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高考文科數(shù)學(xué)二輪分層特訓(xùn)卷:主觀題專練 數(shù)列4 Word版含解析

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1、 數(shù)列(4) 1.[2018·全國卷Ⅱ]記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a1=-7,S3=-15. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)求Sn,并求Sn的最小值. 解析:(1)解:設(shè){an}的公差為d,由題意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2. 所以{an}的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d=2n-9. (2)解:由(1)得Sn=·n=n2-8n=(n-4)2-16. 所以當(dāng)n=4時(shí),Sn取得最小值,最小值為-16. 2.[2019·河北廊坊省級(jí)示范高中聯(lián)考]在數(shù)列{an}中,a1=1,=,設(shè)bn=·an. (1)證明:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列; (2)

2、求{an}的前n項(xiàng)積Tn. 解析:(1)因?yàn)椋剑健ぃ健ぃ?,b1=2a1=2, 所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2,公比為4的等比數(shù)列. (2)由(1)知bn=·an=2·4n-1,則an=·22n-1. 從而Tn=·21+3+5+…+(2n-1) =. 3.[2019·遼寧鞍山月考]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1+a2=4,2Sn+1-an+1=2Sn+3an(n∈N*). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,證明:≤Tn<. 解析:(1)∵2Sn+1-an+1=2Sn+3an,∴2an+1-an+1=3an, ∴an+1=3a

3、n(n∈N*),∵a1+a2=4,∴a1=1, ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列, ∴an=3n-1. (2)由(1)知Sn=. ∵bn=,∴bn==-, ∴Tn=++…+=-. ∵n∈N*,所以-∈, ∴≤-<,即≤Tn<. 4.[2019·湖南衡陽聯(lián)考]已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=1,b1=,2an+1=an+bn,2bn+1=an+bn(n∈N*). (1)證明:數(shù)列{an+bn},{an-bn}均是等比數(shù)列; (2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,Sn=λ+μ, 求λ-μ的值. 解析:(1)依題意得兩式相加, 得an+1+bn+1=(an+

4、bn),∴{an+bn}為等比數(shù)列; 兩式相減,得an+1-bn+1=(an-bn),∴{an-bn}為等比數(shù)列. (2)∵a1=1,b1=,∴a1+b1=,a1-b1=. 由(1)可得an+bn=×n-1?、?, an-bn=×n-1?、? ①+②,得 an=n+n, ∴Sn=+=×+3×=-×-3×n. 又Sn=λ+μ=λ+μ,∴λ=,μ=-3,∴λ-μ=. 5.[2019·河南洛陽孟津二中月考]在數(shù)列{an}中,設(shè)f(n)=an,且f(n)滿足f(n+1)-2f(n)=2n(n∈N*),a1=1. (1)設(shè)bn=,證明:數(shù)列{bn}為等差數(shù)列; (2)求數(shù)列{3an-1

5、}的前n項(xiàng)和Sn. 解析:(1)由已知得an+1=2an+2n,得bn+1===+1=bn+1, ∴bn+1-bn=1,又a1=1,∴b1=1,∴{bn}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列. (2)由(1)知,bn==n,∴an=n·2n-1,3an-1=3n·2n-1-1. ∴Sn=3×1×20+3×2×21+3×3×22+…+3(n-1)×2n-2+3n×2n-1-n, 兩邊同時(shí)乘以2,得2Sn=3×1×21+3×2×22+…+3(n-1)×2n-1+3n×2n-2n, 兩式相減,得-Sn=3×(1+21+22+…+2n-1-n×2n)+n=3×(2n-1-n×2n)+n=3(1-

6、n)2n-3+n, ∴Sn=3(n-1)2n+3-n. 6.[2019·河北九校第二次聯(lián)考]已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且Sn為an與的等差中項(xiàng). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=,求{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解析:(1)由題意知2Sn=an+,即2Snan-a=1,(※) 當(dāng)n=1時(shí),由(※)式可得S1=1; 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1,代入(※)式,得2Sn(Sn-Sn-1)-(Sn-Sn-1)2=1, 整理得S-S=1. 所以{S}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,所以S=1+(n-1)×1=n. 因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù),所以Sn=. 由此可得an=Sn-Sn-1=-(n≥2), 又a1=S1=1,所以an=-. (2)由(1)知bn===(-1)n(+). 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí), Tn=-1+(+1)-(+)+…+(+)-(+)=-; 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), Tn=-1+(+1)-(+)+…-(+)+(+)=. 所以{bn}的前n項(xiàng)和Tn=(-1)n.

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