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1、word 高三數(shù)學第一輪復習講義 空間距離 【知識歸納】 1、空間距離的求解思路：立體幾何中有關(guān)距離的計算，要遵循“一作，二證，三計算〞的原如此〕 2、空間距離的類型： 〔1〕異面直線的距離：①直接找公垂線段而求之；②轉(zhuǎn)化為求直線到平面的距離，即過其中一條直線作平面和另一條直線平行。③轉(zhuǎn)化為求平面到平面的距離，即過兩直線分別作相互平行的兩個平面。 〔2〕點到直線的距離：一般用三垂線定理作出垂線再求解 〔3〕點到平面的距離：①垂面法：借助于面面垂直的性質(zhì)來作垂線，其中過點確定面的垂面是關(guān)鍵； ②體積法：轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高；③等價轉(zhuǎn)移法。 〔4〕直線與平面的距離：前提是直線與平面

2、平行，利用直線上任意一點到平面的距離都相等，轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離。 〔5〕兩平行平面之間的距離：轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離。 〔6〕球面距離〔球面上經(jīng)過兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度〕：求球面上兩點A、B間的距離的步驟：①計算線段AB的長；②計算球心角∠AOB的弧度數(shù)；③用弧長公式計算劣弧AB的長。 【根底訓練】 〔1〕正方體ABCD- A1B1C1D1的棱長為，如此異面直線BD與B1C的距離為_____。 〔2〕等邊三角形的邊長為，是邊上的高，將沿折起，使之與所在平面成的二面角，這時點到的距離是_____； 〔3〕點P是120°的二面角α--β的一點，點P到α、β的距離分別是

3、3、4，如此P到的距離為　_______； 〔4〕在正方體ABCD—A1B1C1D1的側(cè)面AB1有一動點P到棱A1B1與棱BC的距離相等，如此動點P所在曲線的形狀為_______。 〔5〕長方體的棱，如此點到平面　的距離等于______； 〔6〕在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中點，如此A1到平面MBD的距離為______。 〔7〕設(shè)地球半徑為，在北緯圈上有兩地，它們的緯度圈上的弧長等于，求兩地間的球面距離； 〔8〕球面上有3點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的，經(jīng)過這3點的小圓的周長為，那么這個球的半徑為______；

4、〔9〕三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，，假如四個點都在同一球面上，求此球面上兩點A、B之間的球面距離。 【例題選講】： B P A C E F O 【例１】如圖，在正三棱錐P－ABC中，側(cè)棱長為３，底面邊長為２，E是BC的中點，EF⊥PA于F。 〔１〕求證：EF為異面直線PA與BC的公垂線段； 〔２〕求異面直線PA與BC間的距離。 A C B A1 B1 C1 【例２】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝，BC＝CA＝AA1＝１，設(shè)A1在底面ABC上的射影為O 〔１〕點O能否與B重合？試說明理由。 〔２〕假如O在AC

5、上，求BB1與側(cè)面ACC1A1的距離； 〔３〕假如O是△ABC的外心，求 【例3】在棱長為１的正方體ABCD－A1B1C1D1中， 〔１〕求點A到平面BD1的距離； 〔２〕求點A1到平面AB1D1的距離； A A1 D C B B1 C1 D1 O1 G O E 〔３〕求平面AB1D1與平面BC1D的距離； 〔４〕求直線AB到平面CDA1B1的距離。 【例4】在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，AB=CC1=a，BC=b. 〔1〕設(shè)E、F分別為AB1、BC1的中點，求證：EF∥平面ABC； 〔2〕求證：

6、A1C1⊥AB； 〔3〕求點B1到平面ABC1的距離. 【例5】A B C E A1 G F D 平面邊長為a?的正三角形ABC，直線DE∥BC,交AB、AC于D、E，現(xiàn)將△ABC沿DE折成600的二面角，求DE在何位置時，折起后A1到BC的距離最短？最短距離是多少？ 【鞏固練習】： ABCD—A1B1C1D1中，棱長為a，如此： 〔1〕點C到面AB1C1的距離為___________； 〔2〕點B到面ACB1的距離為____________； 〔3〕直線A1D1到面AB1C1的距離為____

7、___； 〔4〕面AB1C與面A1DC1的距離為________； 〔5〕點B到直線A1C1的距離為___________。 2．AB是異面直線ａ、ｂ的公垂線段，點A、B分別在直線ａ、ｂ上，AB＝２,異面直線ａ、ｂ所成的角為300，在直線ａ上任取一點P，使得PA＝４，如此點P到直線ｂ的距離為 3．將銳角為600的菱形ABCD沿較短的對角線BD折成600的二面角，如此AC與BD間的距離為 4．AD是邊長為２的正△ABC的邊BC上的高，沿AD將△ABC折成直二面角B－AD－C后，點B到AC的距離為 〔 〕 A A1 D C B B1 C1

8、 D1 M (A) (B) (C) (D)1 5．如圖：在正方體ABCD－A1B1C1D1中， AB＝a，M是AA1的中點，如此點A1到平面 MBD的距離為〔A〕 (A)　(B) (C) (D) P A B C D 6．如圖，四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝１,設(shè)點C到平面PAB的距離為d１，點B到平面PAC的距離為d2，BC到平面PAD的距離為d3,如此有〔D〕 (A) d3

9、， PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PD的中點 〔1〕求證：AF∥平面PEC P A B C D F E · · 〔2〕假如AD=2，CD=,二面角P－CD－B 為450，求點F到平面PEC的距離 D P A B C M N 8.如圖：ABCD是邊長為2a的正方形，M、N分別是AB、AD的中點，CP⊥平面ABCD，PC＝a 〔1〕求證：BD∥平面PMN； E 〔2〕求點B到平面PMN的距離。 【簡解】由MN∥MD可以得： BD∥平面PMN 〔2〕……證明到：MN⊥平面PCE. 過O作OH⊥PE于H，OH⊥MN

10、證明OH⊥平面PMN。由BD∥平面PMN得：OH為的長為B到平面PMN的距離。 由三角形EHO和三角形ECP相似可得：OH＝ 9.棱長為４的正方體ABCD－A1B1C1D1中。點P、Q分別為棱CD、C1D1的中點，求P點到平面A1QC1的距離。 【簡解】如圖：求解P點到平面A1QC1的距離即為求P點到平面A1DC1的距離 法一：體積法 利用三棱錐P－A1C1D的體積＝三棱錐A1－PC1D的體積來求解。 易得：ｄ＝ 【注意】在計算三棱錐的體積法時，要合理選擇頂點和底面，要求頂點到底面的距離能夠很方便的表示出來，底面三角形的面積能夠很方便的求解。 O A A1 D C

11、B B1 C1 D1 . M P Q L 解法二：直接法： 如圖：取AD的中點L，易證：LP∥平面A1C1D 又平面B1BDD1⊥平面DA1C1 ∴M點在平面A1C1D的垂面B1BDD1 ∴P到平面A1C1D的距離等于M點到平面A1C1D 的距離。過M作MH⊥交線DO, 易證MH⊥平面A1C1D。如此MH就是所求的距離。 易得：MH＝ A A B C m C1 D A1 B1 10.ABC－A1B1C1是直三棱柱，∠ABC＝900，∠BAC＝300，AC=AA1=a，過A、B1、C三點的平面交平面A1B1C1于直線m 〔1〕試問A1C1與直

12、線m的位置關(guān)系怎樣？ 〔2〕求點A到直線m的距離 【簡解】由AC∥平面A1B1C1可得： A1C1∥直線m 〔2〕作A1D⊥直線m于D，由三垂線定理： AD⊥直線m 易得：A1D= ∴AD＝ 11．平面外一條直線上有兩個點到這個平面的距離相等，如此該直線與這個平面〔C〕(A)一定平行　(B)一定相交　(C)平行或相交　(D)一定垂直 【變題1】平面α外不共線的三點A、B、C到平面α的距離相等，如此平面ABC與平面α的位置關(guān)系為〔C〕 (A)一定平行　(B)一定相交　(C)平行或相交　(D)一定垂直 【變題2】空間四邊形ABCD，要作一平面使得A、B、C、D四個點到該平面的

13、距離相等，這樣的平面共可以作出幾個？〔７個〕 【變題３】線段AB在平面α外，A、B兩點到平面α的距離分別為１和３，如此線段AB的中點到平面α的距離為 【提示】答案：２或１。分A、B兩點在平面α的同側(cè)和兩側(cè)兩種情況進展討論。 12．在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD，如此點P到對角線BD的距離為〔B〕 (A) (B) (C) (D) 【簡解】利用三垂線定理求點線距。過A作AH⊥BD于H，連PH為所求４．假如三棱錐P－ABC中，過P點的三條側(cè)棱兩兩垂直，長都是ａ，如此底面上任意一點到三個側(cè)面的距離之和為 【提示】答案：ａ。利用體積法可以求得。 α－－β

14、的大小是600，ABα，CDβ，且AB⊥于A，CD⊥于C，AB＝AC＝CD＝a 求：〔1〕B、D間的距離； 〔2〕D到AB的距離。 正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為1,M、M1分別為棱BC、B1C1的中點，求直線AM與平面A1M1C的距離。 正三角形ABC的邊長為，PA⊥平面ABC，PA＝2，D、E、F分別為BC、DC、AC的中點，求直線AD到平面PEF的距離。 17. 解：過D作DE⊥AB于E，如此BCDE為正方形，CE與BD交于O，如此CE⊥BD． 故∠C′OE為二面角C′-BD-A的平面角．所以∠C′OE=60o，， 17解：由斜線相等，射影相等知，P在底

15、面的射影為△ABC的外心O，又△ABC為Rt△，外心在斜邊中點，故PO=== 【參考答案】 【根底訓練】 〔答：〕〔答：〕〔答：〕〔答：拋物線弧〕〔答：〕〔答：a〕〔答：〕〔答：〕〔答：〕【例題選講】： 【解答】：〔１〕連接AE、PE，因為E是BC的中點 ∴AE⊥BC，PE⊥BC，∴BC⊥平面PAE ∴EF⊥BC,又因為EF⊥PA于F， ∴EF為異面直線PA和BC的公垂線段。 〔２〕過P作PO⊥平面ABC，如此O為△ABC的中心 如此有AE＝AB＝，PO＝ 由AE?PO=AP?EF得EF＝ 【解答】：〔１〕不能。假如O與B重合， 如此△A1BA為RT△，AA1為斜邊。

16、 而AA1=1, AB＝,矛盾。 〔２〕∵O在AC上，∴平面AC1⊥平面ABC，又△ABC為等腰RT△，∴BC⊥CA，∴BC⊥平面AC1，BC就是BB1與平面AC1間的距離，又BC＝１ 故BB1與側(cè)面ACC1A1的距離為１ 〔３〕假如O為△ABC的外心，如此O為AB的中點，且平面A1ABB1⊥平面ABC,∴CO⊥平面A1ABB1,而A1O=. 從而可求得體積為：【簡解】：〔１〕易證：AO⊥平面BD1 AO即點A到平面BD1的距離。為 〔２〕易證A1E⊥平面AB1D1,如此A1E為 點A1到平面AB1D1的距離。A1E＝ 解法二：此題也可利用三棱錐A1－AB1D1的體積等于三棱錐

17、D1－AA1B1的體積來求解。 〔３〕易證A1C⊥平面AB1D1,A1C⊥平面BC1D,設(shè)直線A1C分別交平面AB1D1、平面BC1D與點E、E，如此EF的長為平面AB1D1與平面BC1D的距離。 于是：EF＝ 〔４〕因為直線AB∥平面CDA1B1，∴點B到平面CDA1B1的距離BG就是所求的距離〔G為BC1與B1C的交點，BG⊥B1C,BG⊥CD, ∴直線BG⊥平面A1BCD)，此距離BG= 【解題回顧】 ①求距離的一般步驟是：一作，二證，三計算。即先作出表示距離的線段，再證明它就是所求的距離，然后再計算，其中第二步證明過程再解題中應(yīng)引起足夠的重視。 ②求距離的問題表現(xiàn)了化歸與

18、轉(zhuǎn)化的思想，一般情況下需要轉(zhuǎn)化為解三角形。 ③等積法〔等面積、等體積〕是求距離〔點到線、點到面〕的常用方法，要注意靈活運用。 〔1〕證明：∵E、F分別為AB1、BC1的中點， ∴EF∥A1C1.∵A1C1∥AC，∴EF∥AC. ∴EF∥平面ABC. 〔2〕證明：∵AB=CC1，∴AB=BB1.又三棱柱為直三棱柱，∴四邊形ABB1A1為正方形.連結(jié)A1B，如此A1B⊥AB1. 又∵AB1⊥BC1，∴AB1⊥平面A1BC1. ∴AB1⊥A1C1. 又A1C1⊥AA1，∴A1C1⊥平面A1ABB1. ∴A1C1⊥AB. 〔3〕解：∵A1B1∥AB，∴A1B1∥平面ABC1. ∴

19、A1到平面ABC1的距離等于B1到平面ABC1的距離. 過A1作A1G⊥AC1于點G， ∵AB⊥平面ACC1A1， ∴AB⊥A1G.從而A1G⊥平面ABC1，故A1G即為所求的距離，即A1G=.7.l是過正方體ABCD—A1B1C1D1的頂點的平面AB1D1與下底面ABCD所在平面的交線，〔1〕求證：D1B1∥l；〔2〕假如AB=a，求l與D1間的距離. 〔1〕證明： ∵D1B1∥BD， ∴D1B1∥平面ABCD. 又平面ABCD∩平面AD1B1=l， ∴D1B1∥l. 〔2〕解：∵D1D⊥平面ABCD， 在平面ABCD，由D作DG⊥l于G，連結(jié)D1G，如此D1G⊥

20、l，D1G的長即等于點D1與l間的距離. ∵l∥D1B1∥BD，∴∠DAG=45°. ∴DG=a，D1G===a. 【分析】：設(shè)法把折起后A〔A1〕到BC的距離 表示為某個變量的函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為研究函 數(shù)的最值問題。 【解答】：如圖： 在△ABC中,作AF⊥BC 于F,交DE于G。 ∵DE∥BC,∴AG⊥DE, 折起后有A1G⊥DE. ∴∠A1GF為二面角A1－DE－B的平面角 即∠A1GF=600,連接A1F ∵DE⊥平面A1GF,∴BC⊥平面A1GF,從而BC⊥A1F即A1F為折起后A到BC的距離。 設(shè)A1G＝ｘ(0

21、1GF中，由余弦定理可得： A1F2＝a ＝(0

22、線，然后利用三垂線定理作出點到線的距離，在三角形中求解。 【提示】解法一：可用體積法：∵A1到平面 MBD的距離等于A到平面MBD的距離。 解法二：取BD的中點O，如此平面AMO⊥平面MBD，過A點作MO的垂線，垂足為H，如此AH就是A到平面MBD的距離。 【提示】d1＝，d2＝，d3＝１ P A B C D F E · · G H 【分析】證明線面平行，應(yīng)該用判定定理， 即在平面PEC找一條直線與AF平行， 而求點到面的距離要確定垂足的位置或者用體積法求解。 【解】取PC的中點G，證明四邊形EGFA為平行四邊形 從而AG∥FG,

23、可得：AF∥平面PEC 〔2〕……證明∠PDA為二面角P－CD－B的平面角 ……再證明AF⊥平面PDC 過F作FH⊥PC于H，證明FH⊥平面PCE，從而FH為點F到平面PDC的距離。由面積法可得：FH＝1 【注意】此題〔2〕中也可用體積法求解。VF－PEC＝VE－PFC來求解。 O D 解答圖 P A B C P A B C 如圖：平面α有RT△ABC，∠C＝900，P是平面α外一點，且PA=PB=PC，P到平面α的距離是40㎝，AC＝18㎝，求點P到BC的距離。 【簡解】 取AB的中點O，CB的中點D 連接PO、OC、OD ……證明PO⊥平面ABC ……證明PD⊥BC 即PD為P到BC的距離。 在RT△POD中求得PD＝41㎝ 11 / 11