(xué)的，再通過練習(xí)鞏固一下。