word 第一講 巧數(shù)圖形 小朋友們，我們數(shù)學(xué)課上學(xué)習(xí)了四邊形，你還記得他們的特點(diǎn)嗎？你們是不是做過(guò)下面的這種題： 圖中共有（ ）個(gè)平行四邊形 這屬于我們奧數(shù)里邊的一個(gè)專(zhuān)題：巧數(shù)圖形，你能快速的數(shù)出來(lái)嗎？有沒(méi)有什么巧妙的辦法呢？現(xiàn)在讓我們一起看一下吧。 一、數(shù)線(xiàn)段 例1數(shù)出右圖中共有多少條線(xiàn)段。 方法一：找規(guī)律數(shù)線(xiàn)段。共有3＋2＋1＝6(條)。 方法二：分類(lèi)數(shù)線(xiàn)段。 共有3＋2＋1＝6(條)。 例2．?dāng)?shù)出右面圖中共有多少條線(xiàn)段？ 解析：線(xiàn)段有一個(gè)重要特征：線(xiàn)段都是筆直的．所以我們?cè)跀?shù)的時(shí)候，必須將這幅圖分成四個(gè)部分，每一部分分別采用以線(xiàn)段左端點(diǎn)分類(lèi)數(shù)的方法，然后把四部分算得結(jié)果加起來(lái)． 第一部分從A到E共有4＋3＋2＋1＝10條線(xiàn)段． 第二部分從G到J共有4＋3＋2＋1＝10條線(xiàn)段． 第三部分是FG一條線(xiàn)段． 第四部分是JK一條線(xiàn)段． 10＋10＋1＋1＝22(條) 例3．一條線(xiàn)段上共有10個(gè)點(diǎn)，以這10個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的不同線(xiàn)段共有多少條？ 分析：一條線(xiàn)段上有10個(gè)點(diǎn)，那么我們先把線(xiàn)段畫(huà)出來(lái) 因此，共有線(xiàn)段：　9＋8＋…＋3＋2＋1＝(9＋1)×9÷2＝45(條) 總結(jié)：1、找規(guī)律數(shù)線(xiàn)段： 一般地，如果線(xiàn)段上有幾個(gè)點(diǎn)(其中n是大于或等于2的自然數(shù))，那么以這n個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段共有： (n－1)＋(n－2)＋…＋3＋2＋1＝n×(n－1)÷2； 2、分類(lèi)數(shù)線(xiàn)段 練習(xí)：下列圖形中各有多少條線(xiàn)段？ （3） 二、數(shù)角 例4．右面圖形中有幾個(gè)角？ 分析 方法和數(shù)線(xiàn)段相同 練習(xí) （ ）個(gè)角 （ ）個(gè)角 三、數(shù)三角形 例5．?dāng)?shù)出下面圖中共有多少個(gè)三角形？ 方法一 數(shù)三角形個(gè)數(shù)的方法與數(shù)線(xiàn)段的方法差不多． 方法二 我們可以發(fā)現(xiàn)，可以抓住底邊BC來(lái)考慮，底邊BC中所包含的每一條線(xiàn)段都恰好對(duì)應(yīng)一個(gè)三角形． 底邊左端點(diǎn)是B的三角形共有△BDA、△BEA、△BCA三個(gè)． 底邊左端點(diǎn)是D的三角形共有△DEA、△DCA兩個(gè)． 底邊左端點(diǎn)是E的三角形只有△ECA一個(gè)． 所以一共有三角形：3＋2＋1＝6(個(gè))． 方法三 我們把圖中 △ABC、 △ACD、△ADE看作基本三角形： 由1個(gè)基本三角形構(gòu)成的三角形有 △ABC、 △ACD、 △ADE； 由2個(gè)基本三角形構(gòu)成的三角形有 △ABD、 △ACE； 由3個(gè)基本三角形構(gòu)成的三角形有 △ABE。 所以3＋2＋1＝6（個(gè)） 例6．?dāng)?shù)一數(shù)圖中共有多少個(gè)三角形？ 思路分析：我們可以將這幅圖分成三個(gè)部分來(lái)數(shù)，即下面三幅圖．     在△ABC中，一共有5＋4＋3＋2＋1＝15(個(gè))三角形， 在△ABD中，一共有5＋4＋3＋2＋1＝15(個(gè))三角形； 在△BDC中，一共有5個(gè)三角形．所以 15＋15＋5＝35(個(gè)) 例7．圖中共有多少個(gè)不同的三角形？ 思路分析：可以用上一題的方法，也可以有另外的思路: 橫著看，有3個(gè)基本三角形，所以1+2+3=6 豎著看，有兩行，所以三角形個(gè)數(shù)為6×2=12個(gè) 例8．?dāng)?shù)出下圖中共有多少個(gè)三角形？ 思路分析：這題我們可以采用按基本圖形組合的方法來(lái)數(shù)．把圖中最小的一個(gè)三角形看作基本圖形． 由一個(gè)基本三角形構(gòu)成的三角形共有8個(gè)； 由兩個(gè)基本三角形構(gòu)成的三角形共有4個(gè)； 由四個(gè)基本三角形構(gòu)成的三角形共有4個(gè)．因此：8＋4＋4＝16(個(gè)) 例9．?dāng)?shù)出下面圖形中共有多少個(gè)三角形？ 解析：分類(lèi)數(shù)三角形 由一個(gè)基本三角形構(gòu)成的三角形共有9個(gè)； 由四個(gè)基本三角形構(gòu)成的三角形共有3個(gè)； 由九個(gè)基本三角形構(gòu)成的三角形只有1個(gè)． 因此9＋3＋1＝13(個(gè))，所以，圖形中共有13個(gè)三角形． 例10．?dāng)?shù)出下圖中共有多少個(gè)三角形？ 思路分析：分類(lèi)編號(hào) 由一塊形成的三角形有4個(gè)； 由兩塊拼成的三角形有5個(gè)，分別是①＋②①＋③③＋④②＋④⑤＋⑥； 由三塊拼成的三角形有兩個(gè)，分別為①＋③＋⑤，②＋④＋⑥； 由四塊拼成的三角形有1個(gè)，即是①＋②＋③＋④； 沒(méi)有由五塊拼成的三角形； 由六塊拼成的三角形有1個(gè)，即最大的三角形． 所以，圖中三角形一共有4＋5＋2＋1＋1＝13(個(gè))． 總結(jié)：1、找規(guī)律數(shù)三角形2、縱橫數(shù)三角形3、分類(lèi)數(shù)三角形 練習(xí)：下列圖形中各有多少個(gè)三角形？ （ ）個(gè)三角形 （ ）個(gè)三角形 （ ）個(gè)三角形 （ ）個(gè)三角形 （ ）個(gè)三角形 （ ）個(gè)三角形 四、數(shù)四邊形 例11． 數(shù)出各圖中正方形的個(gè)數(shù)． 解析：(1)中最基本的正方形有9個(gè) (9＝3×3)； 由4個(gè)基本正方形組成的正方形有4個(gè)(4＝2×2)； 由9個(gè)基本正方形組成的正方形有1個(gè)(1＝1×1) 所以共有正方形9＋4＋1＝14(個(gè))． (2)中邊長(zhǎng)為1的正方形有16個(gè)，即16＝4×4； 邊長(zhǎng)為2的正方形有9個(gè)，即9＝3×3； 邊長(zhǎng)為3的正方形有4個(gè)，即4＝2×2； 邊長(zhǎng)為4的正方形有1個(gè)，即1＝1×1． 所以共有正方形有16＋9＋4＋1＝30(個(gè))． 例12．   圖中共有多少個(gè)正方形？   　解析：將正方形分類(lèi)， 由兩塊小三角形構(gòu)成的正方形有4個(gè)； 由四塊小三角形構(gòu)成的正方形有4個(gè)； 由八塊小三角形構(gòu)成的正方形有1個(gè)； 由十六塊小三角形構(gòu)成的正方形有1個(gè)． 由一、三、五、七、六、九、十、十一、十二、十三、十四、十五塊小三角形不能構(gòu)成正方形． 所以，圖中共有4＋4＋1＋1＝10(個(gè))正方形． 例13． 數(shù)出圖中共有多少個(gè)正方形？ 方法一：根據(jù)正方形邊長(zhǎng)的大小，我們將它們分成四類(lèi)： 第1類(lèi)：邊長(zhǎng)為1的正方形有24個(gè)； 第2類(lèi)：邊長(zhǎng)為2的正方形有13個(gè)； 第3類(lèi)：邊長(zhǎng)為3的正方形有4個(gè)； 第4類(lèi)：邊長(zhǎng)為4的正方形有1個(gè)． 所以圖中共有24＋13＋4＋1＝42(個(gè))正方形． 方法二：如果把四條邊長(zhǎng)多出的8個(gè)小正方形去掉，很容易得出共有1×1＋2×2＋3×3＋4×4＝30(個(gè))正方形，添上了去掉的小正方形后，這8個(gè)小正方形還能再和其他圖形組成4個(gè)新的正方形． 所以，圖中共有30＋8＋4＝42(個(gè))正方形． 例14：在下圖中，包含“*”號(hào)的長(zhǎng)方形和正方形共有多少個(gè)？ 解析：按包含的小塊分類(lèi)計(jì)數(shù)。 　　包含1小塊的有1個(gè)；包含2小塊的有4個(gè)； 　　包含3小塊的有4個(gè)；包含4小塊的有7個(gè)； 　　包含5小塊的有2個(gè)；包含6小塊的有6個(gè)； 　　包含8小塊的有4個(gè)；包含9小塊的有3個(gè)； 　　包含10小塊的有2個(gè)；包含12小塊的有4個(gè)； 　　包含15小塊的有2個(gè)。 　　所以共有1＋4＋4＋7＋2＋6＋4＋3＋2＋4＋2=39(個(gè))。 例題15 如下圖，平面上有12個(gè)點(diǎn)，可任意取其中四個(gè)點(diǎn)圍成一個(gè)正方形，這樣的正方形有多少個(gè)？ 分析 把相鄰的兩點(diǎn)連接起來(lái)可以得到下面圖形，從圖中可以看出： （1）最小的正方形有6個(gè)； （2）由4個(gè)小正方形組合而成的正方形有2個(gè)； （3）中間還可圍成2個(gè)正方形。 所以共有6＋2＋2=10個(gè)。 例16． 下面兩幅圖中各有多少個(gè)長(zhǎng)方形？ 　思路分析：(1)找規(guī)律數(shù)長(zhǎng)方形。 所以，圖中長(zhǎng)方形共有4＋3＋2＋1＝10(個(gè))． (2)縱橫數(shù)長(zhǎng)方形 橫著看有三排，3+2+1=6 豎著看有兩行，1+2=3. 所以，圖中共有長(zhǎng)方形6×3＝18(個(gè))． 例17． 下圖中共有多少個(gè)長(zhǎng)方形？ 思路分析：分類(lèi)數(shù)長(zhǎng)方形 我們可以先將大長(zhǎng)方形中的5小塊編上號(hào)： 這5塊都是符合要求的長(zhǎng)方形． 由兩小塊拼成的長(zhǎng)方形，共有4個(gè)，即①＋②，②＋③，③＋④，④＋⑤； 由三小塊拼成的長(zhǎng)方形，共有2個(gè)，即①＋③＋④，③＋④＋⑤； 沒(méi)有由四小塊拼成的長(zhǎng)方形； 由5小塊拼成的長(zhǎng)方形只有最大的一個(gè)． 所以，圖中共有5＋4＋2＋1＝12(個(gè))長(zhǎng)方形． 例18 練習(xí) 1，數(shù)一數(shù) （ ）個(gè)正方形 （ ）個(gè)長(zhǎng)方形 （ ）個(gè)平行四邊形 2.下列圖形中各有多少個(gè)長(zhǎng)方形？ 3.下列圖形中，不含“*”號(hào)的三角形或長(zhǎng)方形各有幾個(gè)？ 8 / 8